NCERT Solutions for Class 11 Maths In Hindi Chapter 1 Sets

प्रश्नावली 1.1

1. निम्ननिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपिे उत्तर का ओचित्य बताइए।

(i) j अक्षर से होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह। 

उत्तर: j से शुरू होने वाले महीने का नाम है: जनवरी, जून, जुलाई। अतः यह संग्रह एक सेट है। 

(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।

उत्तर: प्रतिभाशाली एक लेखक को परिभाषित नहीं किया जा सकता। अतः यह संग्रह नहीं है।

(iii) विश्व सर्वक्षरेसठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह।

उत्तर: सर्वक्षरेसठ बल्लेबाज को परिभाषित नहीं कर सकते। अतः यह संग्रह नहीं है।

(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह। 

उत्तर: कक्षा के सभी विधीयर्थी के संख्यों निश्चियत होते है। अतः यह संग्रह है।

(v) सों से कम सभी प्राकर्त संख्याओ का संग्रह। 

उत्तर: सों से कम प्रकरत संख्या है। अतः यह संग्रह है।

(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह। 

उत्तर: लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह गबन, गोडाउन आदि द्वारा परिभाषित है। अतः यह संग्रह है।

(vii) सभी संपूर्णको का संग्रह। 

उत्तर: संपूर्णको है। अतः यह एक संग्रह है।

(viii) इस अध्याय मे आने वाले प्रश्नों का संग्रह। 

उत्तर: इस अध्याय के प्रशन प्रभाषित है। अतः यह एक संग्रह है।

(ix) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह। 

उत्तर: संसार के सबसे अधिक खतरनाक पशुओ के संग्रह को परिभाषित नहीं किया जा सकता। अतः यह एक संग्रह है।

2. मान लीजिए A = \[\{ 1,2,3,4,5,6\} \] रिक्त स्थानों मे उपउक्त प्रतीक \[ \in \;,\; \notin \] भरिए। 

(i) \[5\] ______A

उत्तर: \[5\] \[ \in \] A

(ii) \[8\] ______A

उत्तर: \[8\] \[ \notin \] A

(iii) \[0\] ______A

उत्तर: \[0\] \[ \notin \] A

(iv) \[4\] ______A

उत्तर: \[4\] \[ \in \] A

(v) \[2\] ______A

उत्तर: \[2\] \[ \in \] A

(vi) \[10\] ______A

उत्तर: \[10\] \[ \notin \] A

3. निमानलिखित समुच्चयों को रास्टर रूप मे लिखिए:

(i) A = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक पूर्णक है और \[{\text{ - 3  <  x  <  7}}\] }

उत्तर: A = \[\{  - 2, - 1,0,1,2,3,4,5,6\} \]

(ii) B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संखयश \[{\text{6}}\] से काम एक प्राकरत संख्या है }

उत्तर: B = \[\{ 1,2,3,4,5\} \]

(iii) C = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] दो अंकों की ऐसी प्राकरत है जिसके अंकों का योगफल आठ है }

उत्तर: C = \[\{ 17,26,35,44,53,62,71,80\} \]

(iv) D = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाग्य संखयश है जो \[{\text{60}}\] की भाजक है }

उत्तर: D = \[\{ 2,3,5\} \]

(v) E = TRIGNOMETRY शब्द के सभी के सभी अक्षरों का समुच्चय। 

उत्तर: E = {T,R,I,G,O,N,M,E,Y}

(vi) F = BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय। 

उत्तर: F = {B,E,T,E}

4. निमानलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप मे वयकेत कीजिए:

(i) \[{\text{\{ 3,6,9,12\} }}\] 

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{\text{3}}\;{\text{n}}\;,\;1\; \leqslant \;{\text{n}}\; \leqslant \;4\} \]

(ii) \[{\text{\{ 2,4,8,16,32\} }}\] 

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{2^{n}},\;1\; \leqslant \;{\text{n}}\; \leqslant \;5\} \]

(iii) \[{\text{\{ 5,25,125,625\} }}\] 

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{5^{n}},,\;1\; \leqslant \;{\text{n}}\; \leqslant \;4\} \]

(iv) \[{\text{\{ 2,4,6,}}...{\text{\} }}\] 

उत्तर: { \[{\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\] एक सम प्रकरत संख्या है }

(v) \[{\text{\{ 1,4,9,}}...{\text{,100\} }}\] 

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\;{\text{ = }}\;{n^{2}},,\;1\; \leqslant \;{\text{n}}\; \leqslant \;10\} \]

5. निमानलिखित समुच्चय के सभी आवाजय ओकासा को सूचीबद्ध कीजिए:

(i) A = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम लिए प्राकर्त संखयश है}

उत्तर: A = \[{\text{\{ 1,3,5,7\} }}\]

(ii) B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक पुणक है \[{\text{ - 1/2  <  x  <  9/2}}\] }

उत्तर: B = \[{\text{\{ 0,1,2,3,4\} }}\]

(iii) C = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक पुणक है \[{{\text{x}}^{\text{2}}}\; \leqslant \;4\] }

उत्तर: C = \[{\text{\{  - 2, - 1,0,1,2\} }}\]

(iv) D = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] लॉइअल शब्द का एक अक्षर है }

उत्तर: D = {L,O,Y,A}

(v) E = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] वर्ष का एक ऐसा महिना है, जिसमे \[31\] दिन नहीं होते है}  

उत्तर: E = { फरवरी, अप्रैल, जून, सितंबर, नवंबर}

(vi) F = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो के: से पहले आता है}

उत्तर: F = {b,c,d,f,g,h,j}

6. बाई और रास्टर रूप मे लिखित और दाई और समुच्चय निर्माण रूप वदत समुच्चयों का सही मिलन कीजिए:

(i) \[\{ 1,2,3,6\} \]            (a) { \[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक अभाजय संख्या है और छ: की भाजक है}

(ii) \[\{ 2,3\} \]            (b) { \[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  संख्या \[10\] से कम एक विषम प्राकरत संखयश है}

(iii) {M,A,T,H,E,I,C,S}    (c) { \[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक प्राकरत संख्या है और छ: की भाजक है}

(iv) \[\{ 2,3\} \]                (d) { \[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है}

उत्तर : (i) – (c) , (ii) – (a) , (iii) – (d) , (iv) – (b)

प्रश्नावली 1.2 

1. निमानलिखित मे से कौन से रिक्त समुच्चय के उदारण है?

(i) दो से भाज्य विषम प्रकरत संख्याओ का समुच्चयए 

उत्तर: दो से भाज्य कोई भी विषम प्राकर्त संखयाए नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

(ii) सम आभाजी संख्याओ का समुच्चय

उत्तर: सम अभाजय संख्याओ का समुच्चय \[{\text{\{ 2\} }}\] है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय नहीं है।

(iii) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है, \[{\text{x}}\;{\text{ < }}\;{\text{5}}\] और साथ ही साथ \[{\text{x}}\;{\text{ < }}\;7\] }

उत्तर: \[{\text{x}}\;{\text{ < }}\;{\text{5}}\] और साथ ही साथ \[{\text{x}}\;{\text{ < }}\;7\] कोई प्रकरत संख्या नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

(iv) { \[{\text{y}}\] : \[{\text{y}}\] किन्ही भी दो समांतर रेखाओ का उबयनिष्ट बिन्दु है}

उत्तर: समांतर रेखाए कही भी नहीं मिलती है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।

2. निमानलिखित समुच्चयों मे से कौन परिमित और कौन अपरिमित है 

(i) वर्ष महीनों का समुच्चय 

उत्तर: बर्ष मे बारह महीने होते है। अतः यह एक परिमिति समुच्चय है।

(ii) \[{\text{\{ 1,2,3,}}...{\text{\} }}\]

उत्तर: समुच्चय \[{\text{\{ 1,2,3,}}...{\text{\} }}\] मे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(iii) \[{\text{\{ 1,2,3,}}...{\text{,100\} }}\]

उत्तर: समुच्चय\[{\text{\{ 1,2,3,}}...{\text{,100\} }}\] मे कुल सों अवयव हा। अतः यह एक परिमिति समुच्चय है।

(iv) सों से बड़ी धन पूर्णको का समुच्चय 

उत्तर: सों से बड़ा पूर्णको का समुच्चय \[{\text{\{ 101,102,103,}}...{\text{\} }}\] है, जिसमे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(v) \[{\text{99}}\] से छोटे अभाजय पूर्णको का समुच्चय 

उत्तर: \[{\text{99}}\] से छोटे अभाज्य पूर्णको समुच्चय \[{\text{\{ 2,3,5,7,}}...{\text{,97\} }}\] है, जिसमे अवयव की संख्या निश्चित है। अतः यह एक अप्रीमिति समुच्चय है।

3. निमानलिखित समुच्चयों मे से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमिति है और कौन अपरिमिति है 

(i) x- अक्ष के समांतर रेखाओ का समुच्चय 

उत्तर: x- अक्ष के समांतर अनंत रेखाओ खींची जा सकती है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है।

(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय 

उत्तर: अंग्रेजी वर्णमाला मे कुल \[{\text{26}}\] अक्षर होते है। इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमिति होगा।

(iii) उन संख्याओ का समुच्चय जो पाँच के गुणज है 

उत्तर: पाँच से विभाजित होने वाली संख्याओ का समुच्चय \[{\text{\{ 5,10,15,20,}}...{\text{\} }}\] है, जिसमे अनंत अवयव है। अतः यह एक अपरिमिति समुच्चय है। 

(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय 

उत्तर: पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमिति होगा। 

(v) मूल बिन्दु \[{\text{(0,0)}}\] से होकर जाने वाले वृतों का समुच्चय 

उत्तर: मूल बिन्दु को केंद्र मानकर अनंत वृत से जा सकता है। अतः यह एक अपरिमिति होगा।

4. निमानलिखित मे बतलाइए कि A = B है अथवा नहीं है 

(i) A = {a,b,c,d} B= {a,c,b,d}

उत्तर: A और b दोनों समुच्चयों के अवयव a,b,c,d है। अतः A = B

(ii) A = \[{\text{\{ 4,8,12,16\} }}\] , B = \[{\text{\{ 8,4,16,18\} }}\]

उत्तर: A मे अवयव बारह है परंतु B मे बही है। अतः A, B के बराबर नहीं है। 

(iii) A = \[{\text{\{ 2,4,6,8,10\} }}\] , B = { \[{\text{x}}\]: \[{\text{x}}\] सम धन पूर्णक है और \[{\text{x}}\;{\text{ < }}\;{\text{10}}\]}

उत्तर: A और B दोनों समुच्चयों के अवयव \[{\text{2,4,6,8,10}}\] है। अतः A = B

(iv) A = { \[{\text{x}}\]: \[{\text{x}}\] संख्याओ दस का गुरणज है }, B = \[{\text{\{ 10,15,20,25,30,}}...{\text{\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ 10,20,30,40,}}...{\text{\} }}\] , B = \[{\text{\{ 10,15,25,30,}}...{\text{\} }}\] , दस के गुरणजों मे \[{\text{5,15,25}}\] नहीं आता है। अतः A, B के बराबर नहीं है।

5. क्या लेखित समुच्चय युगम समान है? कारण सहित बताइए। 

(i) A = \[{\text{\{ 2,3\} }}\] , B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] समीकरण \[{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + 5x + 6}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}\] का एक हल है }

उत्तर: A = \[{\text{\{ 2,3\} }}\] , B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] समीकरण \[{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + 5x + 6}}\;{\text{ = }}\;{\text{0}}\] } = \[{\text{\{  - 2, - 3\} }}\] , अतः A और B के अवयव भिन्न है। अतः A, B के बराबर नहीं है।

(ii) A = {\[{\text{k}}\]: \[{\text{x}}\] शब्द FOLLOW का एक अक्षर है } , B = { \[{\text{y}}\]: \[{\text{y}}\] शब्द WOLF का एक अक्षर है }

उत्तर: A = {F,O,L,W}, B = {W,O,L,F}, A और B के अवयव समान है। अतः A = B

6. नीचे दिए हुए समुच्चय मे से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:

A = \[{\text{\{ 2,4,8,12\} }}\]

B = \[{\text{\{ 1,2,3,4\} }}\]

C = \[{\text{\{ 4,8,12,14\} }}\]

D = \[{\text{\{ 3,1,4,2\} }}\]

E = \[{\text{\{  - 1,1\} }}\]

F = \[{\text{\{ 0,a\} }}\]

G = \[{\text{\{ 1, - 1\} }}\]

H = \[{\text{\{ 0,1\} }}\]

उत्तर: यह समुच्चय B और D के अवयव \[{\text{1,2,3,4}}\] है B = D, तथा समुच्चय E और G मे अवयव \[{\text{ - 1,1}}\] समान है। अतः E = G

प्रश्नावली 1.3

1. रिक्त स्थानों मे प्रतक \[ \subset \] या \[ \not\subset \] को भर कर सही कथं बनाइये:

(i) \[\{ 2,3,4\} \]______ \[\{ 1,2,3,4,5\} \]

उत्तर: \[\{ 2,3,4\} \]___\[ \subset \] ___ \[\{ 1,2,3,4,5\} \]

(ii) \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]______ \[{\text{\{ b,c,d\} }}\]

उत्तर: \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]___\[ \not\subset \]___ \[{\text{\{ b,c,d\} }}\]

(iii) {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}

उत्तर: {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}____\[ \subset \] 

(iv) {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक वृत है}____{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक समान समतल मे वृत है जिसका त्रिज्या एक इकाई है}

उत्तर: {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक वृत है}__\[ \not\subset \] __{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक समान समतल मे वृत है जिसका त्रिज्या एक इकाई है}

(v) {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}____{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी संतक मे स्थित एक आयात है}

उत्तर: {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}__\[ \not\subset \] __{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी संतक मे स्थित एक आयात है}

(vi) {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}____{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}

उत्तर: {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}__\[ \subset \] __{\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] किसी समतल मे स्थित एक त्रिभुज है}

(vii) {\[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक सम प्राकरत संख्या है}____{\[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक पूर्णक है}

उत्तर: {\[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक सम प्राकरत संख्या है}__\[ \subset \] __{\[{\text{x}}\]  : \[{\text{x}}\]  एक पूर्णक है}

2. जाँचिए कि निमानलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य है 

(i) \[{\text{\{ a,b\} }}\; \not\subset \;{\text{\{ b,c,a\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] , B = \[{\text{\{ b,c,a\} }}\]

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट B का एक तत्व है 

A \[ \subset \] B

इसलिए, बयान गलत है।

(ii) \[{\text{\{ a,e\} }}\] \[ \subset \] {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}

उत्तर: A = \[{\text{\{ a,e\} }}\] और B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] अंग्रेजी वर्णमाला मे एक स्वर है} = \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] 

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट सेट B का एक तत्व है। 

A \[ \subset \] B

इसलिए, कथन सत्य है।

(iii) \[\{ 1,2,3\} \; \subset \;\{ 1,3,5\} \]

उत्तर: A = \[{\text{\{ 1,2,3\} }}\] और B = \[{\text{\{ 1,3,5\} }}\]

यहा, \[{\text{2}}\; \in \]A लेकिन \[{\text{2}}\; \notin \]B

A \[ \not\subset \] B

इसलिए, बयान गलत है।

(iv) \[{\text{\{ a\} }}\; \subset \;{\text{\{ a,b,c\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] और B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व B का एक तत्व है। 

A \[ \subset \] B

इसलिए, कथन सत्य है।

(v) \[{\text{\{ a,b\} }}\; \in \;{\text{\{ a,b,c\} }}\]

उत्तर:  A = \[{\text{\{ a,b\} }}\]  और B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]

यहा, \[{\text{\{ a\} }}\; \notin \] B

इसलिए, बयान गलत है। 

(vi) {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संख्या \[6\] से कम एक सम प्रकरत संख्या है} \[ \subset \] {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है, जो संख्या \[36\] को विभाजित करती है}

उत्तर: A = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक समान प्रकरतिक संख्या है जो \[6\]} = \[\{ 2,4\} \] से कम है। 

B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्राकर्तिक संख्या है जो \[36\] } = \[\{ 1,2,3,4,6,12,18,36\} \] को विभाजित करती है। 

यहा, सेट A का प्रत्येक तत्व सेट  B का एक तत्व है। 

A \[ \subset \] B

इसलिए, कथन सत्य है।

3. मान लीजिए कि A = \[\{ 1,2,\{ 3,4\} ,5\} \] निमानलिखित मे से कौन स कथं सही नहीं है और क्यों 

(i) \[\{ 3,4\} \] \[ \subset \] A

उत्तर: \[\{ 3,4\} \] सेट  A का सदस्य है। 

\[\{ 3,4\} \] \[ \in \] A 

इसलिए, \[\{ 3,4\} \] \[ \subset \] A  सही नहीं है।

(ii) \[\{ 3,4\} \] \[ \in \] A

उत्तर: \[\{ 3,4\} \] सेट A के एक सदस्य इसलिए, \[\{ 3,4\}  \in \] A गलत है।

(iii) \[\{ \{ 3,4\} \} \] \[ \subset \] A

उत्तर: \[\{ 3,4\} \] सेट A के एक सदस्य है। 

\[\{ \{ 3,4\} \} \] एक सेट है। 

इसलीये, \[\{ \{ 3,4\} \} \] \[ \subset \] A सही नहीं है।

(iv) \[1\] \[ \in \] A

उत्तर: एक सेट A के एक सदस्य इसलिए  \[1\] \[ \in \] A सही है।

(v) \[1\] \[ \subset \] A

उत्तर: एक सेट, यह इसलिए सेट A के एक सदस्य है नहीं है,  \[1\] \[ \subset \] A सही नहीं है।

(vi) \[\{ 1,2,5\} \] \[ \subset \] A

उत्तर: \[\{ 1,2,5\} \]  सेट A के सदस्य है। 

\[\{ 1,2,5\} \]  सेट A का एक सब्सेट है।  

इसलिए, \[\{ 1,2,5\} \] \[ \subset \] A सही है।

(vii) \[\{ 1,2,5\} \] \[ \in \] A 

उत्तर: \[\{ 1,2,5\} \] सेट A  के सदस्य है। 

\[\{ 1,2,5\} \]  सेट A का सब्सेट है। 

इसलिए, \[\{ 1,2,5\} \]\[ \in \]  A गलत है।

(viii) \[\{ 1,2,3\} \] \[ \subset \] A

उत्तर: \[3\] सेट A  का सदस्य नहीं है। 

\[\{ 1,2,3\} \]  सेट A का सब्सेट नहीं है। 

इसलिए, \[\{ 1,2,3\} \]\[ \subset \]  A सही नहीं है।

(ix) \[\emptyset \] \[ \in \] A

उत्तर: \[\emptyset \]  सेट A के एक सदस्य इसलिए \[\emptyset \] \[ \in \] A सही है नहीं है।

(x) \[\emptyset \] \[ \subset \] A 

उत्तर: \[\emptyset \] सेट A का सदस्य नहीं है इसलिए \[\emptyset \] \[ \subset \] A गलत है।

4. निमानलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए: 

(i) \[{\text{\{ a\} }}\]

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = \[1\]

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = \[{2^1}\; = \;2\]

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = \[\emptyset \;,\;{\text{\{ a\} }}\]

(ii) \[{\text{\{ a,b\} }}\]

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = \[2\]

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = \[{2^2}\; = \;4\]

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = \[\emptyset ,\;{\text{\{ a\} ,}}\;{\text{\{ b\} ,}}\;{\text{\{ a,b\} }}\]

(iii) \[{\text{\{ 1,2,3\} }}\]

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = \[3\]

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = \[{2^3}\; = \;8\]

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = \[\emptyset ,\;\{ 1\} ,\;\{ 2\} ,\;\{ 1,2,3\} ,\;\{ 2\} ,\;\{ 3\} ,\;\{ 3,2\} ,\;\{ 3,1\} \]

(iv) \[\emptyset \] 

उत्तर: दिए गए सेट मे तत्वों की संख्या = \[0\]

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = \[{2^0}\; = \;1\]

इसलिए दिए गए सेट के सब्स्क्रिप्शन है = \[\emptyset \]

5. P(A) के कितने अवयव है, यदि A = \[{\text{0}}\]

उत्तर: सेट A = \[0\] मे तत्वों की संख्या 

दिए गए सेट के सब्सेट की संख्या = \[{2^0}\; = \;1\]

इसलिए, P(A) के तत्वों की संख्या एक है।

6. निमानलिखित को अंतराल रूप मे लिखिए: 

(i) \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R, - 4 < x}} \leqslant {\text{6\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R, - 4 < x}} \leqslant {\text{6\} }}\]

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है \[( - 4,6]\]

(ii) \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R, - 12 < x}} \leqslant  - 10{\text{\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R, - 12 < x}} \leqslant  - 10{\text{\} }}\]

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है \[( - 12, - 10)\]

(iii) \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,0 < x}} \leqslant 7{\text{\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,0 < x}} \leqslant 7{\text{\} }}\]

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है \[[0,7)\]

(iv) \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,3 < x}} \leqslant 4{\text{\} }}\]

उत्तर: A = \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,3 < x}} \leqslant 4{\text{\} }}\]

इसे अंतराल के रूप मे लिखा जा सकता है \[[3,4]\]

7. निमानलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप मे लिखिए

(i) \[( - 3,0)\]

उत्तर: \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R, - 3 < x < 0\} }}\]

(ii) \[[6,12]\]

उत्तर: \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,6}} \leqslant {\text{x}} \leqslant 12{\text{\} }}\]

(iii) \[(6,12]\]

उत्तर: \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,6 < x}} \leqslant 12{\text{\} }}\]

(iv) \[[ - 23,5)\]

उत्तर: \[{\text{\{ x:x}} \in {\text{R,12}} \leqslant {\text{x}} < 5{\text{\} }}\]

8. निमानलिखित मे से प्रत्येक के लिए आप कौन- सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे 

(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय 

उत्तर: समकोण त्रिभुज एक प्रकार का त्रिभुज है। इसलिए, त्रिकोण के सेट मे सभी प्रकार के त्रिकोण होते है। 

U = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] विमान मे एक त्रिकोण है}

(ii) संदिवबहु त्रिभुजों का समुच्चय 

उत्तर: संदिवबहु त्रिभुज का एक प्रकार है। इसलिए त्रिकोण के सेट मे सभी प्रकार के त्रिकोण होते है। 

U = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] विमान मे एक त्रिकोण है}

9. समुच्चय A = \[\{ 1,3,5\} \] , B = \[\{ 2,4,6\} \] , C = \[\{ 0,2,4,6,8\} \] प्रदत है। इन तीनों समुच्चय A,B,C के लिए निमानलिखित मे से कौन से सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते है 

(i) \[\{ 0,1,2,3,4,5,6\} \]

उत्तर: \[\{ 0,1,2,3,4,5,6\} \] है नहीं करने के लिए ए, बी, सी, क्योंकि \[8\; \notin \] C लेकिन \[\{ 0,1,2,3,4,5,6\} \] का सदस्य नहीं है एक सारवबहोमिक सेट।

(ii) \[\emptyset \]

उत्तर: \[\emptyset \] एक ऐसा समुच्चय है जिसमे कोई तत्व नहीं होता है। इसलिए, यह A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट नहीं है।

(iii) \[\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]

उत्तर: \[\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \] A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट है क्योंकि A,B,C के सभी सदस्य {\[0\] मे मोजूद है, \[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\] }

(iv) \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \]

उत्तर: \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \] A,B,C के लिए एक सारवबहोमिक सेट नहीं है क्योंकि \[0\] C, \[0\] { \[1,2,3,4,4\] का सदस्य नहीं है \[5,6,7,8\] }

प्रश्नावली 1.4 

1. निमानलिखित मे से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए 

(i) X = \[\{ 1,3,5\} \] , Y = \[\{ 1,2,3\} \]

उत्तर: X \[ \cup \] Y = \[{\text{\{ 1,2,3,5\} }}\]

(ii) A = \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] , B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]

उत्तर: X \[ \cup \] Y = \[{\text{\{ a,e,i,o,u,b,c\} }}\]

(iii) A = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है और \[{\text{3}}\] का गुणज है}, B = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संख्या \[{\text{6}}\] से कम एक प्रकरत संख्या है}

उत्तर: X \[ \cup \] Y = \[{\text{\{ 1,2,3,4,5,6,9,12,15,}}...{\text{\} }}\]

(iv) A = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है और \[{\text{1 < x}} \leqslant {\text{6}}\] }, B = {\[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है और \[6 < {\text{x}} < 10\] }

उत्तर: X \[ \cup \] Y = \[{\text{\{ 2,3,4,5,6,7,8,9\} }}\]

(v) A = \[\{ 1,2,3\} \] , B = \[\emptyset \]

उत्तर: X \[ \cup \] Y = \[{\text{\{ 1,2,3\} }}\]

2. मान लीजिए कि A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] , B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\] , क्या A \[ \subset \] B? A \[ \cup \] B ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया: A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] और B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]

यह सेट A के सभी तत्व सेट B मे मोजूद है। 

A, B और A \[ \cup \] B = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\] = B

3. यदि A और B दो ऐसे समुच्चय है कि A \[ \subset \] B तो A \[ \cup \] B क्या है? 

उत्तर: दिया गया: A और B दो सेट है जैसे A \[ \subset \] B 

A = \[\{ 1,2\} \] , B = \[\{ 1,2,3\} \] 

फिर A \[ \cup \] B = \[\{ 1,2,3\} \] = B

4. यदि A = \[\{ 1,2,3,4\} \] , B = \[\{ 3,4,5,6\} \] , C = \[\{ 5,6,7,8\} \] और D = \[\{ 15,17\} \] तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \[ \cup \] B

उत्तर: \[\{ 1,2,3,4,5,6\} \]

(ii) A \[ \cup \] C

उत्तर: \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \]

(iii) B \[ \cup \] C

उत्तर: \[\{ 3,4,5,6,7,8\} \]

(iv) B \[ \cup \] D

उत्तर: \[\{ 3,4,5,6,7,8,9,10\} \]

(v) A \[ \cup \] B \[ \cup \] C

उत्तर: \[\{ 1,2,3,4\} \; \cup \;\{ 3,4,5,6\} \; \cup \;\{ 5,6,7,8\} \]

= \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \]

(vi) A \[ \cup \] B \[ \cup \] D 

उत्तर: \[\{ 1,2,3,4\} \; \cup \;\{ 5,6,7,8\} \; \cup \;\{ 7,8,9,10\} \]

= \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]

(vii) B \[ \cup \] C \[ \cup \] D 

उत्तर: \[\{ 3,4,5,6\} \; \cup \;\{ 5,6,7,8\} \; \cup \;\{ 7,8,9,10\} \]

= \[\{ 3,4,5,6,7,8,9,10\} \]

5. प्रशन एक मे दिए गए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ट समुच्चय ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: (i) X \[ \cap \] Y = \[\{ 1,3\} \]

(ii) A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ a\} }}\]

(iii) A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ 3,6,9,12,}}...{\text{\} }}\]

(iv) A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

(v) A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

6. यदि A = \[\{ 3,5,7,9,11\} \], B = \[\{ 7,9,11,13\} \], C = \[\{ 11,13,15\} \], D = \[\{ 15,17\} \] तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \[ \cap \] B

उत्तर: \[\{ 7,9,11\} \]

(ii) B \[ \cap \] C

उत्तर: \[\{ 11,13\} \]

(iii) A \[ \cap \] C \[ \cap \] D

उत्तर: \[\{ 15\} \]

(iv) A \[ \cap \] C 

उत्तर: \[\{ 11\} \]

(v) B \[ \cap \] D

उत्तर: \[\emptyset \]

(vi) A \[ \cap \] (B \[ \cup \] C)

उत्तर: \[\{ 7,9,11\} \]

(vii) A \[ \cap \] C

उत्तर: \[\emptyset \]

(viii) A \[ \cap \] (B \[ \cup \] D)

उत्तर: \[\{ 7,9,11\} \]

(ix) (A \[ \cap \] B) \[ \cap \] (B \[ \cup \] C) 

उत्तर: \[\{ 7,9,11\} \]

(x) (A \[ \cup \] D) (B \[ \cup \] C)

उत्तर: \[\{ 7,9,11,15\} \]

7. यदि A = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है}, B = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम प्रकरत संख्या है}, C = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम प्रकरत संख्या है}, D = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाज्य संख्या है}, तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A \[ \cap \] B

उत्तर: A \[ \cap \]  B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है} \[ \cap \]  {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम प्रकरत संख्या है} = B

(ii) A \[ \cap \] C

उत्तर: A \[ \cap \] C = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है} \[ \cap \]  {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम प्रकरत संख्या है} = C

(iii) A \[ \cap \] D

उत्तर: A \[ \cap \] D = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है}  \[ \cap \]  {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाज्य संख्या है} = D

(iv) B \[ \cap \] C 

उत्तर: B \[ \cap \] C = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम प्रकरत संख्या है} \[ \cap \]   {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम प्रकरत संख्या है} = \[\emptyset \]

(v) B \[ \cap \] D

उत्तर: B \[ \cap \] D = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम प्रकरत संख्या है}  \[ \cap \]  {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाज्य संख्या है}  = \[\{ 2\} \]

(vi) C \[ \cap \] D

उत्तर: C \[ \cap \] D = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम प्रकरत संख्या है} \[ \cap \]   {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाज्य संख्या है}      = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम अभाज्य संख्या है}

8. निमानलिखित समुच्चय युग्मों मे से कौन से युग्म असंयुक्त है?

(i) \[\{ 1,2,3,4\} \] तथा { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है और \[4 \leqslant {\text{x}} \leqslant 6\] }

उत्तर: A = \[\{ 1,2,3,4\} \]  , B = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत संख्या है और}  = \[\{ 4,5,6\} \]

A \[ \cap \] B = \[\{ 4\} \]

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

(ii) \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] तथा \[{\text{\{ c,d,e,f\} }}\] 

उत्तर: A = \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] , B = \[{\text{\{ c,d,e,f\} }}\]

A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

(iii) {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम पूर्णक है} और {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम पूर्णक है} 

उत्तर: A = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम पूर्णक है} और B = {  \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम पूर्णक है}

A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

इसलिए A और B असन्तुष्ट है।

9. यदि A = \[{\text{\{ 3,6,9,12,15,18,21\} }}\] , B = \[{\text{\{ 4,8,12,16,20\} }}\] , C = \[{\text{\{ 2,4,6,8,10,12,14,16\} }}\] , D = \[{\text{\{ 5,10,15,20\} }}\] , तो निमानलिखित को ज्ञात कीजिए:

(i) A-B

उत्तर: \[\{ 3,6,9,15,18,21\} \]

(ii) A-C

उत्तर: \[\{ 3,9,15,18,21\} \]

(iii) A-D

उत्तर: \[\{ 3,6,9,15,18,21\} \]

(iv) B-A

उत्तर: \[\{ 4,8,16,20\} \]

(v) C-A

उत्तर: \[\{ 2,4,8,14,16\} \]

(vi) D-A

उत्तर: \[\{ 5,10,20\} \]

(vii) B-C

उत्तर: \[\{ 20\} \]

(viii) B-D

उत्तर: \[\{ 4,8,12,16\} \]

(ix) C-B

उत्तर: \[\{ 2,6,10,14\} \]

(x) D-B

उत्तर: \[\{ 5,10,15\} \]

(xi) C-D

उत्तर: \[\{ 2,4,6,8,12,14,16\} \]

(xii) D-C

उत्तर: \[\{ 5,15,20\} \]

10. यदि X = \[{\text{\{ a,b,c,d\} }}\] और Y = \[{\text{\{ f,b,d,g\} }}\] , तो निमानलिखित को ज्ञात कीजिए: 

(i) X-Y

उत्तर: \[{\text{\{ a,c\} }}\]

(ii) Y-X

उत्तर: \[{\text{\{ f,g\} }}\]

(iii) X \[ \cap \] Y

उत्तर: \[{\text{\{ b,d\} }}\]

11. यदि R वास्तविक संख्याओ और क परिमय संख्याओ के समुच्चय है, तो R-Q क्या होगा?

उत्तर: हम जानते है कि वास्तविक संख्याओ के सेट मे तर्कसंगत और अपरिमय संखयाए होती है। 

इसलिए, = R-Q अपरिमय संख्याओ का सेट।

12. बताइए कि निमानलिखित कथनों मे से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का ओचित्य भी बताइए: 

(i) \[\{ 2,3,4,5\} \] तथा \[\{ 3,6\} \] संयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = \[\{ 2,3,4,5\} \] , B = \[\{ 3,6\} \]

A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ 3\} }}\]

A और B असन्तुष्ट नहीं है इसलिए बयान गलत है।

(ii) \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] तथा \[{\text{\{ a,b,c,d\} }}\] असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = \[{\text{\{ a,e,i,o,u\} }}\] , B = \[{\text{\{ a,b,c,d\} }}\]

A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ a\} }}\]

A और B असन्तुष्ट नहीं है इसलिए बयान गलत है।

(iii) \[{\text{\{ 2,6,10,14\} }}\] तथा \[{\text{\{ 3,7,11,15\} }}\] असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = \[{\text{\{ 2,6,10,14\} }}\] , B = \[{\text{\{ 3,7,11,15\} }}\]

A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

A और B असन्तुष्ट है इसलिए बयान सत्य है।

(iv) \[{\text{\{ 2,6,10\} }}\] तथा \[{\text{\{ 3,7,11\} }}\] असंयुक्त समुच्चय है 

उत्तर: A = \[{\text{\{ 2,6,10\} }}\] , B = \[{\text{\{ 3,7,11\} }}\]

A \[ \cap \] B = \[\emptyset \]

A और B असन्तुष्ट है इसलिए बयान सत्य है।

प्रश्नावली 1.5  

1. मान लीजिए की U = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] , A = \[\{ 1,2,3,4\} \] , B = \[\{ 2,4,6,8\} \] , C = \[\{ 3,4,5,6\} \] तो निमानलिखित ज्ञात कीजिए:

(i) A’

उत्तर: A’ = U – A = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] - \[\{ 1,2,3,4\} \] = \[\{ 5,6,7,8,9\} \]

(ii) B’

उत्तर: B’ = U – B = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] - \[\{ 2,4,6,8\} \] = \[\{ 5,6,7,8,9\} \]

(iii) (A \[ \cup \] C)’

उत्तर: U – (A \[ \cup \] C) = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] - \[\{ 1,2,3,4,5,6\} \] = \[\{ 7,8,9\} \]

(iv) (A \[ \cup \] B)’

उत्तर: U – (A \[ \cup \] B) = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] - \[\{ 1,2,3,4,5,6,8\} \] = \[\{ 5,7,9\} \]

(v) (A’)’

उत्तर: U-A = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}  - \{ 1,2,3,4\} \]( A’) = \[\{ 5,6,7,8,9\} \] ( A’)

U – A’ = \[\{ 1,2,3,4\} \]

(vi) (B-C)’

उत्तर: U - (B-C) = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,\}  - \{ 2,8\}  = \{ 1,3,4,5,6,7,9\} \]

2. अगर U = \[{\text{\{ a,b,c,d,e,f,g,h\} }}\] तो निमनलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए 

(i) A = \[{\text{\{ a,b,c\} }}\]

उत्तर: A’ = U – A = \[{\text{\{ a,b,c,d,e,f,g,h\}  - \{ a,b,c\} }}\] = \[{\text{\{ d,e,f,g,h\} }}\]

(ii) B = \[{\text{\{ d,e,f,g\} }}\]

उत्तर: B’ = U – B = \[{\text{\{ a,b,c,d,e,f,g,h\}  - \{ d,e,f,g\} }}\] = \[{\text{\{ a,b,c,h\} }}\]

(iii) C = \[{\text{\{ a,c,e,g\} }}\]

उत्तर: C’ = U – C = \[{\text{\{ a,b,c,d,e,f,g,h\}  - \{ a,c,e,g\} }}\] = \[{\text{\{ b,d,g,h\} }}\]

(iv) D = \[{\text{\{ f,g,h,a\} }}\]

उत्तर: D’ = U – D = \[{\text{\{ a,b,c,d,e,f,g,h\}  - \{ f,g,h,a\} }}\] = \[{\text{\{ b,c,d,e\} }}\]

3. प्रकरत संख्याओ के समुच्चय को सारवित्रीक समुच्चय मानते हुए निमनलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:

(i) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत सम संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक विषम प्रकरत संख्या है}

(ii) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक प्रकरत विषम संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक सम संख्या है}

(iii) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संख्या तीन का एक धन गुणज है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x }} \in \;\mathbb{N}\] संख्या तीन का एक धन गुणज नहीं है}

(iv) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक अभाजय संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक धन भाजय संख्या है}

(v) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संख्या तीन और पाँच से विभाजित होने वाली संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] संख्या तीन और पाँच से विभाजित नहीं होने वाली संख्या है}

(vi) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक पूर्ण वर्ग संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x }} \in \;\mathbb{N}\] तथा \[{\text{x}}\] एक पूर्ण वर्ग धन संख्या नहीं है}

(vii) { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक पूर्ण धन संख्या है}

उत्तर: { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x }} \in \;\mathbb{N}\] तथा \[{\text{x}}\] एक पूर्ण वर्ग धन संख्या नहीं है}

(viii) \[{\text{\{ x : x + 5  =  8\} }}\]

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\; \in \;\mathbb{N},{\text{x}}\; \ne \;3\} \]

(ix) \[{\text{\{ x : 2x + 5  =  9\} }}\]

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\; \in \;\mathbb{N},{\text{x}}\; \ne \;2\} \]

(x) \[{\text{\{ x : x }} \geqslant {\text{ 7\} }}\]

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\; \in \;\mathbb{N},{\text{x}}\; < \;7\} \]

(xi) \[{\text{\{ x : x}} \in \mathbb{N}{\text{, 2x + 7  >  10\} }}\]

उत्तर: \[\{ {\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}}\; \in \;\mathbb{N},{\text{x}}\; < \;\dfrac{9}{2}\} \]

4. यदि U = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \] , A = \[\{ 2,4,6,8\} \] , B = \[\{ 2,3,5,7\} \] तो सत्यापित कीजिए कि

(i) (A \[ \cup \] B)’ = A’ \[ \cap \] B’

उत्तर: A \[ \cup \] B = \[\{ 2,4,6,8\}  - \{ 2,3,5,7\}  = \{ 2,3,4,5,6,7,8\} \]

LHS = (A \[ \cup \] B)’ = U - A \[ \cup \] B = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}  - \{ 2,3,4,5,6,7,8\}  = \{ 1,9\} \]

A’ = U – A = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}  - \{ 2,4,6,8\}  = \{ 1,3,5,7,9\} \]

B’ = U – B = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}  - \{ 2,3,5,7\}  = \{ 1,4,6,8,9\} \]

RHS = A’ \[ \cap \] B’ = \[\{ 1,3,5,7,9\}  \cap \{ 1,4,6,8,9\}  = \{ 1,9\} \]

LHS = RHS

(ii) (A \[ \cap \] B)’ = A’ \[ \cup \] B’

उत्तर: LHS = (A \[ \cap \] B)’ = \[\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}  - \{ 2\}  = \{ 1,3,4,5,6,7,8,9\} \]

RHS = A’ \[ \cup \] B’ = \[\{ 1,3,5,7,9\}  \cup \{ 1,4,6,8,9\}  = \{ 1,3,4,5,6,7,8,9\} \]

LHS = RHS

5. निमनलिखित मे प्रत्येक उपयुक्त वेन आरेख खिचिए 

(i) (A \[ \cup \] B)’

उत्तर: 

(ii) A’ \[ \cap \] B’ 

उत्तर:

(iii) (A \[ \cap \] B)’ 

उत्तर:

(iv) A’ \[ \cup \] B’ 

उत्तर:

6. मान लीजिए की किसी समतल मे स्थित सभी त्रिभुजों का समुचकी सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमे कम से कम एक कोण \[60^\circ \] से भिन्न है तो A’ क्या है। 

उत्तर: U = { \[{\text{x}}\] : समतल मे एक त्रिभुज है}

A = { \[{\text{x}}\] : \[{\text{x}}\] एक त्रिभुजों जिसका कम से कम एक कोण \[60^\circ \] का नहीं हो}

A’ = { सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है}

7. निमनलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए:

(i) (A \[ \cup \] A)’ =.........

उत्तर: U

(ii) \[\emptyset \; \cap \;\] A

उत्तर: U \[ \cup \] A = A

(iii) A \[ \cap \] A’

उत्तर: \[\emptyset \]

(iv) U’ \[ \cap \] A

उत्तर: \[\emptyset \; \cap \;\]A = \[\emptyset \]

प्रश्नावली 1.6

1. यदि X और Y दो ऐसे सानुच्चय हु कि n(X) = \[17\] , n(Y) = \[23\] तथा n(X \[ \cup \] Y) = \[38\] तो 

n(X \[ \cap \] Y) ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = \[17\] , n(Y) = \[23\] तथा n(X \[ \cup \] Y) = \[38\]

n(X \[ \cup \] Y) = n(X) + n(Y) - n(X \[ \cap \] Y)

\[38\] = \[17\] + \[23\] - n(X \[ \cap \] Y) = \[40\] - n(X \[ \cap \] Y)

n(X \[ \cap \] Y) = \[40\] - \[38\] = \[2\]

2. यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय है कि X \[ \cup \] Y मे \[18\] , X मे \[8\] और Y मे \[15\] अवयव है तो X \[ \cap \] Y मे कितने अवयव होंगे। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = \[8\] , n(Y) = \[15\] तथा n(X \[ \cup \] Y) = \[18\]

n(X \[ \cup \] Y) = n(X) + n(Y) - n(X \[ \cap \] Y)

\[18\] = \[8\] + \[15\] - n(X \[ \cap \] Y) = \[23\] - n(X \[ \cap \] Y)

n(X \[ \cap \] Y) = \[23\] - \[18\] = \[5\]

3. \[400\] व्यक्तियों के समूह मे \[250\] हिन्दी तथा \[200\] अंग्रेजी बोल सकते है। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते है? 

उत्तर: मान लीजिए की H और E क्रमश: हिन्दी व् अंग्रेजी बोलने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(H) = \[250\] , n(E) = \[200\] तथा n(H \[ \cup \] E) = \[400\]

n(H \[ \cup \] E) = n(H) + n(E) - n(H \[ \cap \] E)

\[400\] = \[250\] + \[200\] - n(H \[ \cap \] E) = \[450\] - n(H \[ \cap \] E)

n(H \[ \cap \] E) = \[450\] - \[400\] = \[50\]

4. यदि S और T दो ऐसे समुच्चय है कि S मे \[21\] , T मे \[32\] और  S \[ \cap \] T मे \[11\] अवयव है तो S \[ \cup \] T मे कितने अवयव होंगे।

उत्तर: दिया गया है,

n(S) = \[21\] , n(T) = \[32\] तथा n(S \[ \cap \] T) = \[11\]

n(S \[ \cup \] T) = n(S) + n(T) - n(S \[ \cap \] T)

= \[21\] + \[32\] - \[11\] = \[42\]

5. यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय है कि X \[ \cup \] Y मे \[60\] , X मे \[40\] और X \[ \cap \] Y मे \[10\] अवयव है तो Y मे कितने अवयव होंगे। 

उत्तर: दिया गया है,

n(X) = \[40\] , n(X \[ \cap \] Y) = \[10\] तथा n(X \[ \cup \] Y) = \[60\]

n(X \[ \cup \] Y) = n(X) + n(Y) - n(X \[ \cap \] Y)

\[60\] = \[40\] + n(Y) - \[10\] = \[30\] + n(Y)

n(Y) = \[30\]

6. \[70\] व्यक्तियों के समूह मे \[37\] कॉफी, \[52\] चाय पसंद करते है और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों को पसंद करते है। 

उत्तर: मान लीजिए की C और T क्रमश: कॉफी व् चाय पीने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(C) = \[37\] , n(T) = \[52\] तथा n(C \[ \cup \] T) = \[70\]

n(C \[ \cup \] T) = n(C) + n(T) - n(C \[ \cap \] T)

\[70\] = \[37\] + \[52\] - n(C \[ \cap \] T) = \[89\] - n(C \[ \cap \] T)

n(C \[ \cap \] T) = \[89\] - \[70\] = \[19\]

7. \[65\] व्यक्तियों के समूह मे \[40\] व्यक्ति क्रिकेट और \[10\] व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पसंद करते है तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पसंद करते होंगे किन्तु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पसंद करते है। 

उत्तर: मान लीजिए की C और T क्रमश: क्रिकेट व् टेनिस पीने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(C) = \[40\] , n(C \[ \cap \] T) = \[10\] तथा n(C \[ \cup \] T) = \[65\]

n(C \[ \cup \] T) = n(C) + n(T) - n(C \[ \cap \] T)

\[65\] = \[40\] + n(T) - \[10\] = \[30\] + n(T)

n(C \[ \cap \] T) = \[65\] - \[30\] = \[35\]

केवल टेनिस को पसंद करने वाले = n(T) - n(C \[ \cap \] T) = \[35\] - \[10\] = \[25\]

8. एक कमेटी मे \[50\] व्यक्ति फ्रेंच, \[20\] व्यक्ति स्पैनिश और \[10\] व्यक्ति स्पैनिश और फ्रेंच दोनों भाषाओ को बोल सकते है। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओ मे से कम से कम एक भाषा बोल सकते है। 

उत्तर: मान लीजिए की F और S क्रमश: फ्रेंच व् स्पैनिश बोलने वाले लोगों की समुच्चय हो तब 

n(F) = \[50\] , n(S) = \[20\] तथा n(F \[ \cap \] S) = \[10\]

n(F \[ \cup \] S) = n(F) + n(S) - n(F \[ \cap \] S)

= \[50\] + \[20\] - \[10\] = \[70\] - \[10\] = \[60\] = कम से कम एक भाषा बोलने वाले

प्रश्नावली A1 

1. निमनलिखित समुच्चयों मे से कौन किसका उपसमुच्चय हैमिस्क निर्णय कीजिए:

A = { \[{\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}} \in \mathbb{R},\;{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 8x + 12}}\; = \;0\] को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संखयाए \[{\text{x}}\] }, B = \[{\text{\{ 2,4,6\} }}\] , C = \[{\text{\{ 2,4,6,8,}}..{\text{\} }}\] , D = \[{\text{\{ 6\} }}\]

उत्तर: A = { \[{\text{x}}\;{\text{:}}\;{\text{x}} \in \mathbb{R},\;{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 8x + 12}}\; = \;0\] को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संखयाए \[{\text{x}}\] } = \[\{ 2,6\} \]

B = \[{\text{\{ 2,4,6\} }}\]

C = \[{\text{\{ 2,4,6,8,}}..{\text{\} }}\]

D = \[{\text{\{ 6\} }}\]

समुच्चय A के अवयव B और C मे भी है। अतः A, B का और C का उपसमुच्चय है,              A \[ \subset \] B, A \[ \subset \] C

समुच्चय B के अवयव C मे है। अतः B, C का उपसमुच्चय है, B \[ \subset \] C

समुच्चय D के अवयव A, B, C मे है। अतः D, A, B, C का उपसमुच्चय है, D \[ \subset \] A, D \[ \subset \] B,                         D \[ \subset \] C

2. ज्ञात कीजिए कि निमनलिखित मे से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए। 

(i) यदि \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तथा \[{\text{A }} \in \;{\text{B}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

उत्तर: मान लेते है कि A = \[\{ 2,4\} \] और B = \[\{ 2,\{ 2,4\} ,8\} \]

परंतु \[4 \notin \{ 2,\{ 2,4\} ,8\} \]

अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(ii) यदि \[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \in {\text{C}}\] तो \[{\text{A}} \in {\text{C}}\]

उत्तर: मान लेते है कि A = \[\{ 2\} \] , B = \[\{ 2,4\} \] और C = \[\{ \{ 2,4\} ,8\} \]

अस्पष्टता \[2 \in \{ 2,4\} {\text{ , }}\{ 2,4\}  \in \{ \{ 2,4\} ,8\} \]

\[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \in {\text{C}}\] 

परंतु \[2 \notin \{ \{ 2,4\} ,8\} \]

A \[ \notin \] C

अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(iii) यदि \[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \subset {\text{C}}\] तो \[{\text{A}} \in {\text{C}}\]

उत्तर: मान लेते है \[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \subset {\text{C}}\]

यदि \[{\text{x}} \in {\text{A}} \Rightarrow {\text{x}} \in {\text{B}}\]

$\Rightarrow {\text{x}} \in {\text{C}} $

$  \therefore {\text{A}} \subset {\text{C}} $

अतः दिया हुआ कथन सत्य है।

(iv) यदि \[{\text{A}} \not\subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \not\subset {\text{C}}\] तो \[{\text{A}} \not\subset {\text{C}}\]

उत्तर: मान लेते है कि \[{\text{A}} = \{ 1,2,3\} ,{\text{B}} = \{ 2,3,4\} ,{\text{C}} \in \{ 1,2,3,8\} \]

स्पष्टता \[{\text{A}} \not\subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{B}} \not\subset {\text{C}}\] परंतु \[{\text{A}} \subset {\text{C}}\]

अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(v) यदि \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तथा \[{\text{A}} \not\subset {\text{B}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

उत्तर: मान लेते है कि \[{\text{A}} = \{ 1,2\} ,\;{\text{B}} = \{ 2,3,4\} \]

स्पष्टता \[{\text{2}} \in {\text{A}}\] और \[{\text{A}} \not\subset {\text{B}}\] और \[{\text{2}} \in {\text{B}}\]

अतः दिया हुआ कथन सत्य है।

(vi) यदि \[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] तथा \[{\text{x }} \notin {\text{B}}\] तो \[{\text{x }} \notin {\text{A}}\]

उत्तर: दिया गया है \[{\text{A }} \subset {\text{B}}\] 

यदि \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

अतः यदि \[{\text{x }} \notin {\text{A}}\] तो \[{\text{x }} \notin {\text{B}}\] 

अतः दिया हुआ कथन सत्य है।

3. मान लीजिए कि A,B,C ऐसे समुच्चय है कि A \[ \cup \] B = A \[ \cup \] C तथा A \[ \cap \] B = A \[ \cap \] C तो दर्शाइए कि B = C

उत्तर: (A \[ \cup \] B) \[ \cap \] C = (A \[ \cup \] C) \[ \cap \] C = C       [(A \[ \cup \] C) C = C]

(A \[ \cap \] C) \[ \cup \] ( B \[ \cap \] C) = C………………(i)

A \[ \cap \] B = A \[ \cap \] C

(A \[ \cap \] B)  \[ \cap \]  (B \[ \cap \] C) = C

A \[ \cup \] B = A \[ \cup \] C

(A \[ \cup \] B)  \[ \cap \] B = (A \[ \cup \] C) \[ \cap \] B

B = (A \[ \cup \] C) \[ \cap \] B

(A \[ \cap \] B) \[ \cup \] (B \[ \cap \] C) = B……………..(ii)

अतः समीकरण (i) और (ii) से हम यह कह सकते है की B = C

4. दिखाइए कि निमनलिखित चार प्रबंध तुल्य है:

(i) A \[ \subset \] B

उत्तर: A \[ \subset \] B अर्थात के सभी अवयव मे है 

अतः यदि \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

A – B = \[\emptyset \]

A \[ \subset \] B, A – B = \[\emptyset \]

(ii) A – B = \[\emptyset \]

उत्तर: अतः \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] और \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

A \[ \subset \] B

(iii) A \[ \cup \] B = B

उत्तर: अगर \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

अगर \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\]

A \[ \cup \] B = B

(iv) A \[ \cap \] B = A

उत्तर: अगर \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\]

अगर \[{\text{x }} \in \;{\text{B}}\] तो \[{\text{x }} \in \;{\text{A}}\]

A \[ \cap \] B = A

5. दिखाइए कि यदि A \[ \subset \] B तो C – B \[ \subset \] C – A

उत्तर: मान लेते है कि \[{\text{x}} \in {\text{C}} - {\text{B}} \Rightarrow {\text{x}} \in {\text{C}},{\text{x}} \notin {\text{B}}\]

कि यदि \[{\text{A}} \subset {\text{B}} \Rightarrow {\text{x}} \in {\text{C}},{\text{x}} \notin {\text{A}}\]

\[{\text{x}} \in {\text{C - A}}\] 

स्पष्टता C – B \[ \subset \] C – A

6. मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B

उत्तर: मान लेते है की \[{\text{x}}\] समुच्चय A का कोई अवयव है 

\[{\text{x}} \in \] A

A \[ \in \] P(A), A \[ \in \] P(B)

यदि C \[ \in \] P(B), \[{\text{x}} \in \] C

C \[ \subset \] B, \[{\text{x}} \in \] B

A \[ \subset \] B, C \[ \subset \] A

A = B

7. किन्ही दो समुच्चय A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) \[ \cup \] P(B) = P(A \[ \cup \] B), अपने उत्तर का ओचित्य बताइए। 

उत्तर: मान लेते है कि A = \[\{ 1\} \] , B = \[\{ 2\} \] , A \[ \cup \] B = \[\{ 1,2\} \].... (i)

P(A) = \[\{ \emptyset ,\{ 1\} \} \] , P(B) = \[\{ \emptyset ,\{ 2\} \} \]

P(A) \[ \cup \] P(B) = \[\{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} \} \]

P(A \[ \cup \] B) = \[\{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 1,2\} \} \]…. (ii) 

अतः समीकरण (i) और (ii) से P(A) \[ \cup \] P(B) \[ \ne \] P(A \[ \cup \] B)

8. किन्ही दो समुच्चय A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि 

(i) A = (A \[ \cap \] B) \[ \cup \] (A – B)

उत्तर:  (A \[ \cap \] B) \[ \cup \] (A – B) = (A \[ \cap \] B) \[ \cup \] (A \[ \cap \] B’)

= (A \[ \cap \] (B \[ \cup \] B’))  = A

A = (A \[ \cap \] B) \[ \cup \] (A – B)

(ii) A \[ \cup \] (B – A) = A \[ \cup \] B

उत्तर: A \[ \cup \] (B – A) = A \[ \cup \] (B \[ \cap \] A’)

                            = (A \[ \cup \] B)  \[ \cap \] (A \[ \cup \] A’)

                            = (A \[ \cup \] B)  \[ \cap \] U 

                            = A \[ \cup \] B

A \[ \cup \] (B – A) = A \[ \cup \] B

9. समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि 

(i) A \[ \cup \] (A \[ \cap \] B) = A

उत्तर: A \[ \cup \] (A \[ \cap \] B) = (A \[ \cup \] A)  \[ \cap \] (A \[ \cup \] B) = A \[ \cap \] (A \[ \cup \] B)

समुच्चय A के सभी अवयव A \[ \cup \] B  मे होंगे अतः A \[ \subset \] (A \[ \cup \] B)

A \[ \cup \] (A \[ \cap \] B) = A

(ii) A \[ \cap \] (A \[ \cup \] B) = A

उत्तर: A \[ \cap \] (A \[ \cup \] B) =  (A \[ \cap \]  A)  \[ \cup \] (A \[ \cap \]  B) = A \[ \cup \]  (A \[ \cap \]  B) 

समुच्चय A के सभी अवयव A \[ \cup \] B  मे होंगे अतः A \[ \subset \] (A \[ \cap \] B)

A \[ \cap \] (A \[ \cup \] B) = A

10. दिखलाइए कि A \[ \cap \] B = A \[ \cap \] C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता है। 

उत्तर: मान लेते है कि A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] , B = \[{\text{\{ a,c\} }}\] , C = \[{\text{\{ a,d\} }}\]

A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ a\} }}\] , A \[ \cap \] C = \[{\text{\{ a\} }}\]

तो A \[ \cap \] B = A \[ \cap \] C पर B \[ \ne \] C

11. मान लीजिए कि A और B समुच्चय है। यदि किसी समुच्चय X के लिए A \[ \cap \] X = B \[ \cap \] X = \[\emptyset \] तथा A \[ \cup \] X = B \[ \cup \] X तो सिद्ध कीजिए कि A – B

उत्तर: दिया गया है कि A और B दो समुच्चय है, समुच्चय X के लिए 

A \[ \cap \] X = B \[ \cap \] X = \[\emptyset \] तथा A \[ \cup \] X = B \[ \cup \] X 

हमे ज्ञात है कि A = A \[ \cap \] (A \[ \cup \] X)

A = (A \[ \cap \] A) \[ \cup \] (A \[ \cap \] X)

    = A \[ \cup \] (A \[ \cap \] X) = A \[ \cup \] (B \[ \cap \] X)

    = (A \[ \cup \] B) \[ \cap \] (A \[ \cup \] X) = (A \[ \cup \] B)

B = B \[ \cap \] (B \[ \cup \] X)

   = B \[ \cup \] (B \[ \cap \] X) = B \[ \cup \] (A \[ \cap \] X)

   = (B \[ \cup \] A) \[ \cap \] (B \[ \cup \] X)

   = (B \[ \cup \] A) = (A \[ \cup \] B)

A = B

12. A, B, C ज्ञात कीजिए ताकि A \[ \cap \] B, B \[ \cap \] C, तथा A \[ \cap \] C अरिक्त समुच्चय हो और 

A \[ \cap \] B \[ \cap \] C = \[\emptyset \]

उत्तर: मान लीजिए A = \[{\text{\{ a,b\} }}\] , B = \[{\text{\{ b,c\} }}\] , C = \[{\text{\{ a,c\} }}\]

स्पष्टता A \[ \cap \] B = \[{\text{\{ b\} }}\] , B \[ \cap \] C = \[{\text{\{ c\} }}\] , A \[ \cap \] C = \[{\text{\{ a\} }}\]

परंतु A \[ \cap \] B \[ \cap \] C = (A \[ \cap \] B) \[ \cap \] C = \[{\text{\{ b\} }}\] \[ \cap \] \[{\text{\{ a,c\} }}\] = \[\emptyset \]

13. किसी विद्यालय मे \[600\] विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि \[150\] विद्यार्थी चाय, \[225\] विद्यार्थी कॉफी तथा \[100\] विद्यार्थी चाय और कॉफी दोनों पीते है। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय और न ही कॉफी पीते है। 

उत्तर: मान लेते है T चाय पीने वाले और C कॉफी पीने वाले विद्यार्थी है

अतः n(T) = \[150\] , n(C) = \[225\] तथा n(T \[ \cap \] C) = \[100\]

n(T \[ \cup \] C) = n(T) + n(C) - n(T \[ \cap \] C)

= \[150\] + \[225\] - \[100\] = \[275\]

जीतने विद्यार्थी न तो चाय और न ही कॉफी पीते है उन विद्यार्थियों की संख्या = \[600 - 275\; = \;325\]

14. विद्यार्थियों के एक समूह मे \[100\] विद्यार्थी हिन्दी, \[50\] विद्यार्थी अंग्रेजी तथा \[25\] विद्यार्थी दोनों भाषाओ को जानते है। विद्यार्थियों मे से प्रत्येक या तो हिन्दी या तो अंग्रेजी जनता है। समूह मे कुल कितने विद्यार्थी है?

उत्तर: मान लेते है H = हिन्दी जानने वाले विद्यार्थियों का समूह , E = अंग्रेजी जानने वाले विद्यार्थियों का समूह 

n(H) = \[100\] , n(E) = \[50\] तथा n(H \[ \cap \] E) = \[25\]

n(H \[ \cup \] E) = n(H) + n(E) - n(H \[ \cap \] E)

= \[100\] + \[50\] - \[25\] = \[125\]

हिन्दी या अंग्रेजी जानने वाले विद्यार्थी की संख्या = \[125\]

15. \[60\] लोगों के सर्वेक्षण मे पाया गया कि \[25\] लोह समाचार पत्र H, \[26\] लोह समाचार पत्र T, \[26\] लोग समाचार पत्र I, \[9\] लोग H तथा I दोनों, \[11\] लोग H तथा T दोनों, \[8\] लोग T  तथा I दोनों और \[3\] लोग तीनों ही समाचार पत्र पड़ते है, तो निमनलिखित ज्ञात कीजिए: 

(i) कम से कम एक समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या 

उत्तर: H समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या, n(H) = \[25\]

T समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या, n(T) = \[26\]

I समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या, n(I) = \[26\]

n(U) = \[60\]

n(H \[ \cap \] I) = \[9\] , n(H \[ \cap \] T) = \[11\] , n(T \[ \cap \] I) = \[8\] , n(H \[ \cap \] T \[ \cap \] I) = \[3\]

n( H T I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H \[ \cap \] I) - n(H \[ \cap \] T) - n(T \[ \cap \] I) + n(H \[ \cap \] T \[ \cap \] I)

= \[25 + 26 + 29 - 9 - 11 - 8 + 3\; = \;52\]

(ii) ठीक- ठीक केवल एक समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या 

उत्तर: केवल H और T पड़ने वालों की संख्या = n(H \[ \cap \] T) - n(H \[ \cap \] T \[ \cap \] I) = \[11 - 3\; = \;8\]

केवल H और I पड़ने वालों की संख्या = n(H \[ \cap \] I) - n(H \[ \cap \] T \[ \cap \] I) = \[9 - 3\; = \;6\]

केवल T और I पड़ने वालों की संख्या = n(T \[ \cap \] I) - n(H \[ \cap \] T \[ \cap \] I) = \[8 - 3\; = \;5\]

केवल एक समाचार पत्र पड़ने वालों की संख्या = \[52 - (8 + 6 + 5 + 3)\; = \;52 - 22\; = \;30\]

16. एक सर्ववेक्षण मे पाया गया कि \[21\] लोग उत्पाद A, \[26\] लोग उत्पाद B, \[29\] लोग उत्पाद C पसंद करते है। यदि \[14\] लोग उत्पाद A तथा B, \[12\] लोग उत्पाद C तथा A, \[14\]  लोग उत्पाद C  तथा B और \[8\] लोग तीनों उत्पादों को पसंद करते है। ज्ञात कीजिए कि कितने केवल उत्पाद C को पसंद करते है। 

उत्तर: उत्पाद A पसंद करने वालों लोगों की संख्या, n(A) = \[21\]

उत्पाद B पसंद करने वालों लोगों की संख्या, n(B) = \[26\]

उत्पाद C पसंद करने वालों लोगों की संख्या, n(C) = \[29\]

N(A \[ \cap \] B) = \[14\] , n(B \[ \cap \] C) = \[14\] , n(A \[ \cap \] C) = \[12\] , n(A \[ \cap \] B \[ \cap \] C) = \[8\]

केवल A और C पसंद करने वालों की संख्या = \[12 - 8\; = \;4\]

केवल B और C पसंद करने वालों की संख्या = \[14 - 8\; = \;6\]

केवल उत्पाद C पसंद करने वालों की संख्या = \[29 - (4 + 6 + 8)\; = \;29 - 18\; = \;11\]

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