NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 - In Hindi

प्रश्नावली $11.1$

निम्ननिखित प्रेश्न 1 से 5 तक प्र्रेक मे वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1 केंद्र $(0,2)$ और त्रिज्या 2 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(0,2)$ और त्रिज्या 2 इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

अत: वृत का समीकरण

$(x-0)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}=x^{2}+y^{2}-4 y=0$

2 केंद्र $(-2,3)$ और त्रिज्या 4 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(-2,3)$ और त्रिज्या 4 इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

अतः वृत का समीकरण

${[x-(-2)]^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}=x^{2}+4 x+4+y^{2}-6 y+9=16}$

$=x^{2}+4 x+y^{2}-6 y-3=0$

3 केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या 1 इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ और त्रिज्या $\dfrac{1}{12}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

अत: वृत का समीकरण

$\dfrac{(x-1)^{2}}{2}+\dfrac{(y-1)^{2}}{4}=\dfrac{1^{2}}{12}=x^{2}-x+\dfrac{1}{4}+y^{2}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{1^{2}}{144}$

$144 x^{2}-144 x+36+144 y^{2}-72 y+9-1=0$

$144 x^{2}-144 x+144 y^{2}-72 y+44=0$

$4\left(36 x^{2}-36 x+36 y^{2}-2 y+11\right)=0$

$36 x^{2}-36 x+36 y^{2}-2 y+11=0$

4 केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(1,1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

अत:

वृत का समीकरण

$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\sqrt{2}^{2}=x^{2}-2 x+1+y^{2}-2 y+1=2$

$x^{2}-2 x+y^{2}-2 y=0$

5. केंद्र $(-\mathrm{a},-\mathrm{b})$ और त्रिज्या $\sqrt{\mathrm{a}}^{2}-\mathbf{b}^{2}$ इकाई

उत्तर: दिया गया है: केंद्र $(-a,-b)$ और त्रिज्या $\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ इकाई

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

अत: वृत का समीकरण

$[x-(-a)]^{2}+[y-(-b)]^{2}=\left(\sqrt{a^{2}}-b^{2}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y+2 b^{2}=0$

निम्ननिखित प्रेश्न $_{6}$ से 9 तक प्र्तेक मे वृत का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

6.$\mathbf{ (\mathbf{x}+5)^{2}+(\mathbf{y}-3)^{2}=\mathbf{3 6}}$

उत्तर: दिया गया है:

$(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=36$

ज्ञात है: वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

तुलना करने पर

$h=-5, k=3, r=6$

 अत: केंद्र $(-5,3)$ और त्रिज्या 6 इकाई

7. $\mathbf{x^{2}+y^{2}-4 x-8 y-45=0}$

उत्तर: दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-4 x-8 y-45=0$

$\left(x^{2}-4 x\right)+\left(y^{2}-8 y\right)=45$

$x^{2}$ समीकरण मे $2^{2}$ और $y^{2}$ में $4^{2}$ जोड़ने और घटाने पर $\left(x^{2}-4 x+2^{2}\right)+\left(y^{2}-8 y+4^{2}\right)=45$

हि करि पर

$\Rightarrow(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=65$

$\Rightarrow(x-2)+(y-4)=\sqrt{65}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

तुलना करने पर

$h=2, k=4, r=\sqrt{65}$

केंद्र $(2,4)$ और त्रिज्या $\sqrt{65}$ इकाई

8. $\mathbf{x^{2}+y^{2}-8 x+10 y-12=0}$

उत्तर: दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-8 x+10 y-12=0$

$\left(x^{2}-8 x\right)+\left(y^{2}-10 y\right)=12$

$x^{2}$ समीकरण मे $4^{2}$ और $y^{2}$ में $5^{2}$ जोड़ने और घटाने पर

$\left(x^{2}-4 x+4^{2}\right)+\left(y^{2}+10 y+5^{2}\right)-16-25=12$

हल करने पर

$\Rightarrow(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=53$

$\Rightarrow(x-4)+(y+5)=\sqrt{53}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

तुलना करने पर

$h=4, k=5, r=\sqrt{53}$

केंद्र $(4,5)$ और त्रिज्या $\sqrt{53}$ इकाई

9. $\mathbf{2 x^{2}+2 y^{2}-x=0}$

उत्तर: दिया गया है: $2 x^{2}+2 y^{2}-x=0$

$2 x^{2}-x+2 y^{2}=0$

हल करने पर

$x^{2}-2 x 1 / 4+1^{2} / 4+y^{2}-1^{2} / 4=0$

$\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^{2}+(y-0)^{2}=\dfrac{1^{2}}{4}$

वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

तुलना करने पर

$h=\dfrac{1}{4}, k=0, r=\dfrac{1}{4}$

10. बिंदुओं $(4,1)$ और $(6,5)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $4 x+y=16$ पर स्थित है।

उत्तर: बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$, केंद्र रेखा $4 x+y=16$,

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

वृत गुजरता है बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$

अतः समीकरण 1

$(4-h)^{2}+(1-k)^{2}=r^{2}$

समीकरण 2

$(6-h)^{2}+(5-k)^{2}=r^{2}$

केंद्र रेखा $4 x+y=16$

अत: समीकरण 3 .

$4 h+k=16$

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर

$(4-h)^{2}+(1-k)^{2}=(6-h)^{2}+(5-k)^{2}$ 

$=16-8 h+h^{2}+1-2 k=36-12 h+h^{2}+25-10 k+k^{2}$ 

$=h+2 k=11 \quad . . .$ समीकरण 4

समीकरण 4 को 4 से गुणा करने के बाद $_{3}$ में से घटाने पर

h=3, k=4

समीकरण 1 में मान रखने पर

$(4-3)^{2}+(1-4)^{2}=r^{2}$

हल करने पर

$r=\sqrt{5}$

अत: वृत का समीकरण

$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5$

11. बिंदुओं $(2,3)$ और $(-1,1)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x-3 y-11=0$ पर स्थित है।

उत्तर:दिया गया है:

बिंदु $(2,3)$ और $(-1,1)$, केंद्र रेखा $x-3 y-11=0$

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

वृत गुजरता है बिंदु $(4,1)$ और $(6,5)$

अत: समीकरण 1

$(2-h)^{2}+(3-k)^{2}=r^{2}$

समीकरण 2

$(-1-h)^{2}+(1-k)^{2}=r^{2}$

केंद्र रेखा $x-3 y-11=0$

अतः समीकरण 3 .

$h-3 k=11$

समीकरण 1 और 2 की तुलना करने पर

$(2-h)^{2}+(3-k)^{2}=(-1-h)^{2}+(1-k)^{2}$

$=4-4 h+h^{2}+9-6 k=1+2 h+h^{2}+1-2 k+k^{2}$

$=6 h+4 k=11$

समीकरण 4

समीकरण ${ }_{3}$ को $_{6}$ से गुणा करने के बाद ${ }_{3}$ में से को घटाने पर

$h=\dfrac{7}{2}, k=\dfrac{-5}{2}$

समीकरण 1 में मान रखने पर

$\left(2-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(3+\dfrac{5}{2}\right)^{2}=r^{2}$

हल करने पर

$r=\dfrac{130}{4}$

अत:

वृत का समीकरण

$\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{130^{2}}{16}$

12. त्रिज्या 5 के उस वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र$\mathrm{x}$-अक्ष पर हो और जो बिंदु $(2,3)$ से जाता है।

उत्तर:दिया गया है: त्रिज्या 5

केंद्र $x$-अक्ष पर और बिंदु $(2,3)$ से गुजरता हो

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

वृत गुजरता है बिंदु $(2,3)$ और त्रिज्या 5

समीकरण 1

$(2-h)^{2}+(3-k)^{2}=25$

वृत का केंद्र $x$-अक्ष पर अत: $k=0$

$(2-h)^{2}+(3)^{2}=25$

हल करने पर

h=-2, h=6

जब $h=-2$ तब वृत का समीकरण

$(x+2)^{2}+(y)^{2}=25$

जब $h=6$ तब वृत का समीकरण

$(x+6)^{2}+(y)^{2}=25$

13. $(0,0)$ से जाने वाले वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक पर ${ }_{\mathrm{a}}$ और $_{\mathrm{b}}$ अतः खण्ड बताना है।

उत्तर: दिया गया है: बिंदु $(0,0)$, निर्देशांक पर $a$ और $b$ अंत: खण्ड बनाता है

माना वृत का समीकरण केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ के साथ

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

वृत गुजरता है बिंदु $(0,0)$

अत:

$(0-h)^{2}+(0-k)^{2}=r^{2}$

$h^{2}+k^{2}=r^{2}$

वृत निदेशिंक पर $a$ और $b$ अंत: खण्ड बनाता है

तो वृत गुजरता है $(a, 0)$ और $(0, b)$

समीकरण 1

$(a-h)^{2}+(-k)^{2}=r^{2}$

हल करने पर

$a^{2}-2 a h=0 ; h=\dfrac{a}{2}$

समीकरण 2

$(-h)^{2}+(b-k)^{2}=r^{2}$

हल करने पर

$b^{2}-2 b k=0 ; k=\dfrac{b}{2}$ अत:

वृत का समीकरण

$\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}+\dfrac{b^{2}}{4}$

14. उस वृत का समीकरण ज्ञात कीनिए जिसका केंद्र $(2,2)$ हो तथा बिंदु $(4,5)$ से जाता है।

उत्तर: दिया गया है:

केंद्र $(2,2)$, वृत गुजरता है $(4,5)$

ज्ञात है त्रिज्या $r$ दूरी होती है केंद्र और गुजरने वाले बिंदु से अतः

$r^{2}=(2-4)^{2}+(2-5)^{2}=13$ $r=\sqrt{13}$ अत: वृत का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=13$

15. क्या बिंदु $(-2.5,3.5)$ वृत $x^{2}+y^{2}=25$ के अंदर, बाहर या वृत

पर स्थित है।

उत्तर: दिया गया है:

वृत का समीकरण $x^{2}+y^{2}=25$

यहां $h=0, k=0, r=5$.

दिया गया बिंदु $(-2.5,3.5)$

बिंदु और केंद्र की दूरी

$=V(-2.5-0)^{2}+(3.5-0)^{2}$

यहाँ दूरी त्रिज्या से कम होने पर पता लगता है कि बिंदु वृत के अंदर आता है

प्रश्नावली $11.2$

निम्ननिखित प्रश्न 1 से $_{6}$ तक प्रत्येक में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए:

1. $\mathbf{y^{2}=12x}$

उत्तर:दिए गए परवलय $y^{2}=12 x$ का समीकरण

$y^{2}=4ax$ के रूप का है। प्रमाणिक

समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=12$

$\Rightarrow a=\dfrac{12}{4}=3$

अब , जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a, 0)$, जो की यहां पर हैं $(3,0)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=-a$, जो की यहां है $x=-3$

• चूंनक किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4 a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4 \times 3$ यानि की 12 इकाई

2. $\mathbf{x^{2}=6y}$

उत्तर:दिए गए परवलय $x^{2}=6y$ का समीकरण $x^{2}$ $=4 a y$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$\Rightarrow a=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

अ, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि $4 a=6$ के निर्देशांक होंगे $(0, a)$, जो की यहां पर हैं $\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$

• परविय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=-a$, जो की यहां है

$y=-\dfrac{3}{2} y^{2}=8 x^{4 \times} \dfrac{3}{2}$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4 a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है यानि की $_{6}$ इकाई

3. $\mathbf{\mathbf{y}^{2}=-8 \mathbf{x}}$

उत्तर: दिए गए परवलय का

समीकरण $y^{2}=-4ax$ के रूप का

है। प्रमाणिक समीकरण से इसकी

तुलना हारने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=8$

$\Rightarrow a=\dfrac{8}{4}=2$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(-a, 0)$, जो की यहां पर हैं $(-2,0)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=a$, जो की यहां है: $x=2$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4 a$,

इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4 \times 2$ यानि

की 8 इकाई

4. $\mathbf{x^{2}=-16y}$

उत्तर:दिए गए परवलय $x^{2}=-16y$ का समीकरण $x^{2}=-4ay$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4 a=16$

$\Rightarrow a=\dfrac{16}{4}=4$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a, 0)$, जो की यहां पर हैं $(4,0)$

• परवलय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=a$, जो की यहां है: $y=4$

• चूंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4 a$, इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4 \times 4$ यानि की 16 इकाई

5. $\mathbf{\mathbf{y}^{2}=\mathbf{10x}}$

उत्तर: दिए गए परवलय $y^{2}=10 x$ का समीकरण $y^{2}=4ax$ के रूप का है। प्रामाणिक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4 a=10$

$\Rightarrow a=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(a, 0)$, जो की यहां पर हैं: $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$

• परवलय का अक्ष है $x$-अक्ष, यानि की $y=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $x=-a$, जो की यहां है: $x=-\dfrac{5}{2}$

• - चंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है: $4a$,

इसलिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4 \times \dfrac{5}{2}$ यानि की ${ }_{10}$ इकाई

6. $\mathbf{x^{2}=-9y}$

उत्तर: दिए गए परवलय $x^{2}=-9 y$ का समीकरण $x^{2}=-4 a y$ के रूप का है। प्रमानणक समीकरण से इसकी तुलना करने से हम पाएंगे की यहां:

$4a=9$

$\Rightarrow a=\dfrac{9}{4}$

अब, जैसा की प्रामाणिक समीकरण में होता है,

• नाभि के निर्देशांक होंगे $(0,-a)$, जो की यहां पर हैं $\left(0,-\dfrac{9}{4}\right)$

• परवलय का अक्ष है $y$-अक्ष, यानि की $x=0$

• इस परवलय के नियता का समीकरण होगा $y=a$, जो की यहां है: $y=\dfrac{9}{4}$

• चंकि किसी भी परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई होती है $4a$,

इसनिए इस परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है $4 \times \dfrac{9}{4}$ यानि की 9 इकाई।

निम्ननिखित प्रश्न 7 से 12 तक प्रत्येक में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंध को सिंतुष्ट करता है:

7. नाभि $(6,0)$, नियता $x=-6$

उत्तर: हमें यह पता है की इस परवलय के नाभि

के निर्देशांक हैं $(6,0)$ और इसकी नियता है: $x=-6$

हम यह भी जानते हैं की इस परवलय की

अक्ष $(6,0)$ से गुजरती है और $x=-6$ रेखा के लंबवत है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं की इस परवलय की अक्ष है $x$

-अक्ष यानि $y=0$

इसके अलावा, एक परवलय का शीर्ष उसकी नाभि और उसके नियता का मध्य-बिंदु होता है। इसलिए, इस परवलय का सिर्फ $(0,0)$ है।

इससे यह पता चलता है की इस परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ के रूप

का है और $a=6$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$Y^{2}=4(6)x$

$\Rightarrow Y^{2}=24x$

8. नाभि $(0,-3)$, नियता $y=3$

उत्तर: हमें यह पता है की इस परवलय के नाभि के निर्देशांक हैं $(0,-3)$ और इसकी नियता है $y=3$

हम यह भी जानते हैं की इस परवलय की अक्ष $(0,-3)$ से गुजरती है और

$y=3$ रेखा के लंबवत है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं की इस परवलय की अक्ष है $y$-अक्ष यानि $x=0$ इसके अलावा, एक परवलय का शीर्ष उसकी नाभि और उसके नियता का मध्य-बिंदु होता है। इसलिए, इस परवलय का सिर्ष $(0,0)$ है।

इससे यह पता चलता है की इस परवलय का समीकरण $x^{2}=-4ax$ के रूप का है जहां, $a=3$ इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$x^{2}=-4(3) x$

$\Rightarrow x^{2}=-12 x$

9. शीर्ष $(0,0)$, नाभि $(3,0)$

उत्तर: चूंकि एक परवलय की अक्ष उसकी नाभि और शीर्ष, दोनों से गुजरती है,

इसलिए इस परवलय का अक्ष है $x$-अक्षा।

साथ ही, हुमें यह भी पता है की इसका शीर्ष $(0,0)$ है और इसकी नाभि $y$-अक्ष की दाईं ओर है। इसलिए यह परवलय अवश्य ही $y^{2}=4ax$ के रूप का होगा।

इस परवलय की नाभि $(3,0)$ की तुलना प्रामाणिक परवलय की नाभि $(a, 0)$

से करने पर हम पाएंगे की $a=3$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$Y^{2}=4(3) x$

$\Rightarrow Y^{2}=12x$

10. शीर्ष $(0,0)$, नाभि $(2,0)$

उत्तर: चूंकि एक परवलय की अक्ष उसकी नाभि और शीर्ष, दोनों से गुजरती है,

इसलिए इस परवलय का अक्ष है $x$-अक्षा।

साथ ही, हुमें यह भी पता है की इसका शीर्ष $(0,0)$ है और इसकी नाभि $y$-अक्ष की बाईं ओर है। इसनिए यह परवलय अवश्य ही $y^{2}=-4ax$ के रूप का होगा।

इस परवलय की नाभि $(-2,0)$ की तुलना प्रामाणिक परवलय की नाभि $(-a, 0)$ से करने पर हम पाएंगे की $a=2$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$y^{2}=-4(2)x$

$\Rightarrow y^{2}=-8x$

11. शीर्ष $(0,0),(2,3)$ से जाता है और अक्ष, $x$-अक्ष के अनुदिश है। 

उत्तर: एक परवलय जिसका शीर्ष $(0,0)$ तथा अक्ष $x$-अक्ष हो, उसका समीकरण $y^{2}=4ax$ और $y^{2}=-4ax$, दोनों में से किसी भी रूप का हो सकता है।

पर चूंकि हमें यह पता हैं की यह परवल $(2,3)$ से गुजरती है, हम यह कह सकते हैं की यह परवलय $y^{2}=4ax$ के रूप का ही है।

साथ ही, यह बिंदु $(2,3)$ इस समीकरण को अवश्य ही संतुष्ट करेगा।

इसलिए, $y^{2}=4ax$

$\Rightarrow 3^{2}=4a(2)$

$\Rightarrow 9=8a$

$\Rightarrow a=\dfrac{9}{8}$

इसनिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$\Rightarrow y^{2}=\dfrac{9}{2 x}$

12. शीर्ष $(0,0),(5,2)$ से जाता है और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। 

उत्तर: एक परवलय जिसका शीर्ष $(0,0)$ तथा जो $y$-अक्ष के सापेक्ष सम्मित हो, उसका समीकरण $x^{2}=4ay$ और $x^{2}=-4ay$, दोनों में से किसी भी रूप का हो सकता है। लेकिन चूंकि हमें यह पता हैं की यह परवलय $(5,2)$ से गुजरता है, हम यह कह सकते हैं की यह परवलय $x^{2}=4 a y$ के रूप का ही है। साथ ही, यह बिंदु $(5,2)$ इस समीकरण को अवश्य ही संतुष्ट करेगा।

इसलिए, $x^{2}=4ay$

$\Rightarrow 5^{2}=4 a(2)$

$\Rightarrow 25=8a$

$\Rightarrow a=\dfrac{25}{8}$

इसलिए, इस परवलय का समीकरण होगा:

$\Rightarrow x^{2}=\dfrac{25}{8 y}$

प्रश्नावली $11.3$

निम्ननिखित प्रेश्नो 1 से ${ }^{9}$ तक प्रतेक दीघ्रवृत मे नाभियों और शिर्षों के निदेशांक ,दीघ और लघु कक्ष की लंबाईया,उतकेंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाईया ज्ञात कीजिएः

1. $\mathbf{\dfrac{\mathbf{x}^{2}}{36}+\dfrac{\mathbf{y}^{2}}{16}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^{2}=36, b^{2}=16$

$a=\pm 6$

$b=\pm 4$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=36-16$

$c=\sqrt{36-16}$

$c=\sqrt{20}$

$c=\pm 2 \sqrt{5}$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

$(\pm 2 \sqrt{5}, 0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)=(\pm 6,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 6=12$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 4=8$

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{6}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{16}{3}$

2. $\mathbf{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{25}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{25}=1$

यहाँ, $y^{2}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा 25 लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा

अतः

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$b^{2}=4, a^{2}=25$

$b=\pm 2$

$a=\pm 5$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=25-4$

$c=\sqrt{21}$

$c=\pm \sqrt{21}$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$

$(0, \pm \sqrt{21})$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)=(\pm 5,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 5=10$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 2=4$

उत्केंद्त्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{5}=\dfrac{8}{5}$

3. $\mathbf{\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^{2}=16, b^{2}=9$

$a=\pm 4$

$b=\pm 3$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=16-9$

$c=\sqrt{7}$

$c=\pm \sqrt{7}$

$\text { अत: }$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

$(\pm \sqrt{7}, 0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)=(\pm 4,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 4=8$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 3=6$

$\text { उत्केंद्त्ता }=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 9}{4}=\dfrac{9}{2}$

4. $\mathbf{\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{100}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{100}=1$

यहाँ, $\dfrac{y^{2}}{100}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्षा $y$ अक्ष पर तथा

लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा

अतः

$\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^{2}=100, b^{2}=25$

$a=\pm 10$

$b=\pm 5$

$c^{2}=b^{2}-a^{2}$

$c^{2}=100-25$

$c=\sqrt{75}$

$c=\pm 5 \sqrt{3}$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)=(0, \pm 5 \sqrt{3})$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)=(\pm 10,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 10=20$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 5=10$

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{10}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 25}{10}=5$

5. $\mathbf{\dfrac{x^{2}}{49}+\dfrac{y^{2}}{36}=1}$

उत्तर.दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{49}+\dfrac{y^{2}}{36}=1$

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$x^{2}=\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=$

$a^{2}=49, b^{2}=36$

$a=\pm 7$

$b=\pm 6$

अतः $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=49-36$

$c=\sqrt{13}$

$c=\pm \sqrt{13}$

$\text {. } \text { नन. }$

अतः

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

$(\pm \sqrt{1} 3,0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)=(0, \pm 7)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 7=14$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 6=36$

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 36}{7}=\dfrac{72}{7}$

6. $\mathbf{\dfrac{x^{2}}{100}+\dfrac{y^{2}}{400}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{100}+\dfrac{y^{2}}{400}=1$

यहाँ, $\dfrac{y^{2}}{400}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा अतः

$\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^{2}=400, b^{2}=100$

$a=\pm 20$

$b=\pm 10$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=400-100$

$c=\sqrt{3} 00$

$c=10 \sqrt{3}$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$

$(0, \pm 10 \sqrt{3})$

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)=(0 \pm 20)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 20=40$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 10=20$

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{10 \sqrt{3}}{20}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 100}{20}=10$

7. $\mathbf{36 x^{2}+4 y^{2}=144}$

उत्तर:दिया गया समीकरण

$36 x^{2}+4 y^{2}=144$

दिए समीकरण को मानक समीकरण में बदलने पर

$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{36}=1$

यहां, $\dfrac{y^{2}}{36}$

का भाजक बड़ा होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा समीकरण को $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^{2}=36, b^{2}=4$

$a=\pm 6$

$b=\pm 2$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=36-4$

$c=\sqrt{32}$

$c=4 \sqrt{2}$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$

$(0, \pm 4 \sqrt{2})$

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)=(0, \pm 6)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 6=12$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 2=4$,

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{6}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{6}=\dfrac{4}{3}$

8. $\mathbf{16x^{2}+y^{2}=16}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $16 x^{2}+y^{2}=16$

$\dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$

यहां, $\dfrac{y^{2}}{16}$ का भाजक बड़ा होने के कारण दिर्ष अक्ष $y$ अक्ष पर तथा लघु अक्ष $x$ अक्ष पर होगा अतः

$\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है

$a^{2}=16, b^{2}=1$

$a=\pm 4$

$b=\pm 1$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=16-1$

$c=\sqrt{15}$

$c=\sqrt{15}$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$

$(0, \pm \sqrt{1} 5)$

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)=(0, \pm 4)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 4=8$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 1=2$

उत्केंद्तता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 1}{4}=\dfrac{1}{2}$

9. $\mathbf{4 x^{2}+9 y^{2}=36}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $4 x^{2}+9 y^{2}=36$

दिए समीकरण को मानक समीकरण में बदलने पर

$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर ज्ञात होता है:

$a^{2}=9, b^{2}=4$

$a=\pm 3$

$b=\pm 2$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$c^{2}=9-4$

$c=\sqrt{5}$

$c=\sqrt{5}$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

$(\pm \sqrt{5}, 0)$

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)=(\pm 3,0)$

दीर्घ अक्ष की लंबाई $=2 a=2 \times 3=6$

लघु अक्ष की लंबाई $=2 b=2 \times 2=4$

उत्केंद्ता $=e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

नाभिलंब जीवा $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{3}=\dfrac{8}{3}$

निम्ननिखित ${ }_{10}$ से 20 तक प्रत्येक मे, दिए प्रतिबंधों को संतुष करते हुए दीर्घ वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए:

10. शीर्षों $(\pm 5,0)$, नाभियाँ $(\pm 4,0)$

उत्तर: दिया गया

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 5,0)$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm 4,0)$

ज्ञात है:

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

अतः

$a=5, c=4$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$

$b^{2}=25-16$

$b^{2}=9$

$a^{2}=25$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$

11. शीर्षों $(0, \pm 13)$, नाभियाँ $(0, \pm 5)$

उत्तर: दिया गया

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 13)$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm 5)$ होने के कारण दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर होगा

ज्ञात है: यदि दीर्घ अक्ष $y$ अक्ष पर हो तो

शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)$

नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$

अतः

$a=13, c=5$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$

$b^{2}=169-25$

$b^{2}=144$

$a^{2}=169$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{144}+\dfrac{y^{2}}{169}=1$

12. शीर्षों $(\pm 6,0)$, नाभियाँ $(\pm 4,0)$

उत्तर: दिया गए

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 6,0)$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm 4,0)$ होने के कारण दीर्घ अक्ष $x$ अक्ष पर होगा

ज्ञात है: यदि दीर्घ अक्ष $x$ अक्ष पर हो तो 

शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)$

नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$

अतः

$a=6, c=4$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$

$b^{2}=36-16$

$b^{2}=20$

$a^{2}=36$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{20}=1$

13. दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 3,0)$, लघु अक्ष के अंत्य विंदु $(0, \pm 2)$

उत्तर: दिए गए

दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 3,0)$,

लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm 2)$

ज्ञात है: दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm a, 0)$,

लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm b)$

अतः $a=3, b=2$

$a^{2}=9$

$b^{2}=4$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

14. दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm \sqrt{5})$, लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 1,0)$

उत्तर: दिए गए दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm \sqrt{5})$,

लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm 1)$

ज्ञात है: यदि दीर्घ अक्ष $y$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm a)$,

लघु अक्ष के अिंत्य बिंदु $(0, \pm b)$

अतः $a=\sqrt{5}, b=1$

$a^{2}=5$

$b^{2}=1$

यदि दीर्घ अक्ष $y$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{5}=1$

15. दीर्घ अक्ष की लंबाई 26 , नाभियाँ $(\pm 5,0)$

उत्तर: दिए गए दीर्घ अक्ष की लंबाई 26 , नाभियाँ $(\pm 5,0)$

ज्ञात है: यदि, नाभियाँ $(\pm c, 0)$ तो दीर्घ अक्ष $x$ पर है अतः

$2 a=26 \text { और } c=5$

$a=13, a^{2}=169$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$

$b^{2}=169-25=144$

यदि दीर्घ अक्ष $x$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{169}+\dfrac{y^{2}}{144}=1$

16. दीर्घ अक्ष की लंबाई 16 , नाभियाँ $(0, \pm 6)$.

उत्तर: दिए गए दीर्घ अक्ष की लंबाई 16 , नाभियाँ $(0, \pm 6)$

ज्ञात है: यदि नाभियाँ $(0, \pm c)$ हो तो दीर्घ अक्ष $y$ पर है अतः

$2 b=16 \text { और } c=6$

$b=8, b^{2}=64$

$c^{2}=36$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$a^{2}=64+36=100$

यदि दीर्घ अक्ष $y$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{64}+\dfrac{y^{2}}{100}=1$

17. नाभियाँ $(\pm 3,0), \mathbf{a}=4$

उत्तर: दिया गया:

नाभियाँ $(\pm 3,0), a=4$

ज्ञात है:

यदि नाभियाँ $(\pm c, 0)$ हो तो दीर्घ अक्ष $x$ पर है

C=3, a=4

अब $b^{2}=a^{2}-b^{2}$

$b^{2}=16-9=7$

यदि दीर्घ अक्ष $x$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$

18. $\mathrm{b}=3, \mathrm{c}=4$, केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ $\mathrm{x}$ अक्ष पर

उत्तर: दिया गया:

$b=3, c=4$, केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ $x$ अक्ष पर

यदि नाभियाँ ${ }_{x}$ अक्ष पर हो तो दीर्घ अक्ष $x$ पर केंद्रित होगा अत:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$a^{2}=c^{2}+b^{2}$

$a^{2}=16+9=25$

यदि दीर्घ अक्ष $x$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$

19. केंद्र $(0,0)$ पर, दीर्घ-अक्ष , $y$ अक्ष पर और न बिंदुओ $(3,2)$ और (1,6) से जाता है

उत्तर: केंद्र $(0,0)$ पर, दीर्घ-अक्ष, $y$ अक्ष पर और बिंदुओ $(3,2)$ और $(1,6)$ से जाता है

यदि दीर्घ अक्ष $y$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$

यदि बिंदुओ $(3,2)$ और $(1,6)$ से जाता है तो समीकरण 1

$\dfrac{9}{b^{2}}+\dfrac{4}{a^{2}}=1$

समीकरण 2

$\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{36}{a^{2}}=1$

समीकरण 1 को 9 से गुणा करने पर

$\dfrac{81}{b^{2}}+\dfrac{36}{a^{2}}=9$

इस समीकरण मे से $(1)$ को घटाने पर

$\dfrac{80}{b^{2}}$

$=8 b^{2}=10$

$b^{2}$ को समीकरण 1 मे जोड़ने पर

$\dfrac{9}{10}+\dfrac{4}{a^{2}}=1$

अतः

$\dfrac{4^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1-9}{10}$

$=\dfrac{1}{10 a^{2}}=40$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$

$\dfrac{x^{2}}{10^{2}}+\dfrac{y^{2}}{40^{2}}=1$

20. दीर्घ अक्ष , $x$ - अक्ष पर और न बिंदुओ $(4,3)$ और $(6,2)$ से जाता है 

उत्तर: दिया गया

दीर्घ अक्ष, $x$ - अक्ष पर और बिंदुओ $(4,3)$ और $(6,2)$ से जाता है

यदि दीर्घ अक्ष $x$ पर केंद्रित है तो

दीर्घ वृत का मिक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$,

यदि बिंदुओ $(4,3)$ और $(6,2)$ से जाता है तो

समीकरण ।

$\dfrac{16}{a^{2}}+\dfrac{9}{b^{2}}=1$

समीकरण 2 .

$\dfrac{36}{a^{2}}+\dfrac{4}{b^{2}}=1$

समीकरण 1 को 4 से गुणा करने पर

$\dfrac{64}{a^{2}}+\dfrac{36}{b^{2}}=4$

समीकरण 2 को 9 से गुणा करने पर

$\dfrac{324}{a^{2}}+\dfrac{36}{b^{2}}=9$

प्राप्त समीकरण को घटाने पर

$\dfrac{260}{a^{2}}$

$=5 a^{2}=52$

$a^{2}$ को समीकरण 1 मे रखने पर

$\dfrac{16}{52}+\dfrac{9}{b^{2}}$

$=19 b^{2}=1-\dfrac{16}{52}$

अत:

$b^{2}=\dfrac{9 \times 52}{36}=13$

दीर्घ वृत का मानक समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$\dfrac{x^{2}}{15^{2}}+\dfrac{y^{2}}{13^{2}}=1$

प्रश्नावली $A 11$

1. यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास $20 \mathrm{~cm}$ और गहराई $5 \mathrm{~cm}$ है नाभि ज्ञात कीजिए 

उत्तर: दिया गया है

परावर्तक का व्यास $20 \mathrm{~cm}$ और गहराई $5 \mathrm{~cm}$

परावर्तक का समीकरण $Y^{2}=4ax$

चित्र से पता चलता है की परावर्तक $(10,5)$ से गुजरता है

अत: $(10)^{2}=4 a(5)$

=100=20 a=a=5

परावर्तक का केंद्र $(a, 0)$=(5,0)

2. एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊध्वाधर है। मेहराव $10 \mathrm{~m}$ ऊँचा है और आधार में $5 \mathrm{~m}$ चौड़ा है यह, परवलय के दोमीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा ?

उत्तर: दिया गया हैमेह्राव $10 \mathrm{~m}$ ऊँचा है और आधार में $5 \mathrm{~m}$ चौड़ाचित्र से पता चलता है की परावर्तक $x^{2}=4ax$ बिंदु $\left(\dfrac{5}{2}, 10\right)$

$\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=4 a(10), a=\dfrac{5}{32}$

परावर्तक $x^{2}=4 a y ; x^{2}=\dfrac{4 \times 5}{32} y ; x^{2}=\dfrac{5}{32} y$

जब $y=2$ मीटर ; $x^{2}=5 \times \dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{4}$

$x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

$A B=2 \times \dfrac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}=23.3$ (लगभग)

परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से $23.3$ (लगभग) चौड़ा होगा।

3. एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल परवलय के रूप में लटकी हुई है सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लंबा है तथा केबिल से जुड़े ऊध्व्वाधर तारों पर टिका हुअ है, जिसमें सबसे लंबा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए

उत्तर: चित्र से पता चिता है

यहां $A B, O C$ सबसे बड़ी और छोटी तारे है

दिया गया है $A B=30, O C=6$

और चित्र से ज्ञात है $B C=50$

परवलय का समीकरण $x^{2}=4 a y$

पता है $A$ बिंदु परवलय पर है इसके निर्देशांक $(50,24)$ है तो $(50)^{2}=4 a(24)$

$a=\dfrac{625}{24}$

परवलय का समीकरण $x^{2}=4 a y$

$\Rightarrow x^{2}=4 \times \dfrac{625}{24} \times y=6 x^{2}=625 y$

$D$ के $x$ निर्देशांक $_{18}$

$6 x^{2}=625 y ; y=\dfrac{6 x^{2}}{625}$

$Y=\dfrac{6(18)^{2}}{625}=3.11 \text { (लगभग) }$

जुड़े हुए के केबिल कि लंबाई $=3.11+6=9.11$ )

4. एक मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा और

केंद्र 2 मीटर ऊँचा है। एक सिरे से $1.5$ मीटर दूर बिंदु पर मेहराव की ऊँचाई ज्ञात कीजिए

उत्तर: दिया गया है:

मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का 8 मीटर चौडा और कें द्र 2 मीटर ऊँचा लंबाई 8 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर है अत: दीर्घ अक्ष 8 और लघु अक्ष 2 है अर्ध-दीर्घवृत्ताकार का समीकरण $=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

यहां $a=4$ क्योंकि लंबाई 8 मीटर है, $b=2$ चौड़ाई है $\therefore \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$...समीकरण 1 .

माना $A$ बिंदु है दीर्घ अक्ष पर $A B=1.5$

$O A$ ज्ञात करने पर $2.5$

$C$ के $x$ बिंदु $2.5$

समीकरण 1 मे मान रखने पर

$\dfrac{(2.5)^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

हल करने पर $y=1.56$ (लगभग)

सिर से ${ }_{1.5}$ मीटर दूर बिंदु पर मेहराव की ऊँचाई $1.56$ मीटर

5. एक 12 सेमी लंबी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षो को स्पर्श करते। है छड़ के बिंदु $p$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो $x$ अक्ष के संपर्क वाले सिरे से ${ }_{3}$ सेमी दूर है।

उत्तर: माना $A B$ एक रोड़ है जो $\emptyset$ कोण बनाती है $O X$ के साथ और $P(x, y)$

बिंदु इस प्रकार है की $A P=3$

तो $P B=A B-A P=(12-3) \mathrm{cm}=9 \mathrm{~cm}[A B=12 \mathrm{~cm}]$

$P$ से लम्बा बनाने पर $P Q \perp O Y$ और $P R \perp O X$.

त्रिभुज $P B Q$ मे $\cos \emptyset=\dfrac{x}{9}$ और त्रिभुज $P R A$ मे $\sin \emptyset=\dfrac{y}{3}$ ज्ञात है

$\operatorname{Sin}^{2} \emptyset+\cos ^{2} \emptyset$

$=1 y^{2} / 3^{2}+x^{2} / 9^{2}=1$

6. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय $x^{2}=12 y$ के शीर्ष को इसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है। 

उत्तर: दिया गया समीकरण $x^{2}=12 y$.

$x^{2}=4ay$, से तुलना करने पर $4 a=12 $

$\Rightarrow a=3$

$\therefore S(0, a)=S(0,3)$

माना नाभिलंब $A B$

$y=3, x^{2}=12(3)$

$\Rightarrow x^{2}=36$

 $\Rightarrow x=\pm 6$

$\therefore A(-6,3) \text {, जबकि } B(6,3) \text {. }$

इसनिए $\triangle OAB$ के बिंदु $O(0,0), A(-6,3)$, और $B(6,3)$.

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|0(3-3)+(-6)(3-0)+6(0-3)|=18$

7. एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव ${ }_{10}$ मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी ${ }_{8}$ मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:माना $A$ और $B$ झंडा चौकियों के बिंदु है और $P(x, y)$ व्यक्ति के बिंदु है

दिया गया है $PA+PB=10$.

हमें ज्ञात है कि यदि दूरी सदेव एक समान है तो यह दीर्घ अक्ष है

दीर्घ अक्ष $=10$

चित्र में देखने पर

अर्धवृत्ताकार का समीकरण $=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$,

दिया गया है $2a=10$

 $\Rightarrow a=5$.

दूरी $(2 c)=8 $

$\Rightarrow c=4$

ज्ञात है $c=\sqrt{a^{2}-b^{2} ; 4=\sqrt{25}-b^{2} ; b=3} $

अत:

समीकरण $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$

8. परवलय $y^{2}=4ax$, के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना $O A B$ एक स्मबाहु त्रिभुज है जो $y^{2}=4ax$ मे है

माना $AB x-axis$ को $C$ बिंदु पर प्रतिक्षद करती है

माना $OC=k$ t

दिए गये समीकरण के जुसार, $y^{2}=4 a k ; y=2 \sqrt{a k}$

$\therefore$ बिंदु $A$ और $B \quad A(k, 2 \sqrt{a k}), B(k,-2 \sqrt{a k})$

$A B=C A+C B=4 \sqrt{a k}$

क्यूाँनक $O A B$ एक समबाहु त्रिभुज है $\left.O A^{2}=A B^{2} ; k^{2}+2 \sqrt{a k}\right) 2=(4 \sqrt{a k})^{2}=k=12 a$,

$\therefore AB=4 \sqrt{a k}=4 \sqrt{a} \times 12 a=8 \sqrt{3 a}$

अत :त्रिभुज की रेखा जो $y^{2}=4ax$ मे है $8 \sqrt{3 a}$