NCERT Solutions for Class 12 Maths In Hindi Chapter 11 Three Dimensional Geometry

प्रश्रावली 11.1

1. यदि एक रेखा $$\mathbf{\text{x, y}}$$ और $$\text{z -}$$ अक्ष के साथ क्रमशः $$\mathbf{\text{9}}{\mathbf{\text{0}}}^{{}^{\circ }}\mathbf{\text{,13}}{\mathbf{\text{5}}}^{{}^{\circ }}\mathbf{\text{,4}}{\mathbf{\text{5}}}^{{}^{\circ }}$$ के कोण बनाती है तो इसकी दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{l, m}$और $\text{n}$ है। 

$\text{a = 9}{\text{0}}^{{}^{\circ }}\text{, b = 13}{\text{5}}^{{}^{\circ }}\text{, c = 4}{\text{5}}^{{}^{\circ }}$

अब

$\text{I = cos a = cos 9}{\text{0}}^{{}^{\circ }}\text{ = 0}$

$\text{m = cos b = cos 13}{\text{5}}^{{}^{\circ }}\text{ = - 1/}\sqrt{\text{2}}$

$\text{n = cos c = cos 4}{\text{5}}^{{}^{\circ }}\text{ = 1/}\sqrt{\text{2}}$

 रेखा की दिक्- कोसाइन $\text{= 0, - 1/}\sqrt{\text{2}}\text{, 1/}\sqrt{\text{2}}$

2. एक रेखा की दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों के साथ समान कोण बनाती है।

उत्तर:   मान लीजिए रेखा निर्देशांक्षों के साथ $\text{a}$ कोण बनाती है, तब 

उनका दिक्-कोसाइन :-

$\text{1 = cos a, m = cos a, n = cos a}$

हम जानते है कि ${\text{I}}^{\text{2}}\text{+ }{\text{m}}^{\text{2}}\text{ + }{\text{n}}^{\text{2}}\text{ = 1}$

$\text{co}{\text{s}}^{\text{2}}\text{a + co}{\text{s}}^{\text{2}}\text{a + co}{\text{s}}^{\text{2}}\text{a = 1}$

$\text{3 co}{\text{s}}^{\text{2}}\text{a = 1}$

$\text{co}{\text{s}}^{\text{2}}\text{a = 1/3}$

$\text{cos a = }\pm \text{ 1/}\sqrt{\text{3}}$

रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{= 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}$ या

$\text{- 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}$

3. यदि एक रेखा के दिक् - अनुपात $$\mathbf{\text{- 18, 12, - 4,}}$$हैं तो इसकी दिक्कोसाइन क्या हैं।

उत्तर: दिया है, $a=-18,b=12,c=-4$

$\therefore \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$=\sqrt{(-18{)}^2+(12{)}^2+(-4{)}^2}$

$=\sqrt{324+144+16}$

$=\sqrt{484}=22$

माना यदि $a,b,c$ दिक्-अनुपात हो तो दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार हैं

$\therefore \cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

$=-{\displaystyle \frac{18}{22}}=-{\displaystyle \frac{9}{11}}$

$\cos \beta ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

$={\displaystyle \frac{12}{22}}={\displaystyle \frac{6}{11}}$

$\cos \gamma ={\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

$=-{\displaystyle \frac{4}{22}}=-{\displaystyle \frac{2}{11}}$

अत: रेखा की दिक्-कोज्याएँ $=-{\displaystyle \frac{9}{11}},{\displaystyle \frac{6}{11}}$ और $-{\displaystyle \frac{2}{11}}$ हैं।

4. दर्शाइए की बिंदु $\mathbf{\text{(2, 3, 4), (- 1, - 2, 1), (5, 8, 7)}}$ संरेख हैं।

उत्तर:   मान लीजिए $\text{A(2,3,4), B(-1,- 2,1)}$ और $\text{C(5,8,7)}$

$\text{A}$और $\text{B}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्- अनुपात $\text{- 1 - 2, - 2 - 3, 1- 4}$ अर्थात $\text{- 3, - 5, - 3}$ हैं।

$\text{B}$और $\text{C}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $\text{5 - ( - 1), 8 - ( - 2), 7 - 1}$ अर्थात $\text{6,10,6}$ हैं।

स्पष्ट है कि $\text{AB}$और $\text{BC}$के दिक्-अनुपात समानुपाती है। 

अतः $\text{AB}$ और $\text{BC}$ समांतर हैं। परंतु $\text{AB}$ और $\text{BC}$दोनों में $\text{B}$ उभयनिष्ठ है। अतः $\text{A, B}$ और $\text{C}$ संरेख बिंदु है।

5. एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्- कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $\mathbf{\text{(3, 5, - 4), ( - 1, 1, 2)}}$और $\mathbf{\text{(- 5,- 5,- 2)}}$ हैं।

उत्तर: मान लीजिए $\text{A(3, 5, - 4), B( - 1, 1, 2)}$और $\text{C(- 5,- 5,- 2)}$

$\text{AB}$ का दिक्- अनुपात $$\text{= }\left(\text{ - 1 - 3, 1 - 5, 2 - }\left(\text{- 4}\right)\right)$$

$$\text{= }\left(\text{- 4, - 4, 6}\right)$$

$|\text{ AB }|\text{ = }\sqrt{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}\text{ + ( - 4}{\text{)}}^{\text{2}}\text{ + (6}{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AB}$ का दिक्-कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, 6/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2 /}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, 3/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- अनुपात $$\text{= }\left(\text{- 5 - }\left(\text{ - 1}\right)\text{, - 5 - 1, - 2 - 2}\right)$$

$$\text{= }\left(\text{- 4, - 6, - 4}\right)$$

$|\text{ BC }|\text{ = }\sqrt{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}\text{ + (- 6}{\text{)}}^{\text{2}}\text{ + ( - 4}{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 6/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 3/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AC}$ का दिक्- अनुपात $$\text{= }\left(\text{ - 5 - 3, - 5 - 5, - 2 - }\left(\text{ - 4}\right)\right)$$

$$\text{= }\left(\text{ - 8, - 10, 2}\right)$$

$|\text{ AC }|\text{ = }\sqrt{{\text{( - 8)}}^{\text{2}}\text{ + ( - 10}{\text{)}}^{\text{2}}\text{ + }{\text{2}}^{\text{2}}}\text{ = }\sqrt{\text{168}}\text{ = 2}\sqrt{\text{42}}$

$\text{AC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= 8/2}\sqrt{\text{42}}\text{, 10/2}\sqrt{\text{4}}\text{2, - 2/2}\sqrt{\text{4}}\text{2}$

$\text{= 4/}\sqrt{\text{4}}\text{2, 5/}\sqrt{\text{42}},\text{- 1/}\sqrt{\text{42}}$

प्रश्रावली 11.2

1. दर्शाइए की दिक्- कोसाइन $\mathbf{\text{12/13, - 3/13, - 4/13; 4/13, 12/13, 3/13; 3/13, - 4/13, 12/13 }}$ वाली तीन रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

उत्तर: पहली दो रेखाओं के लिए,

$l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2$

$={\displaystyle \frac{12}{13}}\times {\displaystyle \frac{4}{13}}+{\displaystyle \frac{-3}{13}}\times {\displaystyle \frac{12}{13}}+{\displaystyle \frac{-4}{13}}\times {\displaystyle \frac{3}{13}}$

$={\displaystyle \frac{48}{169}}-{\displaystyle \frac{36}{169}}-{\displaystyle \frac{12}{169}}$

$={\displaystyle \frac{48-36-12}{169}}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(ii) दूसरी और तीसरी रेखाओं के लिए,

$l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2$

$={\displaystyle \frac{4}{13}}\times {\displaystyle \frac{3}{13}}+{\displaystyle \frac{12}{13}}\times {\displaystyle \frac{-4}{13}}+{\displaystyle \frac{3}{13}}\times {\displaystyle \frac{12}{13}}$

$={\displaystyle \frac{12}{169}}-{\displaystyle \frac{48}{169}}+{\displaystyle \frac{36}{169}}$

$={\displaystyle \frac{12-48+36}{169}}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(iii) तीसरी और पहली रेखाओं के लिए,

$l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2$

$={\displaystyle \frac{3}{13}}\times {\displaystyle \frac{12}{13}}+{\displaystyle \frac{-4}{13}}\times {\displaystyle \frac{-3}{13}}+{\displaystyle \frac{12}{13}}\times {\displaystyle \frac{4}{13}}$

$={\displaystyle \frac{36}{169}}+{\displaystyle \frac{12}{169}}-{\displaystyle \frac{48}{169}}$

$={\displaystyle \frac{36+12-48}{169}}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत हैं।

अतः, सभी रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

2. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{\text{(1, - 1, 2), (3, 4, - 2)}}$ से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}$ और $\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{)}$ से जाने वाली रेखा पर लंब है।

उत्तर: मान लीजिए $\text{A(1, - 1, 2), B(3, 4, - 2), C(0,3,2), D(3,5,6)}$

$\text{AB}$ का दिक्- अनुपात $$\text{ = }\left(\text{3 - 1, 4 - }\left(\text{ - 1}\right)\text{, - 2 - 2}\right)$$

$$\text{ = }\left(\text{2, 5, - 4}\right)$$

$\text{CD}$ का दिक्- अनुपात $$\text{ = }\left(\text{3 - 0, 5 - 3, 6 - 2}\right)$$

$$\text{ = }\left(\text{3, 2, 4}\right)$$

$a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$

$2\times 3+5\times 2+(-4)\times 4=6+10-16=0$

अतः, रेखा $\text{AB}$ और $\text{CD}$ लंबवत है।

3. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}$से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{\text{( - 1, - 2,1), (1,2,5)}}$से जाने वाली रेखा के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए $\text{A(4,7,8), B(2,3,4), C( - 1, - 2,1), D(1,2,5)}$

$\text{AB}$  का दिक्-अनुपात $\text{ = (2 - 4, 3 - 7, 4 - 8) = ( - 2, - 4, - 4)}$

$a_1=-2,b_1=-4,c_1=-4$

$\text{CD}$ का दिक्- अनुपात $\text{ = (1 - ( - 1), 2 - ( - 2), 5 - 1)}$

$\text{ = (2,4,4)}$

${\text{a}}_2\text{ = 2,}{\text{b}}_2\text{ = 4, }{\text{c}}_2\text{ = 4}$

 ${\text{a}}_1\text{/}{\text{a}}_2\text{ = - 2/2 = - 1}$

${\text{b}}_1\text{/}{\text{b}}_2\text{ = - 4/4 = - 1}$

${\text{c}}_1\text{/}{\text{c}}_2\text{ = - 4/4 = - 1}$

अतः, ${\text{a}}_1\text{/}{\text{a}}_2\text{ = }{\text{b}}_1\text{/}{\text{b}}_2\text{ = }{\text{c}}_1\text{/}{\text{c}}_2$

रेखा $\text{AB}$  और $\text{CD}$ समांतर है।

4. बिंदु $\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}$से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश $\mathbf{3}\hat{ı}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{2}\hat{\mathbf{k}}$ के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए,

$a=\hat{ı}+2\hat{j}+3\hat{k}$

$b=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$

इसलिए रेखा का सदिश समीकरण है 

$r=\hat{ı}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda (3\hat{ı}+2\hat{j}-2\hat{k})$

5. बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $\mathbf{2}\hat{ı}\mathbf{-}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{4}\hat{\mathbf{k}}$से गुजरने व सदिश $\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\hat{\mathbf{k}}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a=2\hat{ı}-\hat{j}+4\hat{k}$

$b=\hat{i}+2\hat{j}-k$

 इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है

$r=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}+\lambda (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})$

 अब, 

$x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=\lambda +2\hat{ı}+2\lambda -1\hat{j}+(-\lambda +4)\hat{k}$

$\lambda$ का विलोपन करने पर,

$\text{(x - 2)/1 = (y + 1)/2 = (z - 4)/ - 1}$

6. उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $\mathbf{\text{( - 2, 4, - 5)}}$से जाती है और $\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{5}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{z}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{6}$ के समांतर है।

उत्तर: बिंदु $\text{( - 2, 4, - 5)}$ रेखा $\text{(x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6}$ के समांतर है।

रेखा $\text{(x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6}$का दिक्-अनुपात $\text{(3,5,6)}$है

रेखा जो बिंदु $\text{( - 2,4, - 5)}$ से जाती है और जिसका दिक्-अनुपात $\text{(3,5,6)}$ है, उसका कार्तीय समीकरण :

$\text{x - ( - 2)/3 = (y - 4)/5 = z - ( - 5)/6}$

$\text{(x + 2)/3 = (y - 4)/5 = (z + 5)/6}$

7. एक रेखा का कार्तिक समीकरण $\mathbf{\text{(x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2}}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\text{(x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2}$

रेखा बिंदु $\text{(5, - 4,6)}$ से होकर जाएगा 

$a=5\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}$

रेखा का दिक्- अनुपात $$\text{ = }\left(\text{3,7,2}\right)$$

$b=3\hat{i}+7\hat{j}+2\hat{k}$

$r=a+\lambda b$

$r=5\hat{ı}-4\hat{j}+6\hat{k}+\lambda (3\hat{ı}+7\hat{j}+2\hat{k})$

8. मूल बिंदु और $\mathbf{\text{(5, - 2, 3)}}$ से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $\text{a}$और $\text{b}$स्थित सदिश बिन्दु $$\left(\text{0,0,0}\right)$$ और $\text{(5, - 2, 3)}$ का 

$a=0\hat{ı}+0\hat{j}+0\hat{k}$ तथा $b=5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$

अब 

$r=a+\lambda (b-a)$

$r=0+\lambda (5\hat{ı}-2\hat{j}+3\hat{k}-0)$

$r=\lambda (5\hat{ı}-2\hat{j}+3\hat{k})$

$r=x\hat{ı}+y\hat{j}+z\hat{k}.......................(i)$

$x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=\lambda (5\hat{ı}-2\hat{j}+3\hat{k})$

$x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=5\lambda \hat{ı}-2\lambda j+3\lambda \hat{k}$

अब,

$x=5\lambda ,y=-2\lambda ,z=3\lambda$

$x/5=y/-2=z/3$

9. बिंदुओ $$\left(\mathbf{\text{3, - 2, - 5}}\right)\mathbf{\text{,}}$$और $\mathbf{\text{(3, - 2, 6)}}$से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $\text{a}$ और $\text{b}$ स्थित सदिश बिन्दु $$\left(\text{3, - 2, - 5}\right)\text{,}$$ और $\text{(3, - 2, 6)}$ का 

$a=3\hat{ı}-2\hat{j}-5\hat{k}$ तथा $b=3\hat{ı}-2\hat{j}+6\hat{k}$

अब,

$r=a+\lambda (b-a)$

$r=3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}+\lambda \left[(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})\text{ - }(3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k})\right]$

$r=3\hat{i}-2\hat{j}-5\hat{k}+\lambda (3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k}-3\hat{ı}+2\hat{j}+5\hat{k})$

$r=3\hat{ı}-2\hat{j}-5\hat{k}+\lambda \left(11\hat{k}\right)$

$r=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}...........................(i)$

$x\hat{ı}+y\hat{j}+z\hat{k}=3\hat{ı}-2\hat{j}+(11\lambda -5)\hat{k}$

अब,

$x=3,y=-2,z=11\lambda -5$

$(x-3)/0=(y+2)/0=(z+5)/11$

10. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

1. $\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{2}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{5}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\lambda (\mathbf{3}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{6}\hat{\mathbf{k}})\mathbf{\$}\mathbf{औ}\mathbf{र}\mathbf{\$}\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{7}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{6}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\mu (\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{k}}{\displaystyle \frac{\delta \mathbf{y}}{\delta \mathbf{x}}})$

उत्तर: $\cos \theta ={\displaystyle \frac{b_1\cdot b_2}{\left|b_1\right|\left|b_2\right|}}$

$b_1=3\hat{ı}+2\hat{j}+6\hat{k}$

${\text{b}}_2=\hat{ı}+2\hat{j}+2\hat{k}$

$\text{| }{\text{b}}_1\text{ | = }\sqrt{{\text{3}}^2\text{ + }{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + }{\text{6}}^{\text{2}}}\text{ = }\sqrt{\text{9}\text{ + 4 + 36}}=\sqrt{\text{49}}\text{ = 7}$

$\text{| }{\text{b}}_2\text{ | = }\sqrt{{\text{1}}^2\text{ + }{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + }{\text{2}}^{\text{2}}}\text{ = }\sqrt{\text{1}\text{ + 4 + 4 = }}\sqrt{\text{9}}\text{ = 3}$

$b_1\cdot b_2=(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\times (\hat{i}+2\hat{j}+2k)$

$\text{ = }3\times 1+2\times 2+6\times 2$

$\text{ = 3 + 4 + 12 = 19}$

$\text{cos}\theta =19/7\times 3=19/21$

$\theta =co{\text{s}}^{\text{ - 1}}\text{(19/21)}$

2. $\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{3}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{2}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\lambda \mathbf{(}\mathbf{i}\mathbf{-}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{2}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{)}$ और $\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{2}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{56}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\mu \mathbf{(}\mathbf{3}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{5}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{4}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{)}$

उत्तर: $\cos \theta ={\displaystyle \frac{b_1\cdot b_2}{\left|b_1\right|\left|b_2\right|}}$

${\mathrm{b}}_1=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-2\hat{\mathrm{k}}$

${\mathrm{b}}_2=3\hat{\mathrm{i}}-5\hat{\mathrm{j}}-4\hat{\mathrm{k}}$

$|{\mathrm{b}}_1|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$|{\mathrm{b}}_2|=\sqrt{3^2+(-5{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

${\mathrm{b}}_1.{\mathrm{b}}_2=(\mathrm{i}-\hat{\mathrm{j}}-2\hat{\mathrm{k}})\times (3\hat{\mathrm{i}}-5\hat{\mathrm{j}}-4\hat{\mathrm{k}})$

$=1\times 3-1\times (-5)-2\times (-4)$

$=3+5+8=16$

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{6}\times 5\sqrt{2}}}$

$=16/10\sqrt{3}=8/5\sqrt{3}$

$\theta ={\cos }^{-1}(8/5\sqrt{3})$

11. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: 

(i) $(\mathrm{x}-2)/2=(\mathrm{y}-1)/5=(\mathrm{z}+3)/-3$ और $(\mathrm{x}+2)/-1=(\mathrm{y}-4)/8=(z-5)/4$

उत्तर: $(\mathrm{x}-2)/2=(\mathrm{y}-1)/5=(\mathrm{z}+3)/-3$

$(x+2)/-1=(y-4)/8=(z-5)/4$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,5,-3)$ तथा $(-1,8,4)$

$\cos \theta ={\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{b}}_1{\mathrm{b}}_2+{\mathrm{c}}_1{\mathrm{c}}_2/\sqrt{{\mathrm{a}}_1^2+{\mathrm{b}}_1^2+{\mathrm{c}}_1^2}\sqrt{{\mathrm{a}}_2^2+{\mathrm{b}}_2^2+{\mathrm{c}}_2^2}$

$=2\times (-1)+5\times 8+(-3)\times 4/\sqrt{2^2+5^2+(-3{)}^2}\sqrt{(-1{)}^2+8^2+4^2}$

$=26/\sqrt{3}8\sqrt{81}=26/9\sqrt{38}$

$\theta ={\cos }^{-1}(26/9\sqrt{38})$

(ii) $\mathbf{x}\mathbf{/}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{y}\mathbf{/}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{z}\mathbf{/}\mathbf{1}$ और $\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{z}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{/}\mathbf{8}$

उत्तर: $\mathrm{x}/2=\mathrm{y}/2=\mathrm{z}/1$

$(x-5)/4=(y-2)/1=(z-3)/8$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,2,1),(4,1,8)$

$\cos \theta =2\times 4+2\times 1+1\times 8/\sqrt{2^2+2^2+1^2}\sqrt{4^2+1^2+8^2}$

$=18/\sqrt{9}\sqrt{81}=18/3\times 9=2/3$

$\theta ={\cos }^{-1}(2/3)$

12. $\mathbf{\text{p}}$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएं $\mathbf{\text{(1 - x)/3 = (7y - 14)/2p = (z - 3)/2}}$ और $\mathbf{\text{(7 - 7x)/3p = (y - 5)/1 = (6 - z)/5}}$ परस्पर लंब हो।

उत्तर: $\text{(1 - x)/3 = (7y - 14)/2p = (z - 3)/2}$

$\Rightarrow \text{(x - 1)/ - 3 = (y - 2)/2p/7 = (z - 3)/2}$

 $\text{(7 - 7x)/3p = (y - 5)/1 = (6 - z)/5}$

$\Rightarrow \text{(x - 1)/ - 3p/7 = (y - 5)/1 = (z - 6)/ - 5}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $$\text{ = ( - 3,2p/7,2), ( - 3p/7,1, - 5)}$$

अब,

${\text{a}}_1{\text{a}}_2\text{ + }{\text{b}}_1{\text{b}}_2\text{ + }{\text{c}}_1{\text{c}}_2\text{ = 0}$

$\text{( - 3)( - 3p/7) + (2p/7)(1) + 2( - 5) = 0}$

$\text{9p/7 + 2p/7 - 10 = 0}$

$\text{11p/7 = 10}$

$\text{p = 70/11}$

13. दिखाइए की रेखाएं $\mathbf{\text{(x - 5)/7 = (y + 2)/ - 5 = z/1}}$ और $\mathbf{\text{x/1 = y/2 = z/3}}$परस्पर लंब है।

उत्तर: $\text{(x - 5)/7 = (y + 2)/ - 5 = z/1}$

$\text{x/1 = y/2 = z/3}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $\text{ = (7, - 5,1),(1,2,3)}$

${\text{a}}_1{\text{a}}_2\text{ + }{\text{b}}_1{\text{b}}_2\text{ + }{\text{c}}_1{\text{c}}_2\text{ = 0}$

$\text{7(1) + ( - 5)(2) + 1(3) = 7 - 10 + 3 = 0}$

इसलिए दोनों रेखाएं अभिलम्ब है 

14. रेखाओं $\mathrm{r}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{i}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathrm{j}}\mathbf{+}\hat{\mathrm{k}}\mathbf{)}\mathbf{+}\lambda \mathbf{(}\hat{\mathrm{i}}\mathbf{-}\hat{\mathrm{j}}\mathbf{+}\hat{\mathrm{k}}\mathbf{)}$ और $\mathrm{r}\mathbf{=}\mathbf{2}\hat{\mathrm{i}}\mathbf{-}\hat{\mathrm{j}}\mathbf{-}\hat{\mathrm{k}}\mathbf{+}\mu \mathbf{(}\mathbf{2}\hat{\mathrm{i}}\mathbf{+}\hat{\mathrm{j}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathrm{k}}\mathbf{)}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\mathrm{r}=(\mathrm{i}+2\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda (\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$ और $\mathrm{r}=2\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\mu (2\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}={\mathrm{a}}_1+\lambda {\mathrm{b}}_1$ तथा $\mathrm{r}={\mathrm{a}}_2+\mu {\mathrm{b}}_2$

$a_1=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k},b_1=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$a_2=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k},b_2=2\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$

अब,

$\begin{array}{l}{\mathrm{b}}_1\times {\mathrm{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& -1& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right|\\ =\hat{\mathrm{i}}(-2-1)-\hat{\mathrm{j}}(2-2)+\hat{\mathrm{k}}(1+2)\\ =-3\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{k}}\\ |{\mathrm{b}}_1\times {\mathrm{b}}_2|=\sqrt{(-3{)}^2+(3{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\end{array}$

$\text{ न्यूनतम दूरी }={\displaystyle \frac{|(b_1\times b_2)\times (a_2-a_1)|}{|b_1\times b_2|}}$

$=|(-3\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{k}})\times (\hat{\mathrm{i}}-3\hat{\mathrm{j}}-2\hat{\mathrm{k}})|/3\sqrt{2}$

$=|(-3)\times 1+0\times (-3)+3\times (-2)|/3\sqrt{2}$

$=9/3\sqrt{2}=3\times \sqrt{2}/\sqrt{2}\times \sqrt{2}$

$=3\sqrt{2}/2$

15. रेखाओं $\mathbf{\text{(x + 1)/7 = (y + 1)/ - 6 = (z + 1)/1}}$और $\mathbf{\text{(x - 3)/1 = (y - 5)/ - 2 = (z - 7)/1}}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर: $\text{(x + 1)/7 = (y + 1)/ - 6 = (z + 1)/1}$ और $\text{(x - 3)/1 = (y - 5)/ - 2 = (z - 7)/1}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $\text{ = (7, - 6,1), ( - 1, - 1, - 1)}$

${\mathrm{r}}_1=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\lambda (7\hat{\mathrm{i}}-\hat{6}\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

${\mathrm{r}}_2=3\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}+7\hat{\mathrm{k}}+\mu (\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

${\mathrm{r}}_1={\mathrm{a}}_1+\lambda {\mathrm{b}}_1,{\mathrm{r}}_2={\mathrm{a}}_2+\mu {\mathrm{b}}_2$

${\mathrm{a}}_1=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}},{\mathrm{b}}_1=7\hat{i}-6\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

${\mathrm{a}}_2=3\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}+7\hat{\mathrm{k}},{\mathrm{b}}_2=\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

${\mathrm{a}}_2-{\mathrm{a}}_1=(3\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}+7\hat{\mathrm{k}})-(-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$

$=4\hat{\mathrm{i}}+6\hat{\mathrm{j}}+8\hat{\mathrm{k}}$

${\mathrm{b}}_1\times {\mathrm{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 7& -6& 1\\ 1& -2& 1\end{array}\right|$

$=\hat{i}(-6+2)-\hat{j}(7-1)+\hat{k}(-14+6)$

$=-4\hat{i}-6\hat{j}-8\hat{k}$

$|b_1\times b_2|=\sqrt{(-4{)}^2+(-6{)}^2+(-8{)}^2}$

$=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$

$\text{ न्यूनतम दूरी }={\displaystyle \frac{|(b_1\times b_2)\times (a_2-a_1)|}{|b_1\times b_2|}}$

$=|(-4\hat{i}-6\hat{j}-8\hat{k})\times (4\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})|/2\sqrt{29}$

$=|(-4)4+(-6)6+(-8)8|/2\sqrt{29}$

$=|-16-36-64|/2\sqrt{29}$

$=116/2\sqrt{29}=58/\sqrt{29}$

$=2\sqrt{29}$

16. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{\text{r = }}(\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{3}\hat{\mathbf{k}})\mathbf{+}\lambda (\hat{ı}\mathbf{-}\mathbf{3}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{2}\hat{\mathbf{k}})\mathbf{\$}\mathbf{औ}\mathbf{र}\mathbf{\$}\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{4}\hat{ı}\mathbf{+}\mathbf{5}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{6}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\mu \left(\mathbf{2}\hat{ı}\mathbf{+}\mathbf{3}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\hat{\mathbf{k}}\right)$

उत्तर: $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{a}}_1+\lambda {\overrightarrow{b}}_1$ and $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{a}}_2+\mu {\overrightarrow{b}}_2$

${\overrightarrow{a}}_1=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},{\overrightarrow{b}}_1=\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$ 

${\overrightarrow{a}}_2=4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$, ${\overrightarrow{b}}_2=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ 

${\overrightarrow{a}}_2-{\overrightarrow{a}}_1=3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$

${\overrightarrow{b}}_1\times {\overrightarrow{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& -3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=-9\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}$

$|{\overrightarrow{b}}_1\times {\overrightarrow{b}}_2|=3\sqrt{19}\therefore ({\overrightarrow{a}}_2-{\overrightarrow{a}}_1)\cdot ({\overrightarrow{b}}_1\times {\overrightarrow{b}}_2)=9$

$d=\left|{\displaystyle \frac{({\overrightarrow{a}}_2-{\overrightarrow{a}}_1)\cdot ({\overrightarrow{b}}_1\times {\overrightarrow{b}}_2)}{|{\overrightarrow{b}}_1\times {\overrightarrow{b}}_2|}}\right|={\displaystyle \frac{9}{3\sqrt{19}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{19}}}$

17. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{t}\mathbf{)}\hat{ı}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{)}\hat{\mathbf{k}}$ और $\mathbf{\text{r}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{s}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\hat{ı}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{s}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{s}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\hat{\mathbf{k}}$   

उत्तर: $\text{r}=(1-t)\hat{ı}+(t-2)\hat{j}+(3-2t)\hat{k}$ और $\text{r}=(s+1)\hat{ı}+(2s-1)\hat{j}-(2s+1)\hat{k}$   

$r=a_1+t{b}_1,r=a_2+s{b}_2$

$a_1=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},b_1=-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

$a_2=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k},b_2=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$

$a_2-a_1=(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})\mid$

$=\hat{j}-4\hat{k}$

${\mathrm{b}}_1\times {\mathrm{b}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& 1& -2\\ 1& 2& -2\end{array}\right|$

$=(-2+4)\hat{i}-(2+2)\hat{j}+(-2-1)\hat{k}$

$=2\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$

$|b_1\times b_2|=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+(-3{)}^2}$

$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$

$\text{ न्यूनतम दूरी }=|(2\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})\times (\hat{j}-4\hat{k})|/\sqrt{2}9$

$=|-4+12|/\sqrt{29}$

$=8/\sqrt{29}$