NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 - In Hindi

प्रश्रावली 11.1

1. यदि एक रेखा \[\mathbf{\text{x, y}}\] और \[\text{z -}\] अक्ष के साथ क्रमशः \[\mathbf{\text{9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{,13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{,4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}}\] के कोण बनाती है तो इसकी दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{l, m}$और $\text{n}$ है। 

$\text{a = 9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{, b = 13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{, c = 4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}$

अब

$\text{I = cos a = cos 9}{{\text{0}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = 0} \\ $

$\text{m = cos b = cos 13}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = - 1/}\sqrt{\text{2}} \\ $

$\text{n = cos c = cos 4}{{\text{5}}^{\text{ }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }}}\text{ = 1/}\sqrt{\text{2}} \\ $

 रेखा की दिक्- कोसाइन $\text{= 0, - 1/}\sqrt{\text{2}}\text{, 1/}\sqrt{\text{2}}$

2. एक रेखा की दिक् - कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों के साथ समान कोण बनाती है।

उत्तर:   मान लीजिए रेखा निर्देशांक्षों के साथ $\text{a}$ कोण बनाती है, तब 

उनका दिक्-कोसाइन :-

$\text{1 = cos a,  m = cos a,  n = cos a}$

हम जानते है कि ${{\text{I}}^{\text{2}}}\text{+ }{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{ = 1}$

$\text{co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1} \\ $

$\text{3 co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1} \\ $

$\text{co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{a = 1/3} \\ $

$\text{cos a =  }\!\!\pm\!\!\text{  1/}\sqrt{\text{3}} \\ $

रेखा की दिक्-कोसाइन $\text{= 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, 1/}\sqrt{\text{3}}$ या

$\text{- 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}\text{, - 1/}\sqrt{\text{3}}$

3. यदि एक रेखा के दिक् - अनुपात \[\mathbf{\text{- 18, 12, - 4,}}\]हैं तो इसकी दिक्कोसाइन क्या हैं।

उत्तर: दिया है, $a=-18, b=12, c=-4$

$\therefore \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$=\sqrt{(-18)^{2}+(12)^{2}+(-4)^{2}}$

$=\sqrt{324+144+16}$

$=\sqrt{484}=22$

माना यदि $a, b, c$ दिक्-अनुपात हो तो दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार हैं

$\therefore \cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=-\dfrac{18}{22}=-\dfrac{9}{11}$

$\cos \beta=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=\dfrac{12}{22}=\dfrac{6}{11}$

$\cos \gamma=\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

$=-\dfrac{4}{22}=-\dfrac{2}{11}$

अत: रेखा की दिक्-कोज्याएँ $=-\dfrac{9}{11}, \dfrac{6}{11}$ और $-\dfrac{2}{11}$ हैं।

4. दर्शाइए की बिंदु $\mathbf{\text{(2, 3, 4), (- 1, - 2, 1), (5, 8, 7)}}$ संरेख हैं।

उत्तर:   मान लीजिए $\text{A(2,3,4), B(-1,- 2,1)}$ और $\text{C(5,8,7)}$

$\text{A}$और $\text{B}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्- अनुपात $\text{- 1 - 2, - 2 - 3, 1- 4}$ अर्थात $\text{- 3, - 5, - 3}$ हैं।

$\text{B}$और $\text{C}$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $\text{5 - ( - 1), 8 - ( - 2), 7 - 1}$ अर्थात $\text{6,10,6}$ हैं।

स्पष्ट है कि $\text{AB}$और $\text{BC}$के दिक्-अनुपात समानुपाती है। 

अतः $\text{AB}$ और $\text{BC}$ समांतर हैं। परंतु $\text{AB}$ और $\text{BC}$दोनों में $\text{B}$ उभयनिष्ठ है। अतः $\text{A, B}$ और $\text{C}$ संरेख बिंदु है।

5. एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्- कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $\mathbf{\text{(3, 5, - 4), ( - 1, 1, 2)}}$और $\mathbf{\text{(- 5,- 5,- 2)}}$ हैं।

उत्तर: मान लीजिए $\text{A(3, 5, - 4), B( - 1, 1, 2)}$और $\text{C(- 5,- 5,- 2)}$

$\text{AB}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{ - 1 - 3, 1 - 5, 2 - }\left( \text{- 4} \right) \right)\]

\[\text{= }\left( \text{- 4, - 4, 6} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  AB  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 4}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + (6}{{\text{)}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AB}$ का दिक्-कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, 6/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2 /}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, 3/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{- 5 - }\left( \text{ - 1} \right)\text{, - 5 - 1, - 2 - 2} \right)\]

\[\text{= }\left( \text{- 4, - 6, - 4} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  BC  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{(- 4)}}^{\text{2}}}\text{ + (- 6}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 4}{{\text{)}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{68}}\text{ = 2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{BC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= - 4/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 6/2}\sqrt{\text{17}}\text{, - 4/2}\sqrt{\text{17}}$

$\text{= - 2/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 3/}\sqrt{\text{17}}\text{, - 2/}\sqrt{\text{17}}$

$\text{AC}$ का दिक्- अनुपात \[\text{= }\left( \text{ - 5 - 3, - 5 - 5, - 2 - }\left( \text{ - 4} \right) \right)\]

\[\text{= }\left( \text{ - 8, - 10, 2} \right)\]

$\text{ }\!\!|\!\!\text{  AC  }\!\!|\!\!\text{  = }\sqrt{{{\text{( - 8)}}^{\text{2}}}\text{ + ( - 10}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{2}}^{\text{2}}}}\text{ = }\sqrt{\text{168}}\text{ = 2}\sqrt{\text{42}}$

$\text{AC}$ का दिक्- कोसाइन $\text{= 8/2}\sqrt{\text{42}}\text{, 10/2}\sqrt{\text{4}}\text{2, - 2/2}\sqrt{\text{4}}\text{2}$

$\text{= 4/}\sqrt{\text{4}}\text{2, 5/}\sqrt{\text{42}},\,\,\text{- 1/}\sqrt{\text{42}}$

प्रश्रावली 11.2

1. दर्शाइए की दिक्- कोसाइन $\mathbf{{\text{12/13,  -  3/13,  -  4/13;  4/13, 12/13, 3/13; 3/13,  -  4/13, 12/13  }}}$ वाली तीन रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

उत्तर: पहली दो रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{12}{13} \times \dfrac{4}{13}+\dfrac{-3}{13} \times \dfrac{12}{13}+\dfrac{-4}{13} \times \dfrac{3}{13}$

$=\dfrac{48}{169}-\dfrac{36}{169}-\dfrac{12}{169}$

$=\dfrac{48-36-12}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(ii) दूसरी और तीसरी रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{4}{13} \times \dfrac{3}{13}+\dfrac{12}{13} \times \dfrac{-4}{13}+\dfrac{3}{13} \times \dfrac{12}{13}$

$=\dfrac{12}{169}-\dfrac{48}{169}+\dfrac{36}{169}$

$=\dfrac{12-48+36}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत है।

(iii) तीसरी और पहली रेखाओं के लिए,

$l_{1}l_{2}+m_1m_2+n_1n_2$

$=\dfrac{3}{13} \times \dfrac{12}{13}+\dfrac{-4}{13} \times \dfrac{-3}{13}+\dfrac{12}{13} \times \dfrac{4}{13}$

$=\dfrac{36}{169}+\dfrac{12}{169}-\dfrac{48}{169}$

$=\dfrac{36+12-48}{169}$

= 0

इसलिए, रेखाएं लंबवत हैं।

अतः, सभी रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

2. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{{\text{(1,  -  1, 2), (3, 4,  -  2)}}}$ से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{(0,3,2)}$ और $\mathbf{(3,5,6)}$ से जाने वाली रेखा पर लंब है।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{A(1,  -  1, 2), B(3, 4,  -  2), C(0,3,2), D(3,5,6)}}$

${\text{AB}}$ का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3  -  1, 4  -  }}\left( {{\text{ -  1}}} \right){\text{,  -  2  -  2}}} \right)\]

\[{\text{ =  }}\left( {{\text{2, 5,  -  4}}} \right)\]

${\text{CD}}$ का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3  -  0, 5  -  3, 6  -  2}}} \right)\]

\[{\text{ =  }}\left( {{\text{3, 2, 4}}} \right)\]

$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}$

$2\times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4 = 6+10-16 = 0 $

अतः, रेखा ${\text{AB}}$ और ${\text{CD}}$ लंबवत है।

3. दर्शाइए कि बिंदुओं $\mathbf{(4,7,8),\,\,\,(2,3,4)}$से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $\mathbf{{\text{( - 1, - 2,1), (1,2,5)}}}$से जाने वाली रेखा के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{A(4,7,8), B(2,3,4), C( - 1, -  2,1), D(1,2,5)}}$

${\text{AB}}$  का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (2  -  4, 3  -  7, 4  -  8)  =  ( -  2, -  4, -  4)}}$

$a_1  =   -  2, b_1  =   -  4, c_1  =   -  4$

${\text{CD}}$ का दिक्- अनुपात ${\text{ =  (1  -  ( - 1), 2  -  ( - 2), 5  -  1)}}$

$  {\text{ =  (2,4,4)}} \ \\$

$  {{\text{a}}_2}{\text{  =  2,}}{{\text{b}}_2}{\text{  =  4, }}{{\text{c}}_2}{\text{  =  4}} \ \\$

 $ {{\text{a}}_1}{\text{/}}{{\text{a}}_2}{\text{  =   -  2/2  =   -  1}} \ \\$

$  {{\text{b}}_1}{\text{/}}{{\text{b}}_2}{\text{  =   -  4/4  =   -  1}} \ \\$

$  {{\text{c}}_1}{\text{/}}{{\text{c}}_2}{\text{  =   -  4/4  =   -  1}} \ \\ $

अतः, ${{\text{a}}_1}{\text{/}}{{\text{a}}_2}{\text{  =  }}{{\text{b}}_1}{\text{/}}{{\text{b}}_2}{\text{  =  }}{{\text{c}}_1}{\text{/}}{{\text{c}}_2}$

रेखा ${\text{AB}}$  और ${\text{CD}}$ समांतर है।

4. बिंदु $\mathbf{(1,2,3)}$से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश $\mathbf{3 \hat{\imath} \ + \ 2 \hat{j} \ - \ 2 \hat{k}}$ के समांतर है।

उत्तर: मान लीजिए,

$  {a  \ =  \hat{\imath}  \ + \ 2\hat{j} \ + \  3\hat{k}} \ \\$

$  {b  =  3\hat{i} +  2\hat{j}  -  2\hat{k}} \ \\ $

इसलिए रेखा का सदिश समीकरण है 

$r  =  \hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  3\hat{k}  +  \lambda \left( 3 \hat{\imath}   +  2 \hat{j}  -  2 \hat{k} \right)$

5. बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $\mathbf{2 \ \hat{\imath}   -  \hat{j}  +  4\hat{k}}$से गुजरने व सदिश $\mathbf{\hat{i}  +  2\hat{j}  -  \hat{k}}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a \ = \ 2\hat{\imath} \ - \ \hat{j} \ + \ 4\hat{k}$

$b \ = \ \hat{i} \ + \ 2\hat{j}  -  k$

 इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है

$r = 2 \hat{i} - \hat{j} \ + \ 4 \hat{k} \ + \ \lambda \left ( \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} \ - \hat{k} \right )$

 अब, 

$x \hat{i} \ + \ y \hat{j} \ + z \hat{k} \ = \ \lambda \ + \ 2 \ \hat{\imath} \ + \ 2 \lambda \ - \ 1 \hat{j} \ + \ \left ( \ - \ \lambda \ + \ 4 \right ) \hat{k} $

$\lambda$ का विलोपन करने पर,

${\text{(x  -  2)/1  =  (y  +  1)/2  =  (z  -  4)/ - 1}}$

6. उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $\mathbf{{\text{( -  2, 4,  -  5)}}}$से जाती है और $\mathbf{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}$ के समांतर है।

उत्तर: बिंदु ${\text{( -  2, 4,  -  5)}}$ रेखा ${\text{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}}$ के समांतर है।

रेखा ${\text{(x  +  3)/3  =  (y  -  4)/5  =  (z  +  8)/6}}$का दिक्-अनुपात ${\text{(3,5,6)}}$है

रेखा जो बिंदु ${\text{( - 2,4, - 5)}}$ से जाती है और जिसका दिक्-अनुपात ${\text{(3,5,6)}}$ है, उसका कार्तीय समीकरण :

$  {\text{x  -  ( -  2)/3  =  (y  -  4)/5  =  z  -  ( -  5)/6}} \ \\$

$  {\text{(x  +  2)/3  =  (y  -  4)/5  =   (z  +  5)/6}} \ \\ $

7. एक रेखा का कार्तिक समीकरण $\mathbf{{\text{(x  -  5)/3  =  (y  +  4)/7  =  (z  -  6)/2}}}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ${\text{(x  -  5)/3  =  (y  +  4)/7  =  (z  -  6)/2}}$

रेखा बिंदु ${\text{(5, - 4,6)}}$ से होकर जाएगा 

$a \ = \ 5 \hat{i} \ - \ 4 \hat{j} \ + \ 6 \hat{k} $

रेखा का दिक्- अनुपात \[{\text{ =  }}\left( {{\text{3,7,2}}} \right)\]

$  b \ = \ 3 \hat{i} \ + \ 7 \hat{j} \ + \ 2 \hat{k} \ \\$

$  r  =  a  +  \lambda b \ \\$

$  r   =  5\hat{\imath}   -  4\hat{j}  +  6\hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{\imath}    +  7\hat{j}  +  2\hat{k} \right) \ \\ $

8. मूल बिंदु और $\mathbf{{\text{(5,  - 2, 3)}}}$ से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{a}}$और ${\text{b}}$स्थित सदिश बिन्दु \[\left( {{\text{0,0,0}}} \right)\] और ${\text{(5,  - 2, 3)}}$ का 

$a  =  0\hat{\imath} +  0\hat{j}  +  0\hat{k}$ तथा $b  =  5\hat{i}  -  2\hat{j}  +  3\hat{k}$

अब 

$ r  =  a  +  \lambda (b  -  a) \ \\$

$ r  =  0  +  \lambda \left( 5 \hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} -  0 \right) \ \\$

$  r  =  \lambda \left( 5 \hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) \ \\$

$  r  =  x \hat{\imath}   +  y\hat{j}  +  z\hat{k}.......................(i) \ \\$

$  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k} =  \lambda \left( 5\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) \ \\$

$  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k}  = 5\lambda \hat{\imath}  - 2 \lambda j   +  3\lambda \hat{k} \ \\ $

अब,

$  x  =  5\lambda , y  =   -  2\lambda , z  =  3\lambda \ \\$

$x/5  =  y/ -  2  =  z/3 \ \\ $

9. बिंदुओ \[\mathbf{\left( {{\text{3, - 2, - 5}}} \right){\text{,}}}\]और $\mathbf{{\text{(3,  -  2, 6)}}}$से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए ${\text{a}}$ और ${\text{b}}$ स्थित सदिश बिन्दु \[\left( {{\text{3, - 2, - 5}}} \right){\text{,}}\] और ${\text{(3,  -  2, 6)}}$ का 

$a  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  -  5\hat{k}$ तथा $b  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  6\hat{k}$

अब,

$r  =  a  +  \lambda (b  -  a)\ \\$

$  r  =  3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left[ {\left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  +  6\hat{k} \right){\text{  -  }} \left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k} \right)} \right] \ \\$

$  r  =  3\hat{i}  -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{i}  -  2\hat{j}  +  6\hat{k}  -  3\hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  5\hat{k} \right) \ \\ $

$  r  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  -  5\hat{k}  +  \lambda \left( 11 \hat{k} \right) \ \\$

$  r  =  x\hat{i}  +  y\hat{j}  +  z\hat{k}...........................(i) \ \\ $

$x\hat{\imath}   +  y\hat{j}  +  z\hat{k}  =  3\hat{\imath}   -  2\hat{j}  +  (11\lambda   -  5)\hat{k}$

अब,

$  {x  =  3, y  =   -  2, z  =  11 \lambda   -  5}\ \\$

$(x  -  3)/0  =  (y  +  2)/0  =  (z  +  5)/11\ \\ $

10. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

1. $\mathbf{r  =  2\hat{i}  -  5\hat{j}  +  \hat{k}  +  \lambda \left( 3\hat{i}  +  2\hat{j}  +  6\hat{k} \right)$ और $r  =  7\hat{i}  -  6\hat{k}  +  \mu \left( \hat{i}  +  2 \hat{j}  +  2\hat{k} \dfrac{{\delta y}}{{\delta x}} \right)}$

उत्तर: $\cos \theta=\dfrac{b_{1} \cdot b_{2}}{\left|b_{1}\right|\left|b_{2}\right|}$

$  {{b}_1}{ =  3\hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  6\hat{k}} \ \\$

$  {{\text{b}}_2}{=  \hat{\imath}   +  2\hat{j}  +  2\hat{k}} \ \\$

$  {\text{| }}{{\text{b}}_1}{\text{ | =  }}\sqrt {{{{\text{3}}^2}} {\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{6}}^{\text{2}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{9}} {\text{  +  4  +  36}}}=\sqrt {{\text{49}}} {\text{  =  7}} \ \\$

$  {\text{| }}{{\text{b}}_2}{\text{ |  =  }}\sqrt {{{{\text{1}}^2}} {\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{1}} {\text{  +  4  +  4  =  }}}\sqrt {\text{9}} {\text{  =  3}} \ \\$

$b_1 \cdot b_2 \ = \ \left ( 3 \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} + 6 \hat{k} \right ) \times \left ( \hat{i} \ + \ 2 \hat{j} \ + \ 2k \right ) \ \\$

$  {\text{ = }} 3  \times  1  +  2  \times  2  +  6  \times  2 \ \\$

$  {\text{ =  3  +  4  +  12  =  19}} \ \\$

$  {\text{cos}} \theta   =  19/7  \times  3  =  19/21 \ \\$

$  {\text{ }}\theta   =  co{{\text{s}}^{\text{ - 1}}}{\text{(19/21)}} \ \\ $

2. $\mathbf{r=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(i-\hat{j}-2 \hat{k})}$ और $\mathbf{r=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})}$

उत्तर: $\cos \theta=\dfrac{b_{1} \cdot b_{2}}{\left|b_{1}\right|\left|b_{2}\right|}$

$\mathrm{b}_1=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{b}_2=3 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}$

$|\mathrm{b}_1|=\sqrt{{1^{2}}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$|\mathrm{~b}_2|=\sqrt{{3^{2}}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{{9}+25+16}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$

$\mathrm{~b}_1 . \mathrm{b}_2=(\mathrm{i}-\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}) \times(3 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})$

$=1 \times 3-1 \times(-5)-2 \times(-4)$

$=3+5+8=16$

$\cos \theta=\dfrac{16}{\sqrt{6} \times 5 \sqrt{2}}$

$=16 / 10 \sqrt{3}=8 / 5 \sqrt{3}$

$\theta=\cos ^{-1}(8 / 5 \sqrt{3})$

11. निम्नलिखित रेखा- युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: 

(i) $(\mathrm{x}-2) / 2=(\mathrm{y}-1) / 5=(\mathrm{z}+3) /-3$ और $(\mathrm{x}+2) /-1=(\mathrm{y}-4) / 8=(z-5) / 4$

उत्तर: $(\mathrm{x}-2) / 2=(\mathrm{y}-1) / 5=(\mathrm{z}+3) /-3$

$(x+2) /-1=(y-4) / 8=(z-5) / 4$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,5,-3)$ तथा $(-1,8,4)$

$\cos \theta=\mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c}_1 \mathrm{c}_2 / \sqrt{{\mathrm{a}_1^{2}}+\mathrm{b}_1^{2}+\mathrm{c}_1^{2}} \sqrt{{\mathrm{a}_2^{2}}+\mathrm{b}_2^{2}+\mathrm{c}_2^{2}}$

$=2 \times(-1)+5 \times 8+(-3) \times 4 / \sqrt{2^{2}+5^{2}+(-3)^{2}} \sqrt{(-1)^{2}+8^{2}+4^{2}}$

$=26 / \sqrt{3} 8 \sqrt{81}=26 / 9 \sqrt{38}$

$\theta=\cos ^{-1}(26 / 9 \sqrt{38})$

(ii) $\mathbf{x / 2=y / 2=z / 1}$ और $\mathbf{(x-5) / 4=(y-2) / 1=(z-3) / 8}$

उत्तर: $\mathrm{x} / 2=\mathrm{y} / 2=\mathrm{z} / \mathrm{1}$

$(x-5) / 4=(y-2) / 1=(z-3) / 8$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात $=(2,2,1),(4,1,8)$

$\cos \theta=2 \times 4+2 \times 1+1 \times 8 / \sqrt{{2^{2}}+2^{2}+1^{2}} \sqrt{4^{2}+1^{2}+8^{2}}$

$=18 / \sqrt{9} \sqrt{81}=18 / 3 \times 9=2 / 3$

$\theta=\cos ^{-1}(2 / 3)$

12. $\mathbf{{\text{p}}}$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएं $\mathbf{{\text{(1  -  x)/3  =  (7y  -  14)/2p  =  (z  -  3)/2}}}$ और $\mathbf{{\text{(7  -  7x)/3p  =  (y  -  5)/1  =  (6  -  z)/5}}}$ परस्पर लंब हो।

उत्तर: ${\text{(1  -  x)/3  =  (7y  -  14)/2p  =  (z  -  3)/2}}$

$   \Rightarrow {\text{(x  -  1)/ - 3  =  (y  -  2)/2p/7  =  (z  -  3)/2}} \ \\$

 $ {\text{(7  -  7x)/3p  =  (y  -  5)/1  =  (6  -  z)/5}} \ \\$

$   \Rightarrow {\text{(x  -  1)/ -  3p/7  =  (y  -  5)/1  =  (z  -  6)/ -  5}}  \\ $

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात \[{\text{ =  ( - 3,2p/7,2),    ( -  3p/7,1, - 5)}}\]

अब,

$  {{\text{a}}_1}{{\text{a}}_2}{\text{  +  }}{{\text{b}}_1}{{\text{b}}_2}{\text{  +  }}{{\text{c}}_1}{{\text{c}}_2}{\text{  =  0}} \ \\$

$  {\text{( -  3)( -  3p/7)  +  (2p/7)(1)  +  2( -  5)  =  0}} \ \\$

$  {\text{9p/7  +  2p/7  -  10  =  0}} \ \\$

$  {\text{11p/7  =  10}} \ \\$

$  {\text{p  =  70/11}} \ \\ $

13. दिखाइए की रेखाएं $\mathbf{{\text{(x  -  5)/7  =  (y  +  2)/ -  5  =  z/1}}}$ और $\mathbf{{\text{x/1  =  y/2  =  z/3}}}$परस्पर लंब है।

उत्तर: ${\text{(x  -  5)/7  =  (y  +  2)/ -  5  =  z/1}}$

${\text{x/1  =  y/2  =  z/3}}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (7, - 5,1),(1,2,3)}}$

$  {{\text{a}}_1}{{\text{a}}_2}{\text{  +  }}{{\text{b}}_1}{{\text{b}}_2}{\text{  +  }}{{\text{c}}_1}{{\text{c}}_2}{\text{  =  0}} \ \\$

$  {\text{7(1)  +  ( -  5)(2)  +  1(3)  =  7  -  10  +  3  =  0}} \ \\ $

इसलिए दोनों रेखाएं अभिलम्ब है 

14. रेखाओं $\mathbf{\mathrm{r}=(\mathrm{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})}$ और $\mathbf{\mathrm{r}=2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\mu(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\mathrm{r}=(\mathrm{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$ और $\mathrm{r}=2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\mu(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}=\mathrm{a}_{1}+\lambda \mathrm{b}_{1}$ तथा $\mathrm{r}=\mathrm{a}_{2}+\mu \mathrm{b}_{2}$

$a_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, b_{1}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$a_{2}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, b_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$

अब,

$\begin{array}{l} \mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| \\ =\hat{\mathrm{i}}(-2-1)-\hat{\mathrm{j}}(2-2)+\hat{\mathrm{k}}(1+2) \\ =-3 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}} \\ \left|\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}\right|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \end{array}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=\dfrac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \times\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|}$

$=|(-3 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}}) \times(\hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}})| / 3 \sqrt{2}$

$=|(-3) \times 1+0 \times(-3)+3 \times(-2)| / 3 \sqrt{2}$

$=9 / 3 \sqrt{2}=3 \times \sqrt{2} / \sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$=3 \sqrt{2} / 2$

15. रेखाओं $\mathbf{{\text{(x  +  1)/7  =  (y  +  1)/  -  6  =  (z  +  1)/1}}}$और $\mathbf{{\text{(x  -  3)/1  =  (y  -  5)/ -  2  =  (z  -  7)/1}}}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर: ${\text{(x  +  1)/7  =  (y  +  1)/  -  6  =  (z  +  1)/1}}$ और ${\text{(x  -  3)/1  =  (y  -  5)/ -  2  =  (z  -  7)/1}}$

दोनों रेखाओं का दिक्-अनुपात ${\text{ =  (7, - 6,1), ( - 1,  - 1,  -  1)}}$

$\mathrm{r}_{1}=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}+\lambda(7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{6} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}_{2}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}+\mu(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$

$\mathrm{r}_{1}=\mathrm{a}_{1}+\lambda \mathrm{b}_{1}, \mathrm{r}_{2}=\mathrm{a}_{2}+\mu \mathrm{b}_{2}$

$\mathrm{a}_{1}=-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}, \mathrm{b}_{1}=7 \hat{i}-6 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{a}_{2}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}, \mathrm{b}_{2}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}=(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}})-(-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$

$=4 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}+8 \hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|$

$=\hat{i}(-6+2)-\hat{j}(7-1)+\hat{k}(-14+6)$

$=-4 \hat{i}-6 \hat{j}-8 \hat{k}$

$|b_1 \times b_2|=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}+(-8)^{2}}$

$=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}=2 \sqrt{29}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=\dfrac{\left|\left(b_{1} \times b_{2}\right) \times\left(a_{2}-a_{1}\right)\right|}{\left|b_{1} \times b_{2}\right|}$

$=|(-4 \hat{i}-6 \hat{j}-8 \hat{k}) \times(4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k})| / 2 \sqrt{29}$

$=|(-4) 4+(-6) 6+(-8) 8| / 2 \sqrt{29}$

$=|-16-36-64| / 2 \sqrt{29}$

$=116 / 2 \sqrt{29}=58 / \sqrt{29}$

$=2 \sqrt{29}$

16. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{{\text{r  =  }}\left( \hat{i}  +  2\hat{j}  +  3\hat{k} \right) +  \lambda \left( \hat{\imath}   -  3\hat{j}  +  2\hat{k} \right)$ और $r  =  4\hat{\imath}   +  5\hat{j}  +  6\hat{k}  +  \mu \left( {2\hat{\imath}   +  3\hat{j}  +  \hat{ k}} \right)}$

उत्तर: $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ and $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$

$\vec{a}_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}_{1}=\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ 

$\vec{a}_{2}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}$, $\vec{b}_{2}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ 

$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|=-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}$

$\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|=3 \sqrt{19} \therefore\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \cdot\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)=9$

$d=\left|\dfrac{\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \cdot\left(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right)}{\left|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}\right|}\right|=\dfrac{9}{3 \sqrt{19}}=\dfrac{3}{\sqrt{19}}$

17. रेखाएं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

$\mathbf{r  =  (1  -  t)\hat{\imath}   +  (t  -  2)\hat{j}  +  (3  -  2t)\hat{k}}$ और $\mathbf{{\text{r}}  =  (s  +  1)\hat{\imath}   +  (2s  -  1)\hat{j}  -  (2s  +  1)\hat{k}}$   

उत्तर: ${\text{r}  =  (1  -  t)\hat{\imath}   +  (t  -  2)\hat{j}  +  (3  -  2t)\hat{k}}$ और ${\text{r}  =  (s  +  1)\hat{\imath}   +  (2s  -  1)\hat{j}  -  (2s  +  1)\hat{k}}$   

$r=a_{1}+t b_{1}, r=a_{2}+s b_{2}$

$a_{1}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}, b_{1}=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$a_{2}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, b_{2}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$

$a_{2}-a_{1}=(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \mid$

$=\hat{j}-4 \hat{k}$

$\mathrm{b}_{1} \times \mathrm{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right|$

$=(-2+4) \hat{i}-(2+2) \hat{j}+(-2-1) \hat{k}$

$=2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$

$\left|b_{1} \times b_{2}\right|=\sqrt{{2^{2}}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}$

$=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$

$\text { न्यूनतम दूरी }=|(2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}) \times(\hat{j}-4 \hat{k})| / \sqrt{2} 9$

$=|-4+12| / \sqrt{29}$

$=8 / \sqrt{29}$

प्रश्रावली 11.3

1. निम्नलिखित प्रश्रों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।

1. $\mathbf{{\text{z  =  2}}}$

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{z  =  2}}$ इसकी तुलना समतल के मानक समीकरन ${\text{lx  +  my  +  nz  =  p}}$ से करने पर, समतल की मूलबिन्दु से दूरी ${\text{p  =  2}}$ मात्रक तथा समतल के अभिलम्ब की दिक कोसाइन ${\text{l  =  0, m  =  0, n  =  1}}$

यहां ${\text{x  =  0}}$ तथा ${\text{y  =  0}}$ है। इसलिये ${\text{z  =  2}}$ की मूल बिन्दु से दूरी ${\text{ =  2}}$

2. $\mathbf{{\text{x  +  y  +  z  =  1}}}$ 

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{x  +  y  +  z  =  1}}$

दोनों पक्षों को $\dfrac{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}{1} = \sqrt 3 $से भाग देने पर, 

${\text{(l/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)x  +  (1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)y  +  (1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{)z   =  1/}}\sqrt {\text{3}} $

इसकी तुलना समतल के मानक समीकरन ${\text{1x  +  my  +  nz  =  p}}$  से करने पर, समतल पर अभिलम्ब के दिक कोसाइन

${\text{I  =  1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, m  =  1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, n  =  1/}}\sqrt {\text{3}} $अर्थात ${\text{1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, 1/}}\sqrt {\text{3}} {\text{, 1/}}\sqrt {\text{3}} $ व 

मूलबिन्दु से दूरी ${\text{p  =  1/}}\sqrt {\text{3}} $

3. $\mathbf{{\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}}$ 

उत्तर: दिये गये समतल का समीकरन ${\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}$  समतल के अभिलम्ब के दिक अनुपात ${\text{2,3, - 1}}$हैं।

$\sqrt {4 + 9 + 1}  = \sqrt {14} $

समतल के अभिलम्ब के दिक कोसाइन $2/\sqrt {14} ,3/\sqrt {14} , - 1/\sqrt {14} $

पुन: ${\text{2x  +  3y  -  z  =  5}}$

दोनों पक्षों में $1/\sqrt {14} $ से गुना करने पर

${\text{(2/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)x  +  (3/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)y  -  (1/}}\sqrt {{\text{14}}} {\text{)z  =  5/}}\sqrt {{\text{14}}} $

अत: मूल बिन्दु से समतल की दूरी, ${\text{d  =  5/}}\sqrt {{\text{14}}} $

4. $\mathbf{{\text{5y  +  8  =  0}}}$

उत्तर: समतल का समीकरन,

${\text{5y  +  8  =  0}}$

या ${\text{0}}{\text{.x  +  5y  +  0}}{\text{.z  =   -  8}}$

समतल के अभिलम्ब के दिक अनुपात $ = 0,5,0$ या $0,1,0$

समतल के अभिलम्ब के दिक कोसाइन $ = 0,1,0$

${\text{0}}{\text{.x  +  5y  +  0}}{\text{.z  =   -  8/5}}$

$  {\text{ }}{\vec{ r}}\overrightarrow {{\text{. j}}} {\text{  =   -  8/5}} \ \\$

$  {\text{ }}{\vec{ r }}{\text{.}}\overrightarrow {{\text{  -  j}}} {\text{  =  8/5}} \ \\ $

मूलबिन्दु से दूरी $ = \,\,| - 8/5|\,\, = 8/5$

2. उस समतल का सदिश समीकरन ज्ञात कीजिए, जो मूल बिन्दु से $\mathbf{{\text{7 }}}$ मात्रक दूरी पर है, ओर सदिश $\mathbf{{3\hat{\imath}   +  5\hat{j}  -  6\hat{k}}}$पर अभिलम्ब है।

उत्तर: यहां $p=7$ मात्रक

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}}$

$\hat{\mathrm{n}}=\overrightarrow{\mathrm{n}} /|\overrightarrow{\mathrm{n}}|=(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}}) /(\sqrt{9+25-36})$

$=(1 / \sqrt{70}) \cdot(3 \hat{i}+5 \hat{\jmath}-6 \hat{\mathrm{k}})=7$

तल का अभीश्त समीकरन $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot \hat{\mathrm{n}}=\mathrm{p}$ से $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(3 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}-6 \hat{\mathrm{k}}) / \sqrt{70}=7$

3. निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरन ज्ञात कीजिए:

1. $\mathbf{\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$

इसमें $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}$ रखने पर

$(x \hat{i}+y \hat{\jmath}+z \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k})=2$

या $\mathrm{x} .1+\mathrm{y} .1+\mathrm{z}(-1)=2$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$x+y-z=2$

2. $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}})=1$

इसमें $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}$ रखने पर

$(\mathrm{x} \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{y} \hat{\jmath}+z \hat{\mathrm{k}}) \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\jmath}-4 \hat{\mathrm{k}})=1$

या $x .2+y \cdot 3+z(-4)=1$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$2 x+3 y-4 z=1$

3. $\mathbf{\vec{r} \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15}$

उत्तर: दिया गया समीकरण 

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot[(\mathrm{s}-2 \mathrm{t}) \hat{i}+(3-\mathrm{t}) \hat{\mathrm{j}}+(2 \mathrm{~s}+\mathrm{t}) \hat{\mathrm{k}}]=15$

इसमें $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ रखने पर

$(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15$

या $x \cdot(s-2 t)+y \cdot(3-t)+z \cdot(2 s+t)=15$

अत: समतल का कार्तीय समीकरन

$(s-2 t) x+(3-t) y+(2 s+t) z=15$

4. निम्नलिखित स्थितियों में, मूल बिन्दु से खींचे गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

1. $\mathbf{2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 z-12=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-12=0$

दोनों पक्षों में $\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$ से भाग करने पर

$\dfrac{2}{\sqrt{29}} \mathrm{x}+\dfrac{3}{\sqrt{29}} \mathrm{y}+\dfrac{4}{\sqrt{29}} \mathrm{z}=\dfrac{12}{\sqrt{29}}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $l=\dfrac{2}{\sqrt{29}}, \mathrm{~m}=\dfrac{3}{\sqrt{29}}, \mathrm{n}=\dfrac{4}{\sqrt{29}}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{12}{\sqrt{29}}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=ld=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{2}{\sqrt{29}}=\dfrac{24}{29}$

$y=m d=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{3}{\sqrt{29}}=\dfrac{36}{29}$

$z=n d=\dfrac{12}{\sqrt{29}} \times \dfrac{4}{\sqrt{29}}=\dfrac{48}{29}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(\dfrac{24}{29}, \dfrac{36}{29}, \dfrac{48}{29}\right)$

2. $\mathbf{3 \mathrm{y}+4 z-6=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}-6=0$

दोनों पक्षों में $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5$ से भाग करने पर

$\dfrac{3}{5} y+\dfrac{4}{5} z=\dfrac{6}{5}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $\mathrm{l}=0, \mathrm{~m}=\dfrac{3}{5} \mathrm{n},=\dfrac{4}{5}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{6}{5}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=l d=\dfrac{6}{5} \times 0=0$

$y=m d=\dfrac{6}{5} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{18}{25}$

$z=\text { nd }=\dfrac{6}{5} \times \dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$=\left(0, \dfrac{18}{25}, \dfrac{24}{25}\right)$

3. $\mathbf{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1$

दोनों पक्षों में $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ से भाग करने पर

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{x}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{y}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

यही समतल का अभिलम्ब रूप है।

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \mathrm{~m}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \mathrm{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=1 d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

$y=m d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

$z=n d=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$

4. $\mathbf{5 y+8=0}$

उत्तर: दिया गया समीकरण $5 \mathrm{y}+8=0$

अभिलम्ब के दिक कोसाइन $\mathrm{I}=0, \mathrm{~m}=1, \mathrm{n}=0$

समतल की मूल बिन्दु से दूरी $\mathrm{d}=-\dfrac{8}{5}$

मूल बिन्दु से समतल पर लम्ब के पाद के निर्देशान्क

$x=1 d=-\dfrac{8}{5} \times 0=0$

$y=m d=-\dfrac{8}{5} \times 1=-\dfrac{8}{5}$

$z=n d=-\dfrac{8}{5} \times 0=0$

अत: लम्ब के पाद के निर्देशान्क $=\left(0,-\dfrac{8}{5}, 0\right)$

5. निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अन्तर्गत समतलों का सदिश एवम कार्तीय समीकरन ज्ञात कीजिए जो:

1. बिन्दु $(1,0,-2)$ से जाता हो और $\mathbf{\hat{i}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}$ समतल पर अभिलम्ब है।

उत्तर: सदिश समीकरन :

सदिश रूप में समीकरन

$(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{n}=0$

यहां $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(1,0,-2)=\hat{i}-2 \hat{\mathrm{k}}$

तथा $\vec{n}=\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k}$

समतल का समीकरन

$[\vec{r}-(\hat{i}-2 \hat{k})] \times(\hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k})=0$

कार्तीय समीकरन :

समतल का समीकरन जो $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ से गुजरता है और लम्ब के दिकअनुपात $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ हैं।

$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

यहां समतल बिन्दु $(1,0,-2)$ से गुजरता है और लम्ब के दिक-अनुपात $(1,1,-1)$ हैं।

अर्थात $x_{1}=1$, $y_{1}$=0,$z_{1}$=-2, a=1, b=1, c=-1

समतल का समीकरन

$1 .(\mathrm{x}-1)+1 \times(\mathrm{y}-0)+(-1)(z+2)=0$

या $x-1+y-z-2=0$

या $\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}=3$

2. बिन्दु $\mathbf{(1,4,6)}$ से जाता हो और $\mathbf{\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}}$ समतल पर अभिलम्ब सदिश है।

उत्तर: सदिश समीकरन :

समतल बिन्दु $(1,4,6)$ से हो कर जाता है तथा लम्ब सदिश $\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$ समतल का समीकरन

$(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{n}=0$

या $[\overrightarrow{\mathrm{r}}-(\hat{i}+4 \hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}})] \times(\hat{i}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})=0$

कार्तीय समीकरन

यहां समतल बिन्दु $(1,4,6)$ से गुजरता है और लम्ब के दिक-अनुपात $(1,-2,1)$ हैं। अर्थात $x_1=1, y_1=4, z_1=6 a=1, b=-2, c=1$

समतल का समीकरन

$1 \cdot(x-1)-2 \times(y-4)+(z-6)=0$

या $x-2 y+z-1+2=0$

या $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-1+2=0$

या $x-2 y+z+1=0$

6. उन समतलों का समीकरन ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।

1. $\mathbf{(1,1,-1),(6,4,-5),(-4,-2,3)}$

उत्तर: यदि $a, b, c$ समतल के लम्ब के दिक अनुपात हैं तो $(x_1, y_1, z_1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन 

$a(x-x_1)+b \times(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

बिन्दु $\mathrm{A}(1,1,-1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन $\mathrm{a} \cdot(\mathrm{x}-1)+\mathrm{b} .(\mathrm{y}-1)+\mathrm{c}(\mathrm{z}+1)=0$ बिन्दु $\mathrm{B}(6,4,-5)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

$a.(6-1)+\mathrm{b} \cdot(4-1)+\mathrm{c}(-5+1)=0$

या $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}-4 \mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .(1)$

और बिन्दु $(-4,-2,3)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

$a.(-4-1)+b \cdot(-2-1)+c(3+1)=0$

या $-5 a-3 b+4 c=0$

या $5 \mathrm{a}+3 \mathrm{~b}-4 \mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots .(2)$

नहां समीकरन (1) और (2) एक ही समीकरन हैं।

अत: $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ के अनन्त मूल हो सकते हैं जो इस समीकरन को सन्तुश्त करते हैं।

इसीलिये एक रेखा से गुज़रने वाले अनन्त समतल हो सकते हैं।

2. $\mathbf{(1,1,0),(1,2,1),(-2,2,-1)}$

उत्तर: यदि $a, b, c$ समतल के लम्ब के दिक अनुपात हैं तो $(x_1, y_1, z_1)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन a. $(x-x_1)+b \cdot(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

बिन्दु $A(1,1,0)$ से गुज़रने वाले समतल का समीकरन

$\text { a. }(x-1)+b \cdot(y-1)+c(z+0)=0 \ldots$

बिन्दु $\mathrm{B}(1,2,1)$ इस समीकरन पर स्तिथ हो, तब

a.$(1-1)+b \times(2-1)+c(1+0)=0$

या $0 . a+b+c=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .(2)$

और बिन्दु $\mathrm{C}(-2,2,-1)$ इस समीकरन (1) में रखने पर,

a.$(-2-1)+b \cdot(2-1)+c(-1)=0$

या $-3 \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (3)

समीकरन $(1),(2)$ और $(3)$ मे $a, b, c$ को लुप्त करने से समीकरन

$\left(\begin{array}{llc} \mathrm{x}-1 & \mathrm{y}-1 & \mathrm{z} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{array}\right)=0$

$\text { या }-2 \mathrm{x}+2-3 \mathrm{y}+3+3 \mathrm{z}=0$

या $2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-3 \mathrm{z}=5$

7. समतल $\mathbf{{\text{2x  +  y  -  z  =  5}}}$द्वारा काते गये अन्त खन्दो को कीजिये।

उत्तर: समतल :${\text{2x  +  y  -  z  =  5}}$

इसे ${\text{5}}$ से भाग दीजिये : $\dfrac{{\text{x}}}{{\dfrac{{\text{5}}}{{\text{2}}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{5}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{z}}}{{{\text{ - 5}}}}{\text{  =  1}}$

अन्त खन्द ${\text{OX,OY,OZ}}$पर इस प्रकार है : $\dfrac{{\text{5}}}{{\text{2}}}{\text{, 5,  - 5}}$

8. उस समतल का समीकरन ज्ञात कीजिये जिसका $\mathbf{{\text{y - }}}$ अक्ष पर अन्त खन्द $\mathbf{{\text{3}}$ और जो तल ${\text{ZOX}}}$ के समान्तर है।

उत्तर: समतल के समांतर तल का समीकरन, ${\text{y  =  a}}$

अन्त खन्द 3 बना अर्थात ${\text{a  =  3}}$

तल का अभीश्त समीकरन ${\text{y  =  3}}$

9. उस समतल का समीकरन ज्ञात कीजिये जो समतलों $\mathbf{3 x-y+2 z-4=0}$ और $\mathbf{x+y+z-2=0}$ के प्रतिळेदन तथा बिन्दु $\mathbf{(2,2,1)}$ से होकर जाता है।

उत्तर: दिये गये समतल $3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-4=0$ और $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-2=0$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल

$3 x-y+2 z-4=0+p(x+y+z-2)=0$

यह समीकरन बिन्दु $(2,2,1)$ से होकर जाता है।

$3 \times 2-2+2 \times 1-4+p(2+2+1-2)=0$

या $6-2+2-4+\mathrm{p} .3=0$

या $2+3 \mathrm{p}=0$ या $\mathrm{p}=-2 / 3$

$p$ का मान समीकरन (i) में रखने पर

$3 x-y+2 z-4+(-2 / 3)-(x+y+z-2)=0$

या $3 .(3 x-y+2 z-4)+(-2) \cdot(x+y+z-2)=0$

या $9 x-3 y+6 z-12-2 x-2 y-2 z+4=0$

या $7 x-5 y+4 z-8=0$

यही अभीश्त समतल का समीकरन है।

10. उस समतल का सदीश समीकरन ज्ञात कीजिये जो समतलों $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}}(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=7, \quad \overrightarrow{\mathrm{r}}(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=9}$ के प्रतिळेदन रेखा तथा बिन्दु $\mathbf{(2,1,3)}$ से होकर जाता है।

उत्तर: दिए गए समतलो $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=7, \overrightarrow{\mathrm{r}} .(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=9$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})-7+\mathrm{p} \overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9=0 \ldots \ldots$

यह समीकरन बिन्दु $(2,1,3)$ अर्थार्त $2 \hat{i}+\hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}}$ से होकर जाता है

$(2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})[(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})-7]+p[(2 \hat{i}+\hat{\jmath}+3 \hat{k})-(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{k})-9]=0$

या $4+2-9-7+p \cdot(4+5+9-9)=0$

$-10+9 p=0$ या $p=10 / 9$

$p$ का मान समीकरन (।) में रखने पर

$\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathfrak{w}}-3 \hat{\mathrm{k}})-7+(10 / 9)[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9]=0$

या $9[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})-7]+(10)[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-9]=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{r}}[9 .(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})+(10) \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})]-63-90=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{f}} \cdot[(18+20) \hat{i}+(18+50) \hat{\jmath}+(-27+30) \hat{k}]-153=0$

अभीश्त समतल का समीकरन

$\vec{r. }(38 \hat{i}+68 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})-153=0$

या $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(38 \hat{i}+68 \hat{\jmath}+3 \hat{\mathrm{k}})=153$

11. तलो $\mathbf{x+y+z=1}$ और $\mathbf{2 x+3 y+4 z=5}$ के प्रतिब्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल $\mathbf{\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=0}$ पर लम्बवत तल का समीकरन ज्ञात कीजिये।

उत्तर: दिये गये समतलों $x+y+z=1,2 x+3 y+4 z=5$ के प्रतिछेदन से होकर जाने वाला समतल का समीकरन

$(x+y+z-1)+p(2 x+3 y+4 z-5)=0$

यह तल $x-y+z=0$ के लम्बवत है।

$(1+2 p) 1+(1+3 p)(-1)+(1+4 p)(1)=0 \quad \therefore[a_1 a_2+b_1 b_2+\operatorname{c_l}c_2=0]$

$1+2 p-1-3 p+1+4 p=0$

$1+3 p=0$

$p=-1 / 3$

अत: अभीश्त समतल का समीकरन $p$ का मान समीकरन (i) में रखने पर,

$\left(1-\dfrac{2}{3}\right) x+\left(1-\dfrac{3}{3}\right) y+\left(1-\dfrac{4}{3}\right) z-1+\dfrac{5}{3}=0$

$(1 / 3) x+0 . y-(1 / 3) z+(2 / 3)=0$

$x-z+2=0$

12. समतलों जिनके सदिश समीकरन $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=5}$ और $\mathbf{\overrightarrow{\mathrm{r}}(3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}})=3}$ है, के बीच का कोन ज्ञात कीजिये।

उत्तर: दिए गए सदिश समीकरण है $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}})=5$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}})=3$

इनकी तुलना समतलों $\overrightarrow{\mathrm{r}} . \overrightarrow{\mathrm{n}}_1=\mathrm{d}_1$ और $\overrightarrow{\mathrm{r}} . \overrightarrow{\mathrm{n}}_2=\mathrm{d}_2$ से करने पर, $\overrightarrow{\mathrm{n}}_1=2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{\mathrm{k}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{n}}_2=3 \hat{i}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{\mathrm{k}}$

अत: दोनों समतलों के मध्य कोन,

$\operatorname{Cos} \phi=\left|\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}_2}{|\overrightarrow{\mathrm{n}_1}| \overrightarrow{\mathrm{n}}_2|}\right|$

$\operatorname{Cos} \phi=\left|\dfrac{(2 \hat{i}+2 \hat{j})-3 \hat{k}) \times(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})}{(\mid 2 \hat{i}+2 \hat{j}\}-3 \hat{k}|| 3 \hat{i}-3 \hat{j}\}+5 \hat{k} \mid)}\right|$

$=\left|\dfrac{2.3+2 \times(-3)+(-3) \times 5}{\sqrt{4+4+9} \times \sqrt{9+9+25}}\right|$

$=\left|\dfrac{6-6-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|=\left|\dfrac{-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}\right|$

$\phi=\cos ^{-1}\left|\dfrac{-15}{\sqrt{731}}\right|$

13: निस्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिये कि क्या दिये गये समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत और उस स्थिति मे, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत तो उनके बीच का कोन ज्ञात कीजिये।

1. $\mathbf{7 x+5 y+6 z+30=0}$ और $\mathbf{3 x-y-10 z+4=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$

और $a_2 \mathrm{x}+\mathrm{b}_2 \mathrm{y}+\mathrm{c}_2 \mathrm{z}+\mathrm{d}_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c}_1/ \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$7 x+5 y+6 z+30=0$ तथा $3 x-y-10 z+4=0$ है

यहाँ $\mathrm{a}_1=7, \mathrm{~b}_1=5, \mathrm{c_l}=6$

तथा $\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-1, \mathrm{c}_2=-10$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=7 / 3, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=5 /-1$ तथा $\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=6 /-10$

$7 / 3 \neq 5 /-1 \neq 6 /-10$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)$

$=21-5-60 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत भी नहीं है।

अब दोनों समतलो के बीच कोन $\varnothing$ हो, तो

$\cos \phi=\dfrac{7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)}{\left.\sqrt{7^{2}+5^{2}+6^{2}}\right) \times\left(\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}\right.} \mid$

$=\left|\dfrac{21-5-60}{\sqrt{49+25+36 \sqrt{9+1+100}}}\right|$

$=\left|\dfrac{44}{110}\right|=2 / 5$

$\cos \phi=2 / 5$

$\phi=\cos ^{-1}(2 / 5)$

2. $\mathbf{2 \mathrm{x}+\mathrm{y}+3 \mathrm{z}-2=0}$ और $\mathbf{\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+5=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a 1 x+b_1 y+c l z+d 1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $a_1 / a_2=b_1 / b_2=\mathrm{c}_1 / c_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x+y+3 z-2=0$ और $x-2 y+5=0$

यहां $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=1, \mathrm{c_l}=3$

तथा $a_2=1, b_2=-2, c_2=0$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 1, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=1 /-2$ तथा $\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=3 / 0$

$2 / 1 \neq 1 /-2 \neq 3 / 0$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=2 \times 1+1 \times(-2)+3 \times 0=2-2=0$

अत: ये समतल लम्बवत है।

3. $\mathbf{2 x-2 y+4 z+5=0}$ और $\mathbf{3 x-3 y+6 z-1=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}+\mathrm{c_lz}+\mathrm{d}_1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x-2 y+4 z+5=0$ और $3 x-3 y+6 z-1=0$

यहां $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=-2, \mathrm{c_l}=4$

तथा $\mathrm{a}_2=3, \mathrm{~b}_2=-3, \mathrm{c}_2=6$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 3, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=-2 /-3, \mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=4 / 6$

$2 / 3=-2 /-3=4 / 6$

अत: यह समान्तर है।

अब $a_1.a_2 +b_1.b_2 +c_l.c_2 =2 \times 3+(-2) \times(-3)+4 \times 6$

$=6-6+24 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत नहीं है।

4. $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 z-1=0}$ और $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 z+3=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}+\mathrm{c_lz}+\mathrm{d}_1=0$

और $a_2 \mathrm{x}+\mathrm{b}_2 \mathrm{y}+\mathrm{c}_2 \mathrm{z}+\mathrm{d}_2=0$

समानंतर होंगे यदि $\mathrm{a_l} / \mathrm{a}_2=\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2=\mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a_l} . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 . \mathrm{b}_2+\mathrm{c_l} . \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$2 x-y+3 z-1=0$ और $2 x-y+3 z+3=0$

यहाँ $\mathrm{a}_1=2, \mathrm{~b}_1=-1, \mathrm{c_l}=3$

तथा $a_2=2, b_2=-1, c_2=3$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=2 / 2, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=-1 /-1, \mathrm{c_l} / \mathrm{c}_2=3 / 3$

$2 / 2=-1 /-1=3 / 3$

अत: यह समान्तर है।

अब $a_1 . a_2+b_1 . b_2+c_1 . c_2=2 \times 2+(-1) \times(-1)+3 \times 3=4+1+9=14 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत नहीं है।

5. $\mathbf{4 x+8 y+z-8=0}$ और $\mathbf{y+z-4=0}$

उत्तर: चूंकि समतलों के समीकरन $a_1 x+b_1 y+c_l z+d_1=0$

और $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$

समानंतर होंगे यदि $a_1 / a_2=b_1 / b_2=\mathrm{c}_1 / c_2$

तथा लम्बवत होने यदि $\mathrm{a}_1 . \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 . \mathrm{b}_2+\mathrm{c}_1. \mathrm{c}_2=0$

दिये गये समतल

$4 x+8 y+z-8=0$ और $y+z-4=0$

यहां $\mathrm{a}_1=4, \mathrm{~b}_1=8, \mathrm{c}_1=1$

तथा $\mathrm{a}_2=0, \mathrm{~b}_2=1, \mathrm{c}_2=1$

तब $\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2=4 / 0, \mathrm{~b}_1 / \mathrm{b}_2=8 / 1, \mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=1 / 1$

$4 / 0 \neq 8 / 1 \neq 1 / 1$

अत: यह समान्तर नही है।

अब $a_l.a_2 + b_1.b_2 + c_1.c_2=4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1=0+9=9 \neq 0$

अत: ये समतल लम्बवत भी नहीं है।

अब दोनों संतलों के बीच कोण हो, तो

$\cos \phi=\left|\dfrac{4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1}{\left.\sqrt{4^{2}+8^{2}+1^{2}}\right) \times\left(\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}\right.}\right|$

$=\left|\dfrac{8+1}{\sqrt{16+64+1} \sqrt{2}}\right|$

$=\left|\dfrac{9}{9 \sqrt{2}}\right|=1 / \sqrt{2}$

$\cos \phi=1 / \sqrt{2}$

$\phi=45^{\circ}$

14. निम्नलिखित प्रश्रों में प्रत्येक दिये गये बिन्दु से दिये गये सन्गत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिये।

बिन्दु                                             समतल

1. $\mathbf{(0,0,0)}$                            $\mathbf{3 x-4 y+12 z=3}$

2. $\mathbf{\quad(3,-2,1)}$                       $\mathbf{2 x-y+2 z+3=0}$

3. $\mathbf{\quad(2,3,-5)}$                        $\mathbf{x+2 y-2 z=9}$

4. $\mathbf{\quad(-6,0,0)}$                       $\mathbf{2 x-3 y+6 z-2=0}$

1. बिन्दु $\mathbf{(0,0,0)}$ समतल $\mathbf{3 x-4 y+12 z=3}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x_1}, \mathrm{y}_1, \mathrm{z}_1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c} \mathrm{z}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(0,0,0)$ की समतल $3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+12 \mathrm{z}-3=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{3.0+(-4) \cdot 0+12.0-3}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+12^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{-3}{\sqrt{9+16+144}}\right|=\left|\dfrac{-3}{13}\right|=\dfrac{3}{13}$

2. बिन्दु $\mathbf{(3,-2,1)}$ समतल $\mathbf{2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}+3=0}$

3. बिन्दु $\mathbf{(2,3,-5)}$ समतल $\mathbf{x+2 y-2 z=9}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(2,3,-5)$ समतल $x+2 y-2 z=9$ से दूरी

$=\left|\dfrac{2+2.3-2 \cdot(-5)-9}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{2+6+10-9}{\sqrt{1+4+4}}\right|=\left|\dfrac{9}{\sqrt{9}}\right|=\dfrac{9}{3}=3$

4. बिन्दु $\mathbf{(-6,0,0)}$ समतल $\mathbf{2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}-2=0}$

उत्तर: बिन्दु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ की समतल $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{\mid \mathrm{ax}_1+\mathrm{by}_1+\mathrm{cz}_1+\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

बिन्दु $(-6,0,0)$ समतल $2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}-2=0$ से दूरी

$=\left|\dfrac{2 \cdot(-6)+(-3) \cdot 0+6.0-2}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}}\right|$

$=\left|\dfrac{-12+0+0-2}{\sqrt{4+9+36}}\right|=\left|\dfrac{-14}{\sqrt{49}}\right|=\dfrac{14}{7}=2$

प्रश्रावली A11

1. दिखाएँ कि मूल से जुड़ने वाली रेखा बिंदु $\mathbf{(2,1,1)}$ के लंबवत है बिदुओं द्वारा निर्धारित रेखा $\mathbf{(3,5,-1),(4,3,-1)}$

उत्तर: $O A$ मूल, $O(0,0,0)$ और बिंदु, $A(2,1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा हो।

इसके अलावा, $\mathrm{BC}$ अंक, $\mathrm{B}(3,5,-1)$ और $\mathrm{C}(4,3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा हो।

$\mathrm{OA}$ की दिशा अनुपात 2,1, और 1 और $\mathrm{BC}$ हैं $(4-3)=1,(3-5)=-2,(-1+1)=0$

$\mathrm{OABC}$ के लंबवत है, यदि $\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} c_{2}=0$

$\therefore \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} \mathrm{c}_{2}=2 \times 1+1(-2)+1 \times 0=2-2=0$

इस प्रकार, $\mathrm{OA}, \mathrm{BC}$ से लंबवत है

2. यदि $\mathbf{11, \mathrm{~m} 1, \mathrm{n} 1}$ और $\mathbf{12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2}$ दो परस्पर लंब रेखाओं के दिशा कोसाइन हैं, दिखाएँ कि इन दोनों के लिए लंबवत दिशा के कोसाइन हैं $\mathbf{\mathrm{m}_{1} \mathrm{n}_{2}-\mathrm{m}_{2} \mathrm{n}_{1}, \mathrm{n}_{1}, 1_{2}-\mathrm{n}_{2} 1_{1}, 1, \mathrm{~m}_{2}-1_{2} \mathrm{~m}_{1}}$

उत्तर: यह दिया जाता है कि $11, \mathrm{~m}_{1}, \mathrm{n} 1$ तथा $12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2$ दो परस्पर लंब रेखाओं के दिशा कोसाइन हैं। इसलिए,

$(1)$

$(11)^{2}+(m 1)^{2}+(n 1)^{2}=1$

(2)

$(12)^{2}+(\mathrm{m} 2)^{2}+(\mathrm{n} 2)^{2}=1$.

(3)

दिशा के कोसाइन लाइन जो दिशा कोसाइन लाइन के साथ लम्बवत है $11, \mathrm{~m}_{1}, \mathrm{n} 1$ तथा $12, \mathrm{~m} 2, \mathrm{n} 2$

$111+m m 1+\operatorname{nn} 1=0$

$112+\operatorname{mm} 2+\operatorname{nn} 2=0$

$\Rightarrow(1 /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1))=(\mathrm{m} /(\mathrm{n} 1 / 2-\mathrm{n} 211))=(\mathrm{n} /(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1))$

$\Rightarrow\left(\mathrm{I}^{2} /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}\right)=\left(\mathrm{m}^{2} /(\mathrm{n} 1 \mid 2-\mathrm{n} 211)^{2}\right)=\left(\mathrm{n}^{2} /\left(11 \mathrm{~m} 2-(2 \mathrm{~m} 1)^{2}\right)\right.$

$\Rightarrow\left(1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}\right) /\left((\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 111)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}\right) \ldots$

$1, \mathrm{~m}, \mathrm{n}$ रेखा कि दिशा कोसाइन है

$\therefore 1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}=1$

यह जाना जाता है कि

$\left((11)^{2}+(\mathrm{m} 1)^{2}+(\mathrm{n} 1)^{2}\right)\left((12)^{2}+(\mathrm{m} 2)^{2}+(\mathrm{n} 2)^{2}\right)-(1112+\mathrm{m} 1 \mathrm{~m} 2+\mathrm{n} 1 \mathrm{n} 2)^{2}$

$=(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}$

(1),(2) और (3) से, हम प्राप्त करते है

$\Rightarrow 1.1-0=(\mathrm{m} 1 \mathrm{~m} 2+\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}$ $\Rightarrow(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}+(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}+(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)^{2}=1$

समीकरण (5) और (6) से समीकरण (4) में रखने पर, हम प्राप्त करते है

$\Rightarrow\left(1^{2} /(\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1)^{2}\right)=\left(\mathrm{m}^{2} /(\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211)^{2}\right)=\left(\mathrm{n}^{2} /(11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1)=1\right.$

$\Rightarrow 1=\mathrm{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1, \mathrm{~m}=\mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211, \mathrm{n}=11 \mathrm{~m} 2-12 \mathrm{~m} 1$

इस प्रकार, रेखा के दिशा कोसाइन है

$\operatorname{m} 1 \mathrm{n} 2-\mathrm{m} 2 \mathrm{n} 1, \mathrm{n} 112-\mathrm{n} 211, \mathrm{Ilm} 2-12 \mathrm{~m} 1$

3. उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें जिनकी दिशा अनुपात $\mathbf{a, b, c}$ और है $\mathbf{b-c}$,

$\mathbf{\mathrm{c}-\mathrm{a}, \mathrm{a}-\mathrm{b}}$

उत्तर: दिशा कोसाइन के साथ लाइनों के बीच कोण $Q$

$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ और $\mathrm{b}-\mathrm{c}$,

c-a, $a-b$ द्वारा दिया गया है,

$\operatorname{Cos} Q=\mid\left((a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)) /\left(\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)+\left(\sqrt{(b-c)^{2}}+(c-a) \mid\right.\right.\right.$

$\Rightarrow \operatorname{Cos} Q=0$

$\Rightarrow Q=\cos ^{-1} 0$

$\Rightarrow Q=90^{\circ}$

इस प्रकार, लाइनों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

4. $\mathbf{x}$ - अक्ष के समानांतर एक लाइन के समीकरण का पता देखें और मूल के माध्यम से गुजर रहा है 

उत्तर: $x$ - अक्ष के समानांतर और मूल से गुजरने वाली लाइन $x$ - अक्ष ही है।

$\mathrm{x}$ - अक्ष पर $\mathrm{A}$ बिंदु होने दें. इसलिए, $\mathrm{A}$ के निर्देशांक $a, 0,0$ द्वारा दिए गए हैं,

जहां $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$

$\mathrm{OA}$ की दिशा अनुपात हैं $(\mathrm{a}-0)=\mathrm{a}, 0,0$

$\mathrm{OA}$ का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है,

$(\mathrm{x}-0) / \mathrm{a}=(\mathrm{y}-0), 0=(\mathrm{z}-0) / 0$

$\Rightarrow(\mathrm{x} / 1)=(\mathrm{y} / 0)=(\mathrm{z} / 0)=\mathrm{a}$

इस प्रकार, $x$ - अक्ष के समानांतर और मूल से गुजरने वाली रेखा क समीकरण है

$(\mathrm{x} / 1)=(\mathrm{y} / 0)=(\mathrm{z} / 0)$

5. यदि अंक A, B, C, D हो $\mathbf{(1,2,3),(4,5,7),(4,3,6)}$ और क्रमशः $\mathbf{(2,9,2)}$ के निर्देशांक $\mathbf{\mathrm{AB}}$ और $\mathbf{\mathrm{CD}}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।

उत्तर: A, B, C, D के निर्देशांक है $(1,2,3),(4,5,7),(4,3,6)$ और क्रमशः $(2,9,2)$

$\mathrm{AB}$ की दिशा अनुपात हैं $(4-1)=3,(5-2)=3$, और $(7-3)=4$

$\mathrm{CD}$ की दिशा अनुपात हैं $(2-(-4))=6,(9-3)=6$, और $(2-(-6))=8$

यह देखा जा सकता है, $(\mathrm{a} 1 / \mathrm{a} 2)=(\mathrm{b} 1 / \mathrm{b} 2)=(\mathrm{c} 1 / \mathrm{c} 2)=(1 / 2)$

इसलिए, $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ के समानांतर है।

इस प्रकार, $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ के बीच का कोण या तो $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ है।

6.यदि रेखाएँ $\mathbf{(\mathrm{x}-1) /(-3)=(\mathrm{y}-2)(2 \mathrm{k})=(\mathrm{z}-3) / 2}$ और $\mathbf{(\mathrm{x}-1) / 3 \mathrm{k}=(\mathrm{y}-1) / 1=(\mathrm{z}-6) /(-5)}$ लंबवत हैं, $\mathbf{\mathrm{k}}$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर: रेखाओं के अनुपात की दिशा, $(\mathrm{x}-1) /(-3)=(\mathrm{y}-2)(2 \mathrm{k})=(\mathrm{z}-3) / 2$ और $(\mathrm{x}-1) / 3 \mathrm{k}=(\mathrm{y}-1) / 1=(\mathrm{z}-6) /(-5)$ क्रमशः $3,2 \mathrm{k}, 2$ और $3 \mathrm{k}, 1,-5$ हैं।

यह ज्ञात है कि दिशा अनुपात के साथ दो लाइनें, $a_{1}, b_{1}, \mathrm{c}_{1}$ तथा $a_{2}, b_{2}, \mathrm{c}_{2}$, लंबवत हैं, अगर $\mathrm{aa}_{2}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{1} \mathrm{c}_{2}=0$

$\Rightarrow(-3)(3 k)+2 k \times 1+2(-5)=0$

$\Rightarrow-9 k+2 k-10=0$

$\Rightarrow 7 k=-10$

$\Rightarrow k=(-10 / 7)$

इसलिए, $k=(-10 / 7)$, के लिए दी गई्ं रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

7. विमान से $\mathbf{(1,2,3)}$ और लंबवत गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए r. $\mathbf{(1+2 j-5 k)+9=0}$

उत्तर: बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $\mathrm{r} 1=1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}$

विमान को सामान्य की दिशा अनुपात, $\mathrm{r} .(1+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})+9=0$ है $1,2,-5$

और सामान्य वेक्टर है $\mathrm{N}=\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k}$

किसी बिंदु और लंबित समतल से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया गया है,

$1=\mathrm{r}+\lambda \mathrm{N}, \lambda \in \mathrm{R}$

$\Rightarrow 1=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})$

8. $\mathbf{(a, b, c)}$ और समांतर समतल से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए $\mathbf{r \cdot(i+t+k)=2}$

उत्तर: बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $\mathrm{r} 1=1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k}$

विमान को सामान्य की दिशा अनुपात, $r .(1+2 j-5 k)+9=0$ हैं $1,2,-5$

और सामान्य वेक्टर है $\mathrm{N}=\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k}$

किसी बिंदु और लंबित समतल से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया गया है,

$1=\mathrm{r}+\lambda \mathrm{N}, \lambda \in \mathrm{R}$

$\Rightarrow 1=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-5 \mathrm{k})$

9. लाइनों के बीच सबसे कम दूरी का पता लगाएँ $\mathbf{r=6 i+2 j+2 k+\lambda(1-2 j+2 k)}$ तथा $\mathbf{r=-4 i-k+u(3 i-2 j-2 k)}$

उत्तर: दि गई रेखाएं है $\mathrm{r}=6 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(1-2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ (1)

$\mathrm{r}=-4 \mathrm{i}-\mathrm{k}+u(3 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

यह ज्ञात है कि दो लाइनों के बीच की सबसे छोटी दूरी, $r=a 1+\lambda b_1$ तथा $r=a 2+\lambda b_2$, द्वारा दिया गया है

$\mathrm{d}=\mid(\mathrm{b} 1 \times \mathrm{b} 2) \times(\mathrm{a} 2-\mathrm{a} 1) / / \mathrm{b} 1 \times \mathrm{b} 2 \| \ldots \ldots \ldots \ldots(3)$

की तुलना $\mathrm{r}=\mathrm{a} 1+\lambda \mathrm{b} 1, \mathrm{r}=\mathrm{a} 2+\lambda \mathrm{b} 2$ समीकरणों (1) और $(2)$ से करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{a} 1=6 i+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}$ $b_1=\mathrm{i}-2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k}$ $\mathrm{a} 2=-4 \mathrm{i}-\mathrm{k}$ $\mathrm{b} 2=3 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}$ $\Rightarrow \mathrm{a} 2-\mathrm{a} 1=(-4 \mathrm{i}-\mathrm{k})-(6 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})=10 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}-3 \mathrm{k}$ $\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2\end{array}\right|=(4+4) \hat{\mathrm{i}}-(-2-6) \hat{\mathrm{j}}+(-2+6) \hat{\mathrm{k}}=8 \hat{\mathrm{i}}+8 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}\right|=\sqrt{(8)^{2}+(8)^{2}+(4)^{2}}=12$ $\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}_{1} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}_{2}\right) \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}_{2}-\overrightarrow{\mathrm{a}}_{1}\right)=(8 \hat{\mathrm{i}}+8 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(-10 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})=-80-16-12=-108$

समीकरण (1) में सभी मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{d}=|-108 / 12|=9$

इसलिए, दी गई दो पंक्तियों के बीच की सबसे छोटी दूरी 9 इकाइयां है

10. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(5,1,6)}$ और के माध्यम से है $\mathbf{(3,4,1) \mathrm{YZ}}$ - समतल को पार करता है

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(5,1,6)$ और $(3,4,1)$, द्वारा दी जाती है,

$(\mathrm{x}-5)(3-5)=(\mathrm{y}-1) /(4-1)=(\mathrm{z}-6) /(1-6)$

$\Rightarrow(\mathrm{x}-5)(-2)=(\mathrm{y}-1) / 3=(\mathrm{z}-6)(-5)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=5-2 \mathrm{k}, \mathrm{y}=3 \mathrm{k}+1, \mathrm{z}=6-5 \mathrm{k}$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है $(5-2 \mathrm{k}, 3 \mathrm{k}+1,6-5 \mathrm{k})$

$\mathrm{YZ}$ - विमान का समीकरण $\mathrm{x}=0$ है

चूंकि लाइन $\mathrm{YZ}$ - विमान से होकर गुजरती है,

$5-2 k=0$

$\Rightarrow k=(5 / 2)$

$\Rightarrow 3 \mathrm{k}+1=3 \times(5 / 2)+1=(17 / 2)$

$\Rightarrow 6-5 \mathrm{k}=6-5 \times(5 / 2)=(-13 / 2)$

इसलिए, आवश्यक बिंदु है $(17 / 2),(-13 / 2)$

11. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(5,1,6)}$ और के माध्यम से है $\mathbf{(3,4,1) \mathrm{ZX}}$ - समतल को पार करता है।

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(5,1,6)$ और $(3,4,1)$, द्वारा दी जाती है,

$(\mathrm{x}-5)(3-5)=(\mathrm{y}-1)(4-1)=(\mathrm{z}-6) /(1-6)$

$\Rightarrow(\mathrm{x}-5)(-2)=(\mathrm{y}-1) / 3=(z-6)(-5)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=5-2 \mathrm{k}, \mathrm{y}=3 \mathrm{k}+1, z=6-5 \mathrm{k}$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है ( $5-2 \mathrm{k}, 3 \mathrm{k}+1,6-5 \mathrm{k})$

चूंकि लाइन $Z X$ - विमान से होकर गुजरती है,

$3 \mathrm{k}+1=0$

$\mathrm{k}=(-1 / 3)$

$\Rightarrow 5-2 \mathrm{k}=5-3(-1 / 3)=(17 / 3)$

$\Rightarrow 6-5 \mathrm{k}=6-5(-1 / 3)=(23 / 3)$

इसलिए, आवश्यक बिंदु है ( $(17 / 3), 0,(23 / 3))$

12. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जहां रेखा $\mathbf{(3,4,-5)}$ और $\mathbf{(2,-3,1)}$ के माध्ध्यम से विमान $\mathbf{2 x+y+z=7}$ को पार करता है।

उत्तर: यह ज्ञात है कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण, $(x 1, y 1, z 1)$ और $(x 2, y 2, z 2)$ है, $(x-x 1)) /(x 2-x 1)=(y-y 1) /(y 2-y 1)=(z-z 1)(x 2-z 1)$

बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा, $(3,4,-5)$ और $(2,-3,1)$, द्वारा दी जाती है,

$\dfrac{x-3}{2-3}-\dfrac{y+4}{-3+4}-\dfrac{z+5}{1+5}$

$\Rightarrow \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+4}{1}=\dfrac{z+5}{6}=k$

$\Rightarrow x=3-k, y=k-4, z=6 k-5$

रेखा का कोई भी बिंदु रूप का है $x=3-k, y=k-4, z=6 k-5$,

यह बिंदु विमान पर स्थित है, $2 x+y+z=7$

$\therefore 2(3-k)+(k-4)+(6 k-5)=7$

$\Rightarrow 5 k-3=7$

$\Rightarrow k=2$

इसलिए, आवश्यक बिंदु के निर्देशांक हैं $(3-2,2-4,6 \times 2-5)=(1,-2,7)$

13. बिदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें $\mathbf{(-1,3,2)}$ और प्रत्येक विमान के लंबवत $\mathbf{x+2 y+3 z=5}$ और $\mathbf{3 x+3 y+z=01}$

उत्तर: बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले विमान का समीकरण $(1,3,2)$ है

$\mathrm{a}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{b}(\mathrm{y}-3)+\mathrm{c}(\mathrm{z}-2)=0 \ldots \ldots$

जहां, a,b,c विमान के लिए सामान्य की दिशा अनुपात हैं।

यह ज्ञात है कि दो विमान, $a 1 x+b_1 y+c 1 z+d 1=0$ और $a 2 x+b_2 y+c 2 z+d 2=0$

लंबवत हैं, यदि $\mathrm{ala} 2+\mathrm{b} 1 \mathrm{~b} 2+\mathrm{clc} 2=0$

विमान (1) विमान के लंबवत है, $x+2 y+3 z=5$,

$a .1+b .2+c .3=0$

$\Rightarrow \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}+3 \mathrm{c}=0$

इसके अलावा, विमान (1) विमान के लंबवत है, $3 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0$

$a \cdot 3+b .3+c .1=0$

$\Rightarrow 3 a+3 b+c=0$

समीकरणों (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

$(\mathrm{a} /(2 \times 1-3 \times 3))=(\mathrm{b} /(3 \times 3-1 \times 1))=(\mathrm{c} /(1 \times 3-2 \times 3))$

$\Rightarrow(\mathrm{a} /-7)=(\mathrm{b} / 8)=(\mathrm{c}-3)=\mathrm{k}$

$\Rightarrow \mathrm{a}=-7 \mathrm{k}, \mathrm{b}=8 \mathrm{k}, \mathrm{c}=-3 \mathrm{k}$

समीकरण (1) में $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ और $\mathrm{c}$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए हम प्राप करते हैं

$-7 \mathrm{k}(\mathrm{x}+1)+8 \mathrm{k}(\mathrm{y}-3)-3 \mathrm{k}(\mathrm{z}-2)=0$

$\Rightarrow(-7 \mathrm{x}-7)+(8 \mathrm{y}-24)-3 z+6=0$

$\Rightarrow-7 \mathrm{x}+8 \mathrm{y}-3 z-25=0$

$\Rightarrow 7 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}+25=0$

यह समतल का आवश्यक समीकरण है

14. यदि अंक $\mathbf{(1,1, p)}$ और $\mathbf{(-3,0,1)}$ समतल $\mathbf{r}$ से समतुल्य हों $\mathbf{r(3 i+4 j-12 k)+13=0}$, तो $\mathbf{p}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

बिंदु $(1,1, \mathrm{p})$ के माध्यम से स्थिति वेक्टर है $\mathrm{a} 1=\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{pk}$.

इसी प्रकार, बिंदु $(-3,0,1)$ के माध्यम से स्थिति वेक्टर है $a 2=-4 \mathrm{i}+\mathrm{k}$

दिए गए समतल का समीकरण है $\mathrm{r} .(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13=0$,

यह ज्ञात है कि एक बिंदु के बीच की दूरी जिसकी स्थिति वेक्टर एक है और विमान है, $\mathrm{r}=\mathrm{r} \mathrm{N}=\mathrm{d}$ द्वारा दिया गया है, $\mathrm{D}=|\mathrm{a} \mathrm{N}-\mathrm{d}| /|\mathrm{N}|$

यहाँ, $\mathrm{N}=3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}, \mathrm{d}=-13$

इसलिए, बिंदु $(1,1, p)$ और दिए गए विमान के बीच की दूरी है

$\mathrm{D} 1=|(\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{pk})-(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13| /|3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}|$

$\mathrm{D} 1=|3+4-12 \mathrm{p}+13| /\left(\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-12)^{2}}\right)$

$\mathrm{D} 1=|20-12 \mathrm{p}| / 13 \ldots \ldots \ldots$

इसी तरह, बिंदु $(-3,0,1)$ और दिए गए विमान के बीच की दूरी है

$\mathrm{D} 2=|(-3 \mathrm{i}+\mathrm{k}) \cdot(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k})+13||3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}-12 \mathrm{k}|$

$\Rightarrow \mathrm{D} 2=\mid+9-12+13 /\left(\sqrt{3^{2}+4^{2}-12^{2}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{D} 2=(8 / 13)$

यह दिया जाता है कि आवश्यक विमान और बिदुओं $(1,1, \mathrm{p})$ और $(-3,0,1)$ के बीच की दूरी बराबर है।

$\therefore \mathrm{D}_{1}=\mathrm{D}_{2}$

$\Rightarrow \mid 20-12 \mathrm{p} / 13=(8 / 13)$

$\Rightarrow 12 \mathrm{p}=12 \text { और } 12 \mathrm{p}=28$

$\Rightarrow \mathrm{p}=1 \text { और } \mathrm{p}=(7 / 3)$

15. विमान $\mathbf{\mathrm{r} \cdot(\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=1}$ और $\mathbf{\mathrm{r} .(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}-\mathrm{k})+4=0}$ के समांतर चौराहे की रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें और $\mathbf{\mathrm{x}}$ अक्ष के समानांतरा

उत्तर: दिए गए विमान हैं

$\text { or }(i+j+k)=1$

$\Rightarrow r(1+j+k)-1=0$

$\Rightarrow r-(2 i+3 j-k)+4=0$

इन विमानों के चौराहे की लाइन से गुजरने वाले किसी भी विमान का समीकरण है

${[\mathrm{r}(1+\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{k}})-1]+\lambda[(2 \mathrm{i}+3 \hat{j}-\mathrm{k})+4]-0}$

$\mathrm{r} \cdot[(2 \lambda+1) \mathrm{i}+(3 \lambda+1) \hat{\mathrm{i}}+(1-\lambda) \mathrm{k}]+(4 \lambda+1) 0$

इसकी दिशा अनुपात $(2 \lambda+1),(3 \lambda+1)$ और $(1-\lambda)$ हैं।

आवश्यक विमान $x$ - अक्ष के समानांतर है। इसलिए, इसका सामान्य $x$ - अक्ष के लंबवत है। $\mathrm{x}$ - अक्ष की दिशा अनुपात $1,0,0$ हैं।

$\text { 1. }(2 \lambda+1)+0(3 \lambda+1)+0(1-\lambda)=0$

$\Rightarrow 2 \lambda+1=0$

$\Rightarrow \lambda=(-1 / 2)$

समीकरण (1) में $\lambda=(-1 / 2)$ को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot[(-1 / 2) \dot{j}+(3 / 2) \mathrm{k}]+(-3)=0$

$\Rightarrow \mathrm{r} .(\mathrm{j}-3 \mathrm{k})+6=0$

इसलिए, इसका चौराहे की रेखा से गुजरने समीकरण $y-3 z+6=0$ है यह आवश्यक विमान का समीकरण है।

16. यदि $\mathbf{O P}$ का मूल और निर्देशांक है $\mathbf{(1,2,-3)}$, तो $\mathbf{P}$ और लंबवत $\mathbf{O P}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बिंदुओं के निर्देशांक, $\mathrm{O}$ और $\mathrm{P}$, क्रमशः $(0,0,0)$ और $(1,2,-3)$ हैं।

इसलिए $O P$ की दिशा अनुपात हैं $(1-0)=1,(2-0)=2$ और $(-3-0)=-3$

यह ज्ञात है कि बिंदु $(\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{z} 1)$ से गुजरने वाले विमान का समीकरण है

$\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{x} 1)+\mathrm{b}(\mathrm{y}-\mathrm{y} 1)+\mathrm{c}(\mathrm{z}-\mathrm{z} 1)=0$ जहां, $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ और $\mathrm{c}$ सामान्य के दिशा अनुपात है। यहां, सामान्य की दिशा अनुपात $1,2,-3$ हैं और बिंदु $\mathrm{P}(1,2,-3)$ है।

इस प्रकार, आवश्यक विमान का समीकरण है

$1(x-1)+2(y-2)-3(z+3)=0$

$\Rightarrow x+2 y-3 z-14=0$

17. विमान के समीकरण का पता लगाए जिसमें विमानों के चौराहे की रेखा शामिल है $\mathbf{r(1+2 j+3 k)-4=0$, r. $(2 i+j-k)+5=0}$, और जो विमान के लंबवत $\mathbf{r \cdot(5 i+3 j-6 k)+8=0}$

उत्तर: दिए गए विमानों के समीकरण

दिए गए विमानों के समीकरण हैं

$r(i+2 j+3 k)-4=0$

$r(2 i+j-k)+5=0$

समीकरण (1) और समीकरण (2) में दिए गए विमान के लाइन चौराहे से गुजरने वाले विमान का समीकरण है

${[\mathrm{r} \cdot(1+2 \mathrm{j}+3$ $\mathrm{k})+4]+\lambda[\mathrm{r}-(2$ $\mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k})+5]=0}$

$\mathrm{r}[[(2 \lambda+1) \mathrm{i}+(\lambda+2 \mathrm{j}+(3-\lambda) \mathrm{k}]+(5 \lambda-4)=0$

समीकरण में विमान (3) विमान के लंबवत है,

$\mathrm{r}(5 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k})+8=0$

$\Rightarrow 5(2 \lambda+1)+3(\lambda+2)-6(3-\lambda)=0$

$\Rightarrow 19 \lambda-7=0$

$\Rightarrow \lambda=(7 / 19)$

समीकरण (3) में $\lambda=(7 / 19)$ को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \mathrm{r}[(33 / 19) \mathrm{i}+(45 / 19) \mathrm{j}+(50 / 19) \mathrm{k}](-41 / 19)=0$

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot(33 \mathrm{i}+45 \mathrm{j}+60 \mathrm{k})-41=0$

यह आवश्यक विमान का सदिश समीकरण है।

इस विमान के कार्टेशियन समीकरण को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $\mathrm{r}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk}$ समीकरण (3)।

$(\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+z \mathrm{k}) \cdot(33 \mathrm{i}+45 \mathrm{j}+50 \mathrm{k})-41=0$

$\Rightarrow 33 \mathrm{x}+45 \mathrm{y}+50 \mathrm{z}-41=0$

18. बिंदु की दूरी $\mathbf{(-1,5,-10)}$ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु से ज्ञात करें $\mathbf{\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})}$ और विमान $\mathbf{r .(i-j+k)=5}$

उत्तर: दि गई रेखा का समीकरण है

$\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})$

दिए गए समतल का समीकरण

$r(i-j+k)=5$

समीकरण (1) से $\mathrm{r}$ के मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

${[2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}+\lambda(3 \mathrm{i}+4 \mathrm{j}+2 \mathrm{k})]>(1-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5}$

$\Rightarrow[(3 \lambda+2) \mathrm{i}+(4 \lambda-1) \mathrm{j}+(2 \lambda+2) \mathrm{k}] \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5$

$\Rightarrow(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1 \mathrm{j}+(2 \lambda+2) \mathrm{k}] \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k})=5$

$\Rightarrow(3 \lambda+2)-(4 \lambda-1)+(2 \lambda+2)=5$

$\Rightarrow \lambda=0$

समीकरण (1) में इस मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम रेख्या का समीकरण प्राप्त करते हैं $\mathrm{r}=2 \mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k}$

इसका मतलब है कि रेखा और विमान के चौराहे के बिंदु की स्थिति वेक्टर है $r=2 i-j+2 k$

इससे पता चलता है कि दिए गए रेखा और समतल के चौराहे का बिंदु निर्देशांक द्वारा दिया गया है, $(2,1,2)$ बिन्दु $(1,-5,-10)$ है।

अंक $(2,1,2)$ और $(1,-5,-10)$ है के बीच की दूरी $\mathrm{d}$ है,

$\mathrm{d}=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-5+1)^{2}+(-10-2)^{2}}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$

19. $\mathbf{(1,2,3)}$ और विमानों के समानांतर से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए $\mathbf{\mathrm{r}=(\mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k})=5}$ तथा $\mathbf{\mathrm{r} \cdot(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=6}$

उत्तर: बता दे कि आवश्यक रेखा वेक्टर बी के समानांतर है, $\mathrm{b}=b_1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}$

बिंदु $(1,2,3)$ की स्थिति वेक्टर है $a=i+2 j+3 k$

$(1,2,3)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण और $b$ के द्वारा समानांतर दिया जाता है, $\mathrm{r}=\mathrm{a}+\lambda \mathrm{b}$

$\Rightarrow \mathrm{r} \cdot(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(b_1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}) \ldots$

दिए गए विमानों के समीकरण हैं

$\mathrm{r} \cdot(\mathrm{i}-\mathrm{j}+2 \mathrm{k})=5$

$\mathrm{r} \cdot(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k})=6$

समीकरण में रेखा $(1)$ और समीकरण में विमान (2) समानांतर हैं। इसलिए, समीकरण (2) के विमान के लिए सामान्य और दी गई रेखा लंबवत हैं.

$\Rightarrow(i-j+2 k) \cdot \lambda(b_1 i+b_2 j+b_3 k)=0$

$\Rightarrow \lambda(b_1-b_2+2 b_3)=0$

$\Rightarrow b_1-b_2+2 b_3=0$

उसी प्रकार, $(3 \mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k}) \lambda(\mathrm{b} 1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k})=0$ $\Rightarrow \lambda(3 \mathrm{~b} 1+\mathrm{b} 2+\mathrm{b} 3)=0$ $\Rightarrow 3 \mathrm{~b} 1+\mathrm{b} 2+\mathrm{b} 3=0$

समीकरणों (4) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

$(b_1 /(-1) \times 1-1 \times 2))=(b_2 /(2 \times 3-1 \times 1))=(b_3 /(1 \times 1-3(-1))$

$\Rightarrow(b_1 /(-3))=(b_2 / 5)=(b_3 / 4)$

इसलिए, बी की दिशा अनुपात $-3,5,4$ हैं।

$b=b_1i+b_2 j+b_3 k=-3 i+5 j+4 k$

समीकरण (1) में $b$ के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $\mathrm{r}=(1+2 \mathrm{j}+3 \mathrm{k})+\lambda(-3 \mathrm{i}+5 \mathrm{j}+4 \mathrm{k})$

यह आवश्यक रेखा का समीकरण है।

20. बिंदु $\mathbf{(1,2,4)}$ और दो रेखाओं के लंबवत गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए: $\mathbf{(\mathrm{x}-8) / 3=(\mathrm{y}+19) /(-16)=(\mathrm{z}-10) / 7}$ और $\mathbf{(\mathrm{x}-15) / 3=(\mathrm{y}-29) / 8=(\mathrm{z}-5) /(-5)}$

उत्तर: बता दें कि आवश्यक रेखा वेक्टर $b$ के समानांतर है, $b=b_1 i+b_2 j+b_3 k$ बिन्दु $(1,2,-4)$ की स्थिति वेक्टर है $a=i+2 j-4 k$

$(1,2,4)$ और वेक्टर $b$ के समानांतर से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$\mathrm{r}=\mathrm{a}+\lambda \mathrm{b}$ $\Rightarrow \mathrm{r} .(\mathrm{i}+2 \mathrm{j}-4 \mathrm{k})+\lambda(\mathrm{b} 1 \mathrm{i}+\mathrm{b} 2 \mathrm{j}+\mathrm{b} 3 \mathrm{k}) \ldots$ रेखाओं के समीकरण हैं $(\mathrm{x}-8) / 3=(\mathrm{y}+19) /(-16)=(\mathrm{z}-10) / 7$ $(\mathrm{x}-15) / 3=(\mathrm{y}-29) / 8=(\mathrm{z}-5) /(-5)$

रेखा (1) और (2) एक दूसरे के लम्बवत है

$3 \mathrm{~b} 1-16 \mathrm{~b} 2+7 \mathrm{~b} 3=0$

इसके अलावा, रेखा (1) और रेखा (3) एक-दूसरे के लंबवत हैं।

$3 \mathrm{~b} 1+8 \mathrm{~b} 2-5 \mathrm{~b} 3=0$

समीकरणों (4) और (5) से, हम प्राप करते हैं,

$(b_1 /((-16)(-5)-8 \times 7))=(b_2 /(7 \times 3+3(-5))=(b_3 /(3 \times 8-3(-16))$

$\Rightarrow(b_1 / 2)=(b_2 / 3)=(b_3 / 6)$

इसलिए $\mathrm{b}$ की दिशा अनुपात $2,3,6$ हैं।

$b=2 i+3 j+6 k$

प्रतिस्थापन $b=2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k}$ समीकरण $(1)$ में, हम प्रास करते हैं

$\mathrm{r}=(1+2 \mathrm{j}-4 \mathrm{k})+\lambda(2 \mathrm{i}+3 \mathrm{j}+6 \mathrm{k})$

यह आवश्यक रेखा का समीकरण है।

21. साबित करें कि यदि किसी विमान में $\mathbf{(a, b, c)}$ इंटर है और मूल से $\mathbf{p}$ इकाइयों की दूरी पर है, तो $\mathbf{\left(1 / a^{2}\right)+\left(1 / b^{2}\right)+\left(1 / c^{2}\right)=\left(1 / p^{2}\right)}$

उत्तर:

एक समतल का समीकरण $x, y$ और $z$ अक्षों के साथ क्रमशः $a, b, c$ को स्वीकार करता है, जिसके द्वारा दिया गया है

$(\mathrm{x} / \mathrm{a})+(\mathrm{y} / \mathrm{b})+(\mathrm{z} / \mathrm{c})=1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1)$

मूल से विमान की दूरी $p$ द्वारा दिया जाता है,

$p=\left|\dfrac{\dfrac{0}{a}+\dfrac{0}{b}+\dfrac{0}{c}-1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{b}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{c}\right)^{2}}}\right|$

$\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{y^{2}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}}}$

$\Rightarrow p^{2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{p^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}$

22. दोनों विमानों के बीच की दूरी: $\mathbf{2 x+3 y+4 z=4,4 x+6 y+8 z=12}$

1. 2

2. 4

3. 8

4. $\mathbf{(2 / \sqrt{29})}$

उत्तर: विमानों के समीकरण हैं

$2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 z=4 \mathrm{n} \ldots \ldots \ldots \cdots \cdots$

$4 \mathrm{x}+6 \mathrm{y}+8 \mathrm{z}=12$

$\Rightarrow 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}=6$

यह देखा जा सकता है कि दिए गए विमान समानांतर हैं।

यह ज्ञात है कि दो समानांतर विमानों के बीच की दूरी, $a x+b y+c z=d_1$ और $a x+b y+c z=d_2$, द्वारा दी जाती है,

$D=\left|\dfrac{\mathrm{d}_{2}-\mathrm{d}_{1}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}\right|$

$\mathrm{D}=\dfrac{6-4}{\sqrt{(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}$

$\mathrm{D}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}$

इस प्रकार, लाइनों के बीच की दूरी $\dfrac{2}{\sqrt{29}}$ इकाइयाँ हैं इसलिए,

सही उत्तर $(D)$ है।

23. समतल: $\mathbf{2 x-y+4 z=5,5 x-2.5 y+10 z=6}$

1. सीथा

2. समानांतर

3. एक दूसरे को काटना $y$-अक्ष

4. गुजरता $(0,0,(5 / 4))$

उत्तर: विमानों का समीकरण है

$2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4 z=5$

$5 \mathrm{x}-2.5 \mathrm{y}+10 \mathrm{z}=6$

यह देखा जाता है,

$(\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2)=(2 / 5)$

$(\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2)=(2 / 5)$

$\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2=(2 / 5)$

$\Rightarrow(\mathrm{a}_1 / \mathrm{a}_2)=(\mathrm{b}_1 / \mathrm{b}_2)=(\mathrm{c}_1 / \mathrm{c}_2)$

इसलिए, दिए गए विमान समानांतर हैं। इसलिए, सही उत्तर (B) है।

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 Three Dimensional Geometry In Hindi

Chapter-wise NCERT Solutions are provided everywhere on the internet with an aim to help the students to gain a comprehensive understanding. Class 12 Maths Chapter 11 solution Hindi medium is created by our in-house experts keeping the understanding ability of all types of candidates in mind. NCERT textbooks and solutions are built to give a strong foundation to every concept. These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 in Hindi ensure a smooth understanding of all the concepts including the advanced concepts covered in the textbook.

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 in Hindi medium PDF download are easily available on our official website (vedantu.com). Upon visiting the website, you have to register on the website with your phone number and email address. Then you will be able to download all the study materials of your preference in a click. You can also download the Class 12 Maths Three Dimensional Geometry solution Hindi medium from Vedantu app as well by following the similar procedures, but you have to download the app from Google play store before doing that. 

NCERT Solutions in Hindi medium have been created keeping those students in mind who are studying in a Hindi medium school. These NCERT Solutions for Class 12 Maths Three Dimensional Geometry in Hindi medium pdf download have innumerable benefits as these are created in simple and easy-to-understand language. The best feature of these solutions is a free download option. Students of Class 12 can download these solutions at any time as per their convenience for self-study purpose.

These solutions are nothing but a compilation of all the answers to the questions of the textbook exercises. The answers/solutions are given in a stepwise format and very well researched by the subject matter experts who have relevant experience in this field. Relevant diagrams, graphs, illustrations are provided along with the answers wherever required. In nutshell, NCERT Solutions for Class 12 Maths in Hindi come really handy in exam preparation and quick revision as well prior to the final examinations.