NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 3 - In Hindi

प्रश्नावली. 3.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए:

(a) \[24\]

उत्तर: \[24\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }24\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }12\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }8\text{ }=\text{ }4\text{ }\times \text{ }6\text{ }=\text{ }6\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }12\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }24\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[24\] के सभी गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }12,\text{ }24\] हैं।  

(b) \[15\]

उत्तर: \[15\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }15\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }5\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }15\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[15\] के सभी गुणनखंड \[=1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }15\] हैं।

(c) \[21\]

उत्तर: \[21\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }21\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }7\text{ }=\text{ }7\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }21\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[21\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }3,\text{ }7,\text{ }21\] हैं।

(d) \[27\]

उत्तर: \[27\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }27\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }9\text{ }=\text{ }9\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }27\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[27\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }3,\text{ }9,\text{ }27\] हैं। 

(e) \[12\]

उत्तर: \[12\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }12\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }6\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }4\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }6\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }12\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[12\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }12\] हैं।

(f) \[20\]

उत्तर: \[20\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }20\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }10\text{ }=\text{ }4\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }5\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }10\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }20\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[20\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }10,\text{ }20\] हैं।

(g) \[18\]

उत्तर: \[18\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }18\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }9\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }6\text{ }=\text{ }6\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }9\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }18\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[18\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }9,\text{ }18\] हैं।

(h) \[23\]

उत्तर: \[23\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }23\text{ }=\text{ }23\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[23\] के सभी गुणनखंड \[1\] और \[23\] हैं।

(i) \[36\]

उत्तर: \[36\text{ }=\text{ }1\text{ }\times \text{ }36\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }18\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }12\text{ }=\text{ }4\text{ }\times \text{ }9\text{ }=\text{ }6\text{ }\times \text{ }6\text{ }=\text{ }9\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }12\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }18\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }36\text{ }\times \text{ }1\]

इस तरह, \[36\] के सभी गुणनखंड \[1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }9,\text{ }12,\text{ }18,\text{ }36\] हैं।

2. निम्नलिखित संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए:

(a) \[,\text{ }5\]

उत्तर: \[5\text{ }\times \text{ }1\text{ }=\text{ }5,\text{ }5\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }10,\text{ }5\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }15,\text{ }5\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }20,\text{ }5\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }25\]

इस तरह\[,\text{ }5\] के प्रथम पाँच गुणज \[5,\text{ }10,\text{ }15,\text{ }20,\text{ }25\] हैं।

(b) \[8\]

उत्तर: \[8\text{ }\times \text{ }1\text{ }=\text{ }8,\text{ }8\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }16,\text{ }8\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }24,\text{ }8\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }32,\text{ }8\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }40\]

इस तरह, \[8\] के प्रथम पाँच का गुणज \[8,\text{ }16,\text{ }24,\text{ }32,\text{ }40\] हैं।

(c) \[9\]

उत्तर: \[9\text{ }\times \text{ }1\text{ }=\text{ }9,\text{ }9\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }18,\text{ }9\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }27,\text{ }9\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }36,\text{ }9\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }45\]

इस तरह, \[9\] के प्रथम पाँच गुणज \[9,\text{ }18,\text{ }27,\text{ }36,\text{ }45\] हैं।

3. स्तंभ \[\mathbf{1}\] की संख्याओं का स्तंभ \[\mathbf{2}\] के साथ मिलान कीजिए:

उत्तर: (i) b, (ii) d, (iii) a, (iv) f, (v) e

4. \[\mathbf{9}\] के सभी गुणज ज्ञात कीजिए जो \[\mathbf{100}\] से कम हों।

उत्तर: \[\mathbf{9}\] के सभी गुणज जो \[\mathbf{100}\] से कम हैं:

$9\text{ }\times \text{ }1\text{ }=\text{ }9,\text{ }9\text{ }\times \text{ }2\text{ }=\text{ }18,\text{ }9\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }27,\text{ }9\text{ }\times \text{ }4\text{ }=\text{ }36,\text{ }9\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }45,\text{ }9\text{ }\times \text{ }6\text{ }=\text{ }54,\text{ }9\text{ }\times \text{ }7\text{ }=\text{ }63,\text{ }9\text{ }\times \text{ }8\text{ }=\text{ }72,\text{ } \\ $

$9\text{ }\times \text{ }9\text{ }=\text{ }81,\text{ }9\text{ }\times \text{ }10\text{ }=\text{ }90,\text{ }9\text{ }\times \text{ }11\text{ }=\text{ }99 \\ $

इस प्रकार \[\mathbf{9}\] के सभी गुणज \[9,\text{ }18,\text{ }27,\text{ }36,\text{ }45,\text{ }54,\text{ }63,\text{ }72,\text{ }81,\text{ }90,\text{ }99\] हैं। 

प्रश्नावली. 3.2

1. बताइए कि किन्हीं दो संख्याओं का योग सम होता है या विषम होता है, यदि वे दोनों 

(a) विषम संख्याएँ हों  (b) सम संख्याएँ हों।

उत्तर: \[\left( a \right)\text{ }1\text{ }+\text{ }3\text{ }=\text{ }4,\text{ }3\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }8\]

उपर्युक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि जब दो विषम संख्याओं को जोड़ा जाता है तो उनका योगफल सम संख्या प्राप्त होता है।

(b) \[2\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }6,\text{ }4\text{ }+\text{ }6\text{ }=\text{ }10\]

उपर्युक्त उदाहरण में जब दो सम संख्याओं को जोड़ा गया है तो उसका योगफल भी सम संख्या ही प्राप्त होता है।

2. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है और कौन सा असत्य है:

1. तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।

2. दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।

3. तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।

4. यदि किसी सम संख्या को \[2\] से भाग दिया जाय, तो भागफल सदैव विषम प्राप्त होता है।

5. सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

6. अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।

7. दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।

8. केवल \[2\] ही एक सम अभाज्य संख्या है।

9. सभी सम संख्याएँ, भाज्य संख्याएँ हैं।

10. दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।

उत्तर: (a) असत्य (b) सत्य (c) सत्य (d)असत्य (e) असत्य (f) असत्य (g) असत्य (h) सत्य (i) असत्य (j) सत्य।

3. संख्या \[13\] और \[31\] अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में दो अंक \[1\]और \[3\] हैं। \[100\] तक की संख्याओं में ऐसे अन्य सभी युग्म ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \[17\] और \[71,\text{ }19\]और \[91,\text{ }79\]और \[97\], \[100\] तक की संख्याओं में अभीष्ट युग्म हैं। 

4. \[\mathbf{20}\] से छोटी सभी अभाज्य और भाज्य संख्याएँ अलग-अलग लिखिए।

उत्तर: \[\mathbf{20}\] से छोटी अभाज्य संख्याएँ- \[2,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }7,\text{ }11,\text{ }13,\text{ }17,\text{ }19\]

\[\mathbf{20}\] से छोटी भाज्य संख्याएँ- \[4,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }10,\text{ }12,\text{ }14,\text{ }16,\text{ }18\]

5. \[\mathbf{1}\] से \[\mathbf{10}\] के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या लिखिए।

उत्तर: \[\mathbf{1}\]से \[\mathbf{10}\] के बीच में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या \[7\] है।

6. निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) \[44\]

उत्तर: \[44{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}41\]

(b) \[36\]

उत्तर: \[36\text{ }=\text{ }5\text{ }+\text{ }31\] 

(c) \[24\]

उत्तर: \[24\text{ }=\text{ }5\text{ }+\text{ }19\]

(d) \[18\]

उत्तर: \[18\text{ }=\text{ }7\text{ }+\text{ }11\]

7. अभाज्य संख्याओं के ऐसे तीन युग्म लिखिए जिसका अंतर \[\mathbf{2}\] हो।

उत्तर: (टिप्पणी : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 हो अभाज्य युग्म कहलाती हैं।)

\[3\] और \[5, \text{ }5\]और \[7, \text{ }11\] और  \[13\]

8. निम्नलिखित में से कौन-कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं?

\[\left( a \right)\text{ }23\text{ }\left( b \right)\text{ }51\text{ }\left( c \right)\text{ }37\text{ }\left( d \right)\text{ }26\]

उत्तर: \[\left( a \right)23\]और \[(c)\text{ }37\] दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।

9. \[\mathbf{100}\] से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच में कोई अभाज्य संख्या न हो।

उत्तर: \[90,\text{ }91,\text{ }92,\text{ }93,\text{ }94,\text{ }95,\text{ }96\] \[\mathbf{100}\] से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ हैं, जिनके बीच में कोई भी अभाज्य संख्या नहीं है। 

10. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) \[21\]

उत्तर: \[21\text{ }=\text{ }3\text{ }+\text{ }5\text{ }+\text{ }13\] 

(b) \[31\]

उत्तर: \[31\text{ }=\text{ }7\text{ }+\text{ }11\text{ }+\text{ }13\] 

(c) \[53\]

उत्तर: \[53{\rm{ }} = {\rm{ }}13{\rm{ }} + {\rm{ }}17{\rm{ }} + {\rm{ }}23\]

(d) \[61\]

उत्तर: \[\;61{\rm{ }} = {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}31\]

11. \[20\] से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग \[5\] से विभाज्य हो। (संकेत : \[3+7\text{ }=\text{ }10\])

उत्तर: \[10\text{ }=\text{ }3\text{ }+\text{ }7\]

$20\text{ }=\text{ }13\text{ }+\text{ }7 \\ $

$20\text{ }=\text{ }1\text{ }+\text{ }19 \\ $

$20\text{ }=\text{ }3\text{ }+\text{ }17 \\ $

$30\text{ }=\text{ }17\text{ }+\text{ }13 \\ $

12. निम्न में रिक्त स्थानों को भरिए:

1. वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों एक            संख्या कहलाती है।

2. वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों एक            संख्या कहलाती है।

3. \[1\] न तो           है न तो           है। 

4. सबसे छोटी अभाज्य संख्या            है।

5. सबसे छोटी भाज्य संख्या            है।

6. सबसे छोटी सम संख्या            है।

उत्तर: (a) अभाज्य  (b) भाज्य   (c) अभाज्य, भाज्य  (d) \[2\] (e) \[4\] (f) \[2\]

प्रश्नावली. 3.3 

1. विभाज्यता की जाँच के नियमों का प्रयोग करते हुए, पता कीजिए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ \[\mathbf{2}\] से विभाज्य हैं; \[\mathbf{3}\] से विभाज्य है; \[\mathbf{4}\] से विभाज्य है; \[\mathbf{5}\] से विभाज्य है; \[\mathbf{5}\] से विभाज्य है; \[\mathbf{6}\]से विभाज्य है; \[\mathbf{7}\]से विभाज्य है; \[\mathbf{8}\]से विभाज्य है; \[\mathbf{9}\] से विभाज्य है; \[\mathbf{10}\] से विभाज्य है; या \[\mathbf{11}\] से विभाज्य है; (हाँ या नहीं कहिए):

उत्तर:

2. विभाज्यता की जाँच की नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में सी कौन सी संख्याएँ \[\mathbf{4}\] से विभाज्य हैं और कौन सी संख्याएँ \[\mathbf{8}\] से विभाज्य हैं:

(a) \[572\]

उत्तर: \[572\], इसके अंतिम दो अंक \[4\]से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[572\], इसके अंतिम के तीन अंक \[8\] से विभाजित नहीं हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य नहीं है।

(b) \[726352\]

उत्तर: \[726352\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

$726352$, इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य है।

(c) \[5500\]

उत्तर: \[5500\],इसके अंतिम दो अंक \[4\]से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[5500\], इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित नहीं हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य नहीं है।

(d) \[6000\]

उत्तर: \[6000\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[6000\], इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य है।

(e) \[12159\]

उत्तर: \[12159\], यह संख्या न तो \[4\] से और न \[8\] से विभाज्य है।

(f) \[14560\]

उत्तर: \[14560\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[14560\], इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य है।

(g) \[21084\]

उत्तर: \[21084\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[21084\] इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित नहीं हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य नहीं है।

(h) \[31795072\]

उत्तर: \[31795072\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

31795072, इसके अंतिम तीन अंक \[8\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य है।

(i) \[1700\]

उत्तर: \[1700\], इसके अंतिम दो अंक \[4\] से विभाजित हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[4\] से विभाज्य है।

\[1700\], इसके अंतिम के तीन अंक \[8\] से विभाजित नहीं हो रहे हैं, अर्थात ये संख्या \[8\] से विभाज्य नहीं है।

(j) \[2150\]

उत्तर: \[2150\], यह संख्या न तो \[4\] से और न \[8\] से विभाज्य है।

3. विभाज्यता की जाँच की नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में सी कौन सी संख्याएँ \[\mathbf{6}\] से विभाज्य है:

(a) \[297144\]

उत्तर: \[297144\], यह संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य होगी।

जो संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य वो \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य होती है।

(b) \[1258\]

उत्तर: \[1258\],यह संख्या \[2\] से तो विभाज्य है लेकिन \[3\] से नहीं, इसलिए यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य नहीं होगी।

(c) \[4335\]

उत्तर: \[4335\], यह संख्या \[3\] से तो विभाज्य है लेकिन \[2\] से नहीं, इसलिए यह संख्या \[\mathbf{6}\] से विभाज्य नहीं होगी।

(d) \[61233\]

उत्तर: \[61233\], यह संख्या \[3\] से तो विभाज्य है लेकिन \[2\] से नहीं, इसलिए यह संख्या \[\mathbf{6}\] से विभाज्य नहीं होगी।

 (e) \[901352\]

उत्तर: \[901352\] , यह संख्या \[2\] से तो विभाज्य है लेकिन \[3\] से नहीं, इसलिए यह संख्या \[\mathbf{6}\]से भी विभाज्य नहीं होगी।

(f) \[438750\]

उत्तर: \[438750\], यह संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य होगी।

(g) \[1790184\]

उत्तर: \[1790184\]: यह संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य होगी।

(h) \[12583\]

उत्तर: \[12583\], यह संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य नहीं है, तो यह संख्याएँ \[\mathbf{6}\] से विभाज्य नहीं होगी।

(i) \[639210\]

उत्तर: \[639210\], यह संख्या \[2\] और \[3\] दोनों से विभाज्य है, तो यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य होगी।

(j) \[17852\]

उत्तर: \[17852\], यह संख्या \[2\] से तो विभाज्य है लेकिन \[3\] से नहीं, इसलिए यह संख्या \[\mathbf{6}\] से भी विभाज्य नहीं होगी।

4. विभाज्यता की जाँच की नियमों द्वारा ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में सी कौन सी संख्याएँ \[\mathbf{11}\] से विभाज्य है:

(a) 5445

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=5\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }9\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=4\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }9\]

दोनों के योग का अंतर \[=9\text{ }\text{ }9\text{ }=\text{ }0\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[0\] है, तो यह संख्या \[11\]से विभाज्य होगी।

(संकेत: यदि किसी संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[0\] हो या \[11\] से विभाज्य हो, तो वह संख्या \[11\] से विभाज्य होती है।)

(b) \[10824\]

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=1\text{ }+\text{ }8\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }13\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=2\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }2\]

दोनों के योग का अंतर \[=13\text{ }-\text{ }2\text{ }=\text{ }11\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[11\]है, तो यह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

(c) \[7138965\]

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=5\text{ }+\text{ }9\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }7\text{ }=\text{ }24\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=6\text{ }+\text{ }8\text{ }+\text{ }1\text{ }=\text{ }15\]

दोनों के योग का अंतर \[=24\text{ }\text{ }15\text{ }=\text{ }9\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[9\]है, तो यह संख्या \[11\] से विभाज्य नहीं होगी।

(d) \[70169308\]

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=8\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }6\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }17\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=0\text{ }+\text{ }9\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }7\text{ }=\text{ }17\]

दोनों के योग का अंतर \[=17\text{ }-\text{ }17\text{ }=\text{ }0\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[0\] है, तो यह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

(e) \[10000001\]

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=1\text{ }+\text{ }0\text{ }+\text{ }0\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }1\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=0\text{ }+\text{ }0\text{ }+\text{ }0\text{ }+\text{ }1\text{ }=\text{ }1\]

दोनों के योग का अंतर \[=1\text{ }-\text{ }1\text{ }=\text{ }0\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[0\] है, तो यह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

(f) \[901153\]

उत्तर: विषम स्थानों के अंकों का योग \[=3\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }0\text{ }=\text{ }4\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=5\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }9\text{ }=\text{ }15\]

दोनों के योग का अंतर \[=15\text{ }-\text{ }4\text{ }=\text{ }11\]

उपर्युक्त परिणामस्वरूप, इस संख्या के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[11\] है, तो यह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

5. निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में सबसे छोटा अंक तथा सबसे बड़ा अंक लिखिए, जिससे संख्या \[3\] से विभाज्य हो;

(a) \[\_\text{ }6724\]

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर किसी संख्या के अंकों का योग \[3\] का गुणज हो ,तो वह संख्या \[3\] से विभाज्य होती है।

इसलिए, सबसे छोटा अंक \[2\]लगाने पर: \[26724\text{ }=\text{ }2\text{ }+\text{ }6\text{ }+\text{ }7\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }21\]

सबसे बड़ा अंक \[8\] लगाने पर \[86724\text{ }=\text{ }8\text{ }+\text{ }6\text{ }+\text{ }7\text{ }+\text{ }2\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }27\]

दोनों संख्या \[3\] से विभाज्य होगी।

(b) \[4765\_2\]

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर किसी संख्या के अंकों का योग \[3\] का गुणज हो,तो वह संख्या \[3\] से विभाज्य होती है।

इसलिए, सबसे छोटा अंक \[0\] लगाने पर = \[476502\text{ }=\text{ }4\text{ }+\text{ }7\text{ }+\text{ }6\text{ }+\text{ }5\text{ }+\text{ }0\text{ }+\text{ }2\text{ }=\text{ }24\]

सबसे बड़ा अंक \[9\] लगाने पर \[476592\text{ }=\text{ }4\text{ }+\text{ }7\text{ }+\text{ }6\text{ }+\text{ }5\text{ }+\text{ }9\text{ }+\text{ }2\text{ }=\text{ }33\]

दोनों संख्या \[3\] से विभाज्य होगी।

6. निम्नलिखित में रिक्त स्थानों में ऐसा अंक लिखिए ताकि संख्या 11 से विभाज्य हो:

\[\left( a \right)\text{ }92-389\]

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर यदि किसी संख्याओं के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[11\] है, तो वह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

इसलिए, अंक \[8\] डालने पर \[928389\]

विषम स्थानों के अंकों का योग \[=9\text{ }+\text{ }3\text{ }+\text{ }2\text{ }=\text{ }14\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=8\text{ }+\text{ }8\text{ }+\text{ }9\text{ }=\text{ }25\]

अब दोनों के योग का अंतर \[=25\text{ }-\text{ }14\text{ }=\text{ }11\]

तो ये संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

(b) \[8-9484\]

उत्तर: विभाज्यता की जाँच की नियमों के आधार पर यदि किसी संख्याओं के दाएँ से विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर \[11\] है, तो वह संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

इसलिए, अंक \[6\] डालने पर \[869484\]

सम स्थानों के अंकों का योग \[=6\text{ }+\text{ }4\text{ }+\text{ }4\text{ }=\text{ }14\]

विषम स्थानों के अंकों का योग \[=8\text{ }+\text{ }9\text{ }+\text{ }8\text{ }=\text{ }25\]

अब दोनों संख्याओं के योग का अंतर \[=25\text{ }-\text{ }14\text{ }=\text{ }11\]

तो ये संख्या \[11\] से विभाज्य होगी।

प्रश्नावली. 3.4 

1. निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(a) \[20\] और \[28\]

उत्तर: \[20\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }10,\text{ }20\]

\[28\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }7,\text{ }14,\text{ }28\]

इसतरह \[20\] और \[28\] के सार्व गुणनखंड \[1,\text{ }2\]और \[4\] हैं।

(b) \[15\] और \[25\]

उत्तर: \[15\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }15\]

\[25\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }25\]

इस तरह \[15\] और \[25\] के सार्व गुणनखंड \[1\]और \[5\] हैं।

(c) \[35\] और \[50\]

उत्तर: \[35\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }7,\text{ }35\]

\[50\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }5,\text{ }10,\text{ }25,\text{ }50\]

इस प्रकार, \[35\] और \[50\] के सार्व गुणनखंड \[1\] और \[5\] हैं।

(d) \[56\] और \[120\]

उत्तर: \[56\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }7,\text{ }14,\text{ }28,\text{ }56\]

\[120\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }10,\text{ }12,\text{ }15,\text{ }20,\text{ }24,\text{ }30,\text{ }40,\text{ }60,\text{ }120\]

इस प्रकार \[56\] और \[120\] के सार्व गुणनखंड \[1\], \[2\] और \[4\] हैं।

2. निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(a) \[4,\text{ }8\]और \[12\]

उत्तर: \[4\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4\]

\[8\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }8\]

\[12\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }12\]

इस प्रकार \[,\text{ }4,\text{ }8,\text{ }12\] के सार्व गुणनखंड \[1,\text{ }2\] और \[4\] हैं।

(b) \[5,\text{ }15\] और \[25\]

उत्तर: \[5\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5\]

\[15\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }15\]

\[25\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }25\]

इस प्रकार, \[5,\text{ }15\]और \[25\] के सार्व गुणनखंड \[1\] और \[5\] हैं।

3. निम्न के प्रथम तीन सार्व गुणज ज्ञात कीजिए:

(a) \[6\]और \[8\]

उत्तर: \[6\] के गुणज \[=6,\text{ }12,\text{ }18,\text{ }24,\text{ }30,\text{ }36,\text{ }42,\text{ }48,\text{ }54,\text{ }60,\text{ }66,\text{ }72,\text{ }\ldots \ldots ..\]

\[8\] का गुणज \[=8,\text{ }16,\text{ }24,\text{ }32,\text{ }40,\text{ }48,\text{ }56,\text{ }64,\text{ }72,\ldots \ldots .\]

इसी तरह, \[6\] और \[8\] के प्रथम तीन सार्व गुणज \[24,\text{ }48\]और \[72\] हैं।

(b) \[12\] और \[18\]

उत्तर: \[12\] के गुणज \[=12,\text{ }24,\text{ }36,\text{ }48,\text{ }60,\text{ }72,\text{ }84,\text{ }96,\text{ }108,\ldots \ldots .\]

\[18\] के गुणज \[=18,\text{ }36,\text{ }54,\text{ }72,\text{ }90,\text{ }108,\ldots \ldots \]

इस तरह, \[12\] और \[18\] के प्रथम तीन सार्व गुणज \[36,\text{ }72\]और \[108\] हैं।

4. \[\mathbf{100}\] से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिखिए जो \[\mathbf{3}\]और \[\mathbf{4}\] की सार्व गुणज हैं।

उत्तर: \[\mathbf{3}\] के गुणज \[=3,\text{ }6,\text{ }9,\text{ }12,\text{ }15,\text{ }18,\text{ }21,\text{ }24,\text{ }27,\text{ }30,\text{ }33,\text{ }36,\text{ }39,\text{ }42,\text{ }45,\text{ }48,\text{ }51,\text{ }54,\text{ }57,\]\[60,\text{ }63,\text{ }66,\text{ }69,\text{ }72,\text{ }75,\text{ }78,\text{ }81,\text{ }84,\text{ }87,\text{ }90,\text{ }93,\text{ }96,\text{ }99\]

\[\mathbf{4}\] के गुणज \[=4,\text{ }8,\text{ }12,\text{ }16,\text{ }20,\text{ }24,\text{ }28,\text{ }32,\text{ }36,\text{ }40,\text{ }44,\text{ }48,\text{ }52,\text{ }56,\text{ }60,\text{ }64,\text{ }68,\text{ }72,\text{ }76,\text{ }80,\]\[84,\text{ }88,\text{ }92,\text{ }96,\text{ }98\]

\[\mathbf{100}\] से छोटे \[\mathbf{3}\] और \[\mathbf{4}\] के सार्व गुणज \[12,\text{ }24,\text{ }36,\text{ }48,\text{ }60,\text{ }72,\text{ }84\]और \[96\] हैं।

5. निम्नलिखित मे से कौन-सी संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?

(a) \[18\]और \[35\]

उत्तर: \[18\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }6,\text{ }9,\text{ }18\]

\[35\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }7,\text{ }35\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसका सार्व गुणनखंड केवल \[1\] हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।

\[18\] और \[35\] का सार्व गुणनखंड सिर्फ \[1\] है।

इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

(b) \[15\] और \[37\]

उत्तर: \[15\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }15\]

\[37\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }37\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल \[1\] हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।

\[15\] और \[37\] का सार्व गुणनखंड सिर्फ \[1\] है।

इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

(c) \[30\]और \[415\]

उत्तर: \[30\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }10,\text{ }15,\text{ }30\]

\[415\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }\ldots ..,\text{ }415\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसका सार्व गुणनखंड केवल \[1\] हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

\[30\] और \[415\] के सार्व गुणनखंड \[1\] और \[5\] हैं।

अर्थात, इसके दो सार्व गुणनखंड है, इसलिए ये सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं है।

(d) \[17\]और \[68\]

उत्तर: \[17\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }17\]

\[68\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }17,\text{ }34,\text{ }68\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल \[1\] हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।

\[17\]और \[68\] के सार्व गुणनखंड \[1\]और \[17\] हैं।

अर्थात, इसके दो सार्व गुणनखंड है इसलिए ये सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं है।

(e) \[216\] और \[215\]

उत्तर: \[216\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }9,\ldots \ldots \text{ }216\]

\[215\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }5,\text{ }\ldots \ldots \text{ },\text{ }215\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है। \[15\] और \[37\] का सार्व गुणनखंड सिर्फ \[1\] है।

इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

(f) \[81\]और \[16\]

उत्तर: \[81\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }3,\text{ }9,\text{ }27,\text{ }81\]

\[16\] के गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }8,\text{ }16\]

हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल \[1\] हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

\[81\] और \[16\] का सार्व गुणनखंड सिर्फ \[1\] है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

6. एक संख्या \[\mathbf{5}\] और \[\mathbf{12}\] से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से वह संख्या सदैव विभाजित होगी?

उत्तर: वह संख्या \[5\text{ }\times \text{ }12\text{ }=\text{ }60\] है, जो \[60\] से विभाजित होगी।

7. एक संख्या \[\mathbf{12}\] से विभाज्य। और कौन सी संख्याएँ हैं जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी?

उत्तर: \[\mathbf{12}\] का गुणनखंड \[=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }12\]

और, यह संख्या \[1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4\]और \[6\] से विभाज्य होगी।

प्रश्नावली. 3.6

1. निम्नलिखित संख्याओं का म. स. ज्ञात कीजिए:

(a) \[18,\text{ }48\]

उत्तर: \[18\] के गुणनखंड \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\]

\[48\] के गुणनखंड \[=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\]

चूँकि, दो या उससे अधिक संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड इन संख्याओं का महत्तम समावर्तक(म. स. या HCF) कहलाता है।

इसलिए, \[18,\text{ }48\] का म. स. \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }6\] 

(b) \[30,\text{ }42\]

उत्तर: \[30\] के गुणनखंड \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\]

\[42\] के गुणनखंड \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }7\]

चूँकि, दो या उससे अधिक संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड इन संख्याओं का महत्तम समावर्तक(म. स. या HCF) कहलाता है।

इसलिए, \[30\] और \[42\] का म. स. \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }6\]

(c) \[18,\text{ }60\]

उत्तर: \[18\] के गुणनखंड = 2 × 3 × 3

\[60\] के गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 5

चूँकि, दो या उससे अधिक संख्याओं के सार्व गुणनखंडों में सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड इन संख्याओं का महत्तम समावर्तक(म. स. या HCF) कहलाता है।

इसलिए, \[18\] और \[60\] का म. स. \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }6\] 

(d) \[27,\text{ }63\]

उत्तर: \[27\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\]

\[63\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }7\]

इसलिए, \[27,\text{ }63\] का म. स. \[=3\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }9\] 

(e) \[36,\text{ }84\]

उत्तर: \[36\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\]

\[84\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }7\]

इसलिए, \[36,\text{ }84\] का म. स. \[=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }12\] 

(f) \[34,\text{ }102\]

उत्तर: \[34\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }17\]

\[102\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }17\]

इसलिए, \[34,\text{ }102\] का म. स. \[=2\text{ }\times \text{ }17\text{ }=\text{ }34\]

(g) \[70,\text{ }105,\text{ }175\]

उत्तर: \[70\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }7\]

$105\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }7 \\ $

$175\text{ }=\text{ }5\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }7 \\ $

इसलिए, \[70,\text{ }105\]और \[175\] का म. स. \[=5\text{ }\times \text{ }7\text{ }=\text{ }35\] 

(h) \[91,\text{ }112,\text{ }49\]

उत्तर: \[91\text{ }=\text{ }7\text{ }\times \text{ }13\]

$112\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }7 \\ $

$49\text{ }=\text{ }7\text{ }\times \text{ }7 \\ $

इसलिए, \[91,\text{ }112,\text{ }49\] का म. स. \[=7\]

(i) \[18,\text{ }54,\text{ }81\]

उत्तर: \[18\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\]

$54\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3 \\ $

$81\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3 \\ $

इसलिए, \[18,\text{ }54,\text{ }81\] का म. स. \[=3\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }9\]

(j) \[12,\text{ }45,\text{ }75\]

उत्तर: \[12\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\]

$45\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5 \\ $

$75\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5 \\ $

इसलिए, \[12,\text{ }45,\text{ }75\] का म. स. \[=3\]

2. निम्न का म. स. क्या है?

1. दो क्रमागत संख्याएँ

2. दो क्रमागत सम संख्याएँ

3. दो क्रमागत विषम संख्याएँ

उत्तर: \[\left( a \right)\text{ }1,\text{ }\left( b \right)\text{ }2,\text{ }\left( c \right)\text{ }1\]

3. अभाज्य गुणनखंडन द्वारा दो सह-भाज्य \[\mathbf{4}\]और \[\mathbf{15}\] का म. स. इस प्रकार ज्ञात किया गया:

\[\mathbf{4}\text{ }=\text{ }\mathbf{2}\text{ }\times \text{ }\mathbf{2}\]और \[\mathbf{15}\text{ }=\text{ }\mathbf{3}\text{ }\times \text{ }\mathbf{5}\]

चूंकि इन गुणनखंडों में कोई अभाज्य सार्व गुणनखंड नहीं है, इसलिए \[\mathbf{4}\] और \[\mathbf{15}\] का म. स. शून्य है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं तो सही म. स. क्या है?

उत्तर: नहीं ,यह कथन सही नहीं है । हम जानते हैं कि \[1\] वह संख्या है जो सभी संख्याओं का गुणनफल होती है। इसलिए सही म. स. \[1\] है।

प्रश्नावली. 3.7

1. रेणु \[\mathbf{75}\] किग्रा. और \[\mathbf{69}\] किग्रा. भारों वाली दो खाद की बोरियाँ खरीदती हैं। भार के उस बट्टे का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो दोनों बोरियों के भारों को पूरा-पूरा माप ले।

उत्तर: बट्टे का अधिकतम मान जानने के लिए हमें दोनों संख्याओं का म. स. निकालना होगा

$75\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5 \\ $

$69\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }23 \\ $

दी गई संख्याओं का म. स. \[=3\]

इसलिए भार के बट्टे का अधिकतम मान \[3\] किग्रा. है। 

2. तीन लड़के एक ही स्थान से एक साथ कदम उठाकर चलना प्रारंभ करते हैं। उनके कदमों की माप क्रमश: \[\mathbf{63}\] सेमी, \[\mathbf{70}\] सेमी और \[\mathbf{77}\] सेमी है। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी तय करे वह दूरी पूरे-पूरे कदमों से तय हो जाए?

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का ल. स. निकालना होगा।

दी गई संख्याओं का ल. स. \[=7\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }11\text{ }=\text{ }6,930\] 

अतः, वह न्यूनतम दूरी जो पूरे-पूरे कदमों से तय हो जाए, 6930 सेमी है। 

3. किसी कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: \[\mathbf{825}\] सेमी\[,\text{ }\mathbf{675}\] सेमी और \[\mathbf{450}\] सेमी है। ऐसा सबसे लंबा फीता(tape) ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं(dimension) को पूरा-पूरा माप ले।

उत्तर: फीते की लंबाई जानने के लिए हमें दी गई संख्याओं का म. स. निकालना होगा।

$825\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }11 \\ $

$ 675\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5 \\ $

$ 450\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5 \\ $

म. स. \[=3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ 5 }=\text{ }75\]

इसलिए फीते की लंबाई \[75\] सेमी है।  

4. \[\mathbf{6},\text{ }\mathbf{8}\]और \[\mathbf{12}\] से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए?

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का ल. स. निकालना होगा

ल .स. \[\text{ }=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }24\]

5. \[\mathbf{8},\text{ }\mathbf{10}\]और \[\mathbf{12}\] से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए?

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का ल. स. निकालना होगा

ल. स. \[=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }120\]

6. तीन विभिन्न चौराहे की ट्रैफिक लाईट क्रमश: प्रत्येक \[\mathbf{48}\] सेकेंड, \[\mathbf{72}\] सेकेंड और \[\mathbf{108}\] सेकेंड बाद बदलती हैं। यदि वे एक साथ प्रात: \[\mathbf{7}\] बजे बदलती हैं, तो वे पुन: एक साथ कब बदलेंगी?

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का ल. स. निकालना होगा

ल. स. \[=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }432\]

\[432\] सेकंड \[=432\text{ }\div \text{ }60\] मिनट \[=7\] मिनट \[12\] सेकंड

यानि ट्रैफिक लाईट दोबारा \[7\]बजकर \[7\] मिनट \[12\] सेकंड पर एक साथ बदलेंगी।

7. तीन टैंकरों में क्रमश: \[\mathbf{403}\]लीटर, \[\mathbf{434}\] लीटर और \[\mathbf{465}\] लीटर डीज़ल है। उस बर्तन की अधिकतम धारिता ज्ञात कीजिए जो इन तीनों टैंकरों के डीज़ल को पूरा-पूरा माप देगा।

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का म. स. निकालना होगा।

$403\text{ }=\text{ }13\text{ }\times \text{ }31 \\ $

$434\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }7\text{ }\times \text{ }31 \\ $

$465\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }31 \\ $

म. स. \[=31\]

इसलिए, बर्तन की अधिकतम धारिता \[=31\]लीटर

8. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे \[\mathbf{6},\text{ }\mathbf{15},\text{ }\mathbf{18}\] से भाग देने पर प्रत्येक दशा में \[\mathbf{5}\] शेष रहे।

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्याओं का ल. स. निकालना होगा।

$6\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3 \\ $

$15\text{ }=\text{ }3\text{ }\times \text{ }5 \\ $

$18\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3 \\ $

ल. स. \[=2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }5\text{ }=\text{ }90\]

इसलिए अभीष्ट संख्या \[=90\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }95\]

9. चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो \[\mathbf{18},\text{ }\mathbf{24}\] और \[\mathbf{32}\] से विभाज्य है।

उत्तर: इसके लिए हमें दी गई संख्या का ल. स. निकालना होगा।

$18\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3 \\ $

$24\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3 \\ $

$32\text{ }=\text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2 \\ $

ल. स. \[=2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }2\text{ }\times \text{ }3\text{ }\times \text{ }3\text{ }=\text{ }288\]

चार अंकों की सबसे छोटी संख्या \[=1,000\]

यदि \[1000\] को \[288\] से भाग दिया जाये तो शेष \[136\] आता है।

\[288\text{ }\text{ }136\text{ }=\text{ }152\]

इसलिए अभीष्ट संख्या \[=1000\text{ }+\text{ }152\text{ }=\text{ }1152\]

10. निम्नलिखित संख्याओं का ल. स. ज्ञात कीजिए जिसमें एक संख्या सदैव \[\mathbf{3}\] का गुणज है।

1. \[\mathbf{9}\]और \[\mathbf{4}\]

2. \[\mathbf{12}\]और \[\mathbf{5}\]

3. \[\mathbf{6}\]और \[\mathbf{5}\]

4. \[\mathbf{15}\]और \[\mathbf{4}\]

प्राप्त ल. स. में एक सामान्य गुणधर्म का अवलोकन कीजिए। क्या ल. स. प्रत्येक स्थिति में दोनों संख्याओं का गुणनफल है? क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो संख्याओं का ल. स. सदैव  का गुणज है?

उत्तर: दिये गये हर जोड़े की संख्याएँ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए इनका ल. स. दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। हर जोड़ी में एक संख्या \[\mathbf{3}\] का गुणज है। इसलिए ल. स. भी \[\mathbf{3}\] का गुणज है।

11. निम्नलिखित संख्याओं का ल. स. ज्ञात कीजिए जिसमें एक संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड है:

${(a)\,5,{\rm{ }}20}\\$

${(b)\,6,{\rm{ }}18}\\$

${(c)\,12,{\rm{ }}48}\\$

${(d)\,9,{\rm{ }}45}$

प्राप्त परिणामों से आप क्या देखते हैं?

उत्तर: \[\left( a \right)\text{ }20\text{ }\left( b \right)\text{ }18\text{ }\left( c \right)\text{ }48\text{ }\left( d \right)\text{ }45\] चूँकि बड़ी संख्या, छोटी संख्या का गुणज है, इसलिए ल. स. बड़ी संख्या के बराबर है।

NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 3 Playing with Numbers in Hindi

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