NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 - In Hindi

प्रश्नावली 10.1 

1. कारतीय तल मे एक त्रिभुज जिसके शीर्ष $( - 4,5),(0,7),(5, - 5),( - 4, - 2)$ है। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है कारतीय तल मे त्रिभुज के शीर्ष A,B,C,D जो $( - 4,5),(0,7),(5, - 5),( - 4, - 2)$ क्रमश है। 

यह चतुर्भुज ABCD को दो हिस्सों मे बाटा गया है, त्रिभुज ABC और त्रिभुज ABCD

ABCD का क्षेत्रफल = ABC का क्षेत्रफल + ACD का क्षेत्रफल 

हमे ज्ञात है की त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\dfrac{{{1}}}{{{2}}}\mid {{{x}}_{{1}}}\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{3}}}} \right){{ + }}{{{x}}_{{2}}}\left( {{{{y}}_{{3}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right){{ + }}{{{x}}_{{3}}}\left( {{{{y}}_{{1}}}{{ - }}{{{y}}_{{2}}}} \right)\mid $

ABC का क्षेत्रफल = $\dfrac{1}{2}| - 4(7 + 5) + 0( - 5 - 5) + 5(5 - 7)|\;\; = \;\;\dfrac{1}{2}| - 4(12) + 0 + 5( - 2)|$

 = $\dfrac{1}{2}| - 48 + 0 - 10| = \dfrac{1}{2}| - 58|\; = \;\dfrac{{58}}{2}\; = \;29$ वर्ग इकाई 

ACD का क्षेत्रफल = $\dfrac{1}{2}| - 4( - 5 + 2) + 5( - 2 - 5) + ( - 4)(5 + 5)|\; = \;\dfrac{1}{2}| - 4( - 3) + 5( - 7) - 4(10)|$

 = $\dfrac{1}{2}|12 - 35 - 40|\; = \;\dfrac{1}{2}| - 63|\; = \;\dfrac{{63}}{2}$ वर्ग इकाई

ABCD का क्षेत्रफल = $\dfrac{{63}}{2} + 29\; = \;\dfrac{{121}}{2}$

2. ${{2a}}$ भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y- अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मूल बिन्दु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लेते है त्रिभुज ABC मे BC y= अक्ष है और उसका मध्य बिन्दु मूल बिन्दु है। 

दिया गया है कि त्रिभुज ABC समबाहु है, 

AB = BC = CA =2a और OC = a (O मध्य बिन्दु है)

समकोण त्रिभुज OAC मे, ${{A}}{{{C}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{O}}{{{A}}^{{2}}}{{ + O}}{{{C}}^{{2}}}\; \Rightarrow \;{{{(2a)}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{{a}}^{{2}}}{{ + (OA}}{{{)}}^{{2}}}$

$\Rightarrow {{4}}{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{a}}^{{2}}}{{ = (OA}}{{{)}}^{{2}}}$

$\Rightarrow {{OA = }}\sqrt {{{3}}{{{a}}^{{2}}}} {{ = }}\sqrt {{3}} {{a}}$

A के निर्देशांक होंगे ${{(}}\sqrt {{3}} {{a,0)}}$

अतः त्रिभुज ABC के निर्देशांक = ${{(}}\sqrt {{3}} {{a,0),(0,a),(0, - a)}}$

3. P${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ और Q${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$ के बीच की दूरी कीजिए जब 

(i) PQ, y – अक्ष के समांतर है 

उत्तर: दिया गया है P${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ और Q${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$

हमे ज्ञात हु कि जब कोई y- अक्ष के समांतर होती है तो ${{{x}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{{x}}_{{2}}}$

अतः PQ की दूरी = $\sqrt {{{\left( {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}}$

= $\sqrt {{{0 + }}{{\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\sqrt {{{\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\left| {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right|$

(ii) PQ, y – अक्ष के समांतर है 

उत्तर: हमे ज्ञात हु कि जब कोई x- अक्ष के समांतर होती है तो ${{{y}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{{y}}_{{2}}}$

अतः PQ की दूरी = $\sqrt {{{\left( {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}}$

= $\sqrt {{{0 + }}{{\left( {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\sqrt {{{\left( {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)}^{{2}}}} \;{{ = }}\;\left| {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right|$

4. x- अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो $(7,6),(3,4)$ बिन्दुओ से समान दूरी पर है। 

उत्तर: मान लीते है कि P ${{(k,0)}}$ एक बिन्दु है जिसकी दूरी $(7,6),(3,4)$ के बराबर है। 

$\sqrt {{{{{(7 - k)}}}^{{2}}}{{ + (6 - 0}}{{{)}}^{{2}}}} {{ = }}\sqrt {{{{{(3 - k)}}}^{{2}}}{{ + (4 - 0}}{{{)}}^{{2}}}}$

$\Rightarrow \;{{{(7 - k)}}^{{2}}}{{ + (6 - 0}}{{{)}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{{(3 - k)}}^{{2}}}{{ + (4 - 0}}{{{)}}^{{2}}}$

$\Rightarrow \;{{49 + }}{{{k}}^{{2}}}{{ - 14k + 36}}\;{{ = }}\;{{9 + }}{{{k}}^{{2}}}{{ - 6k + 16}}$

$\Rightarrow  - 8{{k}}\; = \;25 - 85\; \Rightarrow \;{{k}}\; = \;\dfrac{{60}}{8}\; = \;\dfrac{{15}}{2}$

अतः P के निर्देशांक होंगे $(\dfrac{{15}}{2},0)$

5. रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु और P $(0,4)$ और B $(8,0)$ बिन्दुओ को मिलने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु से जाती है। 

उत्तर: P $(0,4)$ और B $(8,0)$ बिन्दुओ को मिलने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक होंगे 

${{x}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{(8 + 0)}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{4,y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{0 - 4}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - 2}}$

P $(0,4)$ और B $(8,0)$ बिन्दुओ को मिलने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक होंगे ${{(4, - 2)}}$

हमे ज्ञात है कि रेखाखण्ड ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ , ${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$ से बनने वाली रेखा की ढाल = $\dfrac{{{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}}}$

रेखखण्ड ${{(4, - 2)}}$ और ${{(0,0)}}$ से बनने वाली रेखा की ढाल = $\dfrac{{ - 2 - 0}}{{4 - 0}}\; = \;\dfrac{{ - 1}}{2}$

6. पाइथागोरस प्रेमय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिंदी $(4,4),(3,5),( - 1, - 1)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है। 

उत्तर: दिया गया है $(4,4),(3,5),( - 1, - 1)$

AB की ढाल = $\dfrac{{{{5 - 4}}}}{{{{3 - 4}}}}\;{{ = }}\;{{ - 1}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{1}}}$

BC की ढाल = $\dfrac{{{{5 + 1}}}}{{{{3 + 1}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{6}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{2}}}$

CA की ढाल = $\dfrac{{{{4 + 1}}}}{{{{4 + 1}}}}\;{{ = }}\;{{1}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{3}}}$

यहा ${{{m}}_{{3}}}{{ \times }}{{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{ - 1}}$ है 

अतः AB, BC के लम्बवत है A, B, C क्रमश $(4,4),(3,5),( - 1, - 1)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

7. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y- अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया $30^\circ$ का कोण बनती है। 

उत्तर: अगर एक रेखा y-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया $30^\circ$ का कोण बनती है तो x-अक्ष की धन दिशा से ${30^\circ } + {90^\circ }\; = \;{120^\circ }$ का कोण बनाएगी। 

अतः उस रेखा की ढाल = ${{tan12}}{{{0}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;{{ - }}\sqrt {{3}}$

8. ${{x}}$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु $({{x}}, - 1),(2,1),(4,5)$ संरेख है। 

उत्तर: दिया गया है कि बिंदी A, B, C क्रमश $({{x}}, - 1),(2,1),(4,5)$ संरेख है।

AB की ढाल = BC की ढाल 

$\Rightarrow \;\dfrac{{{{1 + 1}}}}{{{{2 - x}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{5 - 1}}}}{{{{4 - 2}}}}$

$\Rightarrow \;2 - {{x}}\; = \;1$

$\Rightarrow \;{{x}}\; = \;1$

9. दूरी सूत्र के प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु ${{( - 2, - 1),(4,0),(3,3),( - 3,2)}}$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है। 

उत्तर: मान लेते है कि एक चतुर्भुज के शीर्ष A, B, C, D क्रमश ${{( - 2, - 1),(4,0),(3,3),( - 3,2)}}$ है 

AB की ढाल = $\dfrac{{0 + 1}}{{4 + 2}}\; = \;\dfrac{1}{6}$

BC की ढाल = $\dfrac{{3 - 0}}{{3 - 4}}\; = \; - 3$

CD की ढाल = $\dfrac{{2 - 3}}{{ - 3 - 3}}\; = \;\dfrac{1}{6}$

DA की ढाल = $\dfrac{{ - 1 - 2}}{{ - 2 + 3}}\; = \; - 3$

AB की ढाल = CD की ढाल 

BC की ढाल = DA की ढाल 

A, B, C, D एक समांतर त्रिभुज के शीर्ष है।

10. x- अक्ष और ${{(3, - 1),(4, - 2)}}$ बिन्दुओ को मिलने वाली रेखा के बीच के कोण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: A, B क्रमश ${{(3, - 1),(4, - 2)}}$ बिन्दुओ को मिलने वाली रेखा की ढाल = $\dfrac{{ - 2 + 1}}{{4 - 3}}\; = \; - 1$

मान लेते है कि अक्ष और के बीच का कोण $\theta$ है। 

$\tan \theta \; = \; - 1\;$

$\Rightarrow \;\theta \; = \;{180^\circ } - {45^\circ }\; = \;{35^\circ }$

11. एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण का स्पर्शज्या $\dfrac{1}{3}$ है तो रेखाओ की ढाल ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लेते है कि ${{{m}}_{{1}}}\;{{,}}\;{{{m}}_{{2}}}$ रेखाओ की ढाल है 

${{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{2}}{{{m}}_{{2}}}$

दिया गया है कि ${{tan}}\theta \;{{ = }}\;\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \;\dfrac{{{{{m}}_{{1}}}{{ - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + }}{{{m}}_{{1}}}{{{m}}_{{2}}}}}\; = \;\dfrac{1}{3} \Rightarrow \;\dfrac{{{{2}}{{{m}}_{{2}}}{{ - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{\left( {{{{m}}_{{2}}}} \right)}^{{2}}}}}\; = \;\dfrac{1}{3}\; \Rightarrow \;\dfrac{{{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{\left( {{{{m}}_{{2}}}} \right)}^{{2}}}}}\; = \;\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \;{{1 + 2}}{\left( {{{{m}}_{{2}}}} \right)^{{2}}}\;{{ = }}\;{{3}}{{{m}}_{{2}}}\; \Rightarrow \;\left( {{{{m}}_{{2}}}{{ - 1}}} \right)\left( {{{2}}{{{m}}_{{2}}}{{ - 1}}} \right)\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow \;{{{m}}_{{2}}}{{ = }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{ , }}{{{m}}_{{2}}}{{ = 1}}$

$\therefore {{{m}}_{{1}}}{{ = 1}}\;{{,}}\;{{{m}}_{{2}}}{{ = 2}}$

12. एक रेखा ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ और ${{(h,k)}}$ से जाती है। यदि रेखा की ढाल ${{m }}$ है तो दिखाइए कि ${{k - }}{{{y}}_{{1}}}{{ = m}}\left( {{{h - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)$ 

उत्तर: दिया गया है कि रेखा ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ और ${{(h,k)}}$ से जाती है और उस रेखा की ढाल ${{m }}$ है

अतः उस रेखा की ढाल ${{m }}$ = $\dfrac{{{{k - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{h - }}{{{x}}_{{1}}}}}$

$\Rightarrow \;\left( {{{k}} - {{{y}}_1}} \right)\; = \;{{m}}\left( {{{h}} - {{{x}}_1}} \right)$

13. यदि तीन बिन्दु $({{h}},0),({{h}},{{k}}),(0,{{k}})$ एक रेखा पर है तो दिखाइए की $\dfrac{{{a}}}{{{h}}}{{ + }}\dfrac{{{b}}}{{{k}}}{{ = 1}}$

उत्तर: दिया गया है कि बिन्दु A, B, C क्रमश $({{h}},0),({{h}},{{k}}),(0,{{k}})$ एक रेखा पर है। 

AB की ढाल = $\dfrac{{{{b - 0}}}}{{{{a - h}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{b}}}{{{{a - h}}}}$

BC की ढाल = $\dfrac{{{{k - b}}}}{{{{0 - a}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{k - b}}}}{{{{ - a}}}}$

AB की ढाल = BC की ढाल

$\dfrac{{{b}}}{{{{a - h}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{k - b}}}}{{{{ - a}}}}\; \Rightarrow \;{{ - ab}}\;{{ = }}\;{{ak - ab - hk + hb}}$

$\Rightarrow \;{{ak + hb}}\;{{ = }}\;{{hk}}$

$\Rightarrow \;\dfrac{{{a}}}{{{h}}}{{ + }}\dfrac{{{b}}}{{{k}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

14. जनसंख्या और वर्ष के निमनलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए। रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 मे जनसंख्या कितनी होगी?

उत्तर: स्पष्टतया A $(1985,92)$ , B $(1995,97)$ और P ${{(2010,y)}}$ संरेखीय है 

AB की ढाल = BP की ढाल 

$\Rightarrow \;\dfrac{{97 - 92}}{{1995 - 1985}}\; = \;\dfrac{{{{y - 97}}}}{{{{2010 - 1995}}}}\; \Rightarrow \;\dfrac{1}{2}\; = \;\dfrac{{{{y - 97}}}}{{{{15}}}}$

$\Rightarrow \;{{2y}} - 194\; = \;15$

$\Rightarrow \;{{y}}\; = \;\dfrac{{209}}{2} = \;\;104.5$ 

2010 मे जनसंख्या = $104.5$

प्रश्नावली 10.2 

1 से 8 तक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है:

1. ${{x}}$ और ${{y}}$ अक्षों के समीकरण लिखिए। 

उत्तर: ${{x}}$ – अक्ष का समीकरण, ${{y  =  0 }}$

${{y}}$ - अक्ष का समीकरण, ${{x   =  0 }}$

2. ढाल $\dfrac{1}{2}$ और बिन्दु $( - 4,3)$ से जाने वाली। 

उत्तर: यह ढाल ${{m }}$= $\dfrac{1}{2}$ और बिन्दु $( - 4,3)$ है। 

बिन्दु ढाल सूत्र से, ${{(y - 3) = }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{(x - ( - 4))}}$

${{2y - 6 = x + 4}}$

अभीष्ट समीकरण,

${{2y - x - 10}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{x - 2y + 10}}\;{{ = }}\;{{0}}$

3. बिन्दु $(0,0)$ से जाने वाली और ढाल ${{m}}$ वाली। 

उत्तर: यह बिन्दु $(0,0)$ और ढाल ${{m}}$ = ${{m}}$ है 

बिन्दु ढाल सूत्र से, ${{(y - 0)}}\;{{ = }}\;{{m(x - 0)}}$

अभीष्ट समीकरण, ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx }}$

4. बिन्दु ${{(2,2}}\sqrt 3 )$ से जाने वाली और ${{x}}$ - अक्ष से ${{75}}^\circ$ के कोण पर झुकी हुई। 

उत्तर: बिन्दु ${{(2,2}}\sqrt 3 )$ और रेखा ${{x}}$ - अक्ष से ${{75}}^\circ$ के कोण पर झुकी हुई।

ढाल ${{m}}$ = $\tan {75^\circ }\; = \;\tan (45 + 30)$ = $\dfrac{{\tan 45 + \tan 30}}{{1 - \tan 45.\tan 30}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 - 1 \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}}$

$\Rightarrow \;{{(y - 2}}\sqrt {{3}} {{)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\sqrt {{3}} {{ + 1}}}}{{\sqrt {{3}} {{ - 1}}}}{{(x - 2)}}$

$\Rightarrow \;{{(}}\sqrt {{3}} {{ - 1)(y - 2}}\sqrt {{3}} {{)}}\;{{ = }}\;{{(}}\sqrt {{3}} {{ + 1)(x - 2)}}$

$\Rightarrow \;{{(}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y - (}}\sqrt {{3}} {{ - 1)2}}\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;{{(}}\sqrt {{3}} {{ + 1)x - (}}\sqrt {{3}} {{ + 1) \times 2}}$

$\Rightarrow \;{{(}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y - (}}\sqrt {{3}} {{ + 1)x}}\;{{ = }}\;{{(}}\sqrt {{3}} {{ - 1)2}}\sqrt {{3}} {{ - (}}\sqrt {{3}} {{ + 1)}}{{.2}}$

$\Rightarrow \;(\sqrt 3  - 1){{y - (}}\sqrt {{3}} {{ + 1)x}}\;{{ = }}\;{{6 - 2}}\sqrt {{3}} {{ - 2}}\sqrt {{3}} {{ - 2}}$

$\Rightarrow \;(\sqrt 3 {{ - 1)y - (}}\sqrt {{3}} {{ + 1)x}}\;{{ = }}\;{{4 - 4}}\sqrt {{3}} $

अशिष्ट समीकरण,  ${{(}}\sqrt {{3}} {{ + 1)x - (}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y}}\;{{ = }}\;{{4(}}\sqrt {{3}} {{ - 1)}}$

5. मूल बिन्दु के बाई और ${{x}}$ - अक्ष को $3$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल- $2$ वाली। 

उत्तर: गेसा कपो ${{( - 3,0)}}$ से पास कर रहा है। 

ढाल ${{m  =   - 2 }}$ है 

समीकरण के बिन्दु ढाल रूप से हमलोग जानते है कि $\left( {{{y - }}{{{y}}_{{0}}}} \right)\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{0}}}} \right)$

अभीष्ट समीकरण, ${{y + 2x + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

6. मूल बिन्दु के ऊपर और ${{y}}$ - अक्ष को $2$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और ${{x}}$ की धन दिशा के साथ ${{30}}^\circ$ का कोण बनाने वाली 

उत्तर: इसमे रेखा ${{x}}$ - अक्ष के साथ ${{30}}^\circ$ का कोण बना रही है। 

ढाल ${{m}}\; = \;\tan {30^\circ }\; = \;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

${{y}}$ - अक्ष को $2$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद कर रही है इसलिए ${{c}}\;{{ = }}\;{{2}}$

समीकरण के ढाल अन्तः खंड रूप से जानते है की ${{y }}\;{{ =  mx  + }}\;{{c}}$

इसका समीकरण, ${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{x + 2}}$ होगा 

अभीष्ट समीकरण, $\sqrt {{3}} {{y - x - 2}}\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;{{0}}$

7. बिन्दुओ $( - 1,1)\;,\;(2, - 4)$ से जाते हुए। 

उत्तर: ढाल ${{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{1 - ( - 4)}}}}{{{{ - 1 - 2}}}}{{ = }}\;\;{{ - }}\dfrac{{{5}}}{{{3}}}$

समीकरण के ढाल बिन्दु रूप से हम जानते है कि 

$\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)$

$\Rightarrow \;{{(y - 1)}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{5}}}{{{3}}}{{(x - ( - 1))}}$

अभीष्ट समीकरण ${{3y + 5x + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$

8. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी $5$ - इकाई और लंब, धन ${{x}}$ - अक्ष से ${{30}}^\circ$ का कोण बनती है। 

उत्तर: इसमे लम्ब ${{x}}$ - अक्ष के साथ ${{30}}^\circ$ का कोण बना रही है

$\sin {30^0}\; = \;\dfrac{1}{2}$

$\cos {30^\circ }\; = \;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

लम्बिक दूरी = $5$ - इकाई                                  

हमलोग जानते है कि $\Rightarrow \;{{xcos3}}{{{0}}^{{^\circ }}}{{ + ysin3}}{{{0}}^{{^\circ }}}\; = \;5$         

$\Rightarrow \;\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{x + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{y - 5}}\; = \;0$

अभीष्ट समीकरण, $\sqrt {{3}} {{x + y - 10}}\;{{ = }}\;{{0}}$

9. PQR के शीर्ष P, Q, R क्रमश $(2,1),( - 2,3),(4,5)$ है। शीर्ष R से जाने वाली मध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: 

M का ${{x }}$निर्देशांक = $\dfrac{{{{{x}}_{{1}}}{{ + }}{{{x}}_{{2}}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2 + ( - 2)}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{0}}$

M का ${{y }}$ निर्देशांक = $\dfrac{{{{{y}}_{{1}}}{{ + }}{{{y}}_{{2}}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{1 + 3}}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{2}}$

MR का समीकरण दो बिन्दु रूप से, $\Rightarrow \;{{(y - 2)}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{5 - 2}}}}{{{{4 - 0}}}}} \right){{(x - 0)}}$

अभीष्ट समीकरण, ${{4y - 3x}}\;{{ = }}\;{{8}}$

10. $( - 3,5)$ से होकर जाने वाली और बिन्दु $(2,5),( - 3,6)$ से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: माना A, B क्रमश $(2,5),( - 3,6)$ और ढाल ${{m }}$ = $( - 3,5)$ और n, AB के बीच बिन्दु है 

AB का ढाल = ${{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{6 - 5}}}}{{{{ - 3 - 2}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{ - 5}}}}$

mn का ढाल = $- \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{ - 5}}}}\; = \;5$

mn का समीकरण ढाल बिन्दु रूप से हमलोग जानते है की 

$\left( {{{y - }}{{{y}}_{{0}}}} \right)\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{0}}}} \right)$

 $\Rightarrow \;{{(y - 5)}}\;{{ = }}\;{{5(x - ( - 3))}}$

अभीष्ट समीकरण, ${{y - 5x}}\;{{ = }}\;{{20}}$

11. एक रेखा $(1,0),(2,3)$ बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा खंड पर लंब है तथा उसको $1:{{n}}$ के अनुपाद मे विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: 

रेखा की ढाल = $\dfrac{{{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{3 - 0}}}}{{{{2 - 1}}}}\;{{ = }}\;{{3}}$

${{h}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{n \times 1 + 2x1}}}}{{{{n + 1}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{n + 2}}}}{{{{n + 1}}}}$

${{k}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{n \times 0 + 3 \times 1}}}}{{{{n + 1}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{{n + 1}}}}$

इस रेखा के लम्बवत रेखा की ढाल = ${{ - }}\dfrac{1}{3}$

लम्बवत रेखा का समीकरण जो ${{(h,k)}}$ से पास कर रही है 

ढाल बिन्दु रूप से हमलोग जानते है कि

$\left( {{{y - }}{{{y}}_{{0}}}} \right)\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{0}}}} \right)$

$\Rightarrow \;\left( {{{y - }}\dfrac{{{3}}}{{{{n + 1}}}}} \right)\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{3}}}\left( {{{x - }}\dfrac{{{{n + 2}}}}{{{{n + 1}}}}} \right)$

 $\Rightarrow \;{{3}}\left( {{{y - }}\dfrac{{{3}}}{{{{n + 1}}}}} \right)\;{{ = }}\;{{ - 1}}\left( {{{x - }}\dfrac{{{{n + 2}}}}{{{{n + 1}}}}} \right)$

अभीष्ट समीकरण, ${{(1 + n)x + 3(1 + n)y}}\;{{ = }}\;{{n + 11}}$

12. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों से समान अतः खंड काटती है और बिन्दु $(2,3)$ से जाती है। 

उत्तर: 

रेखा $(2,3)$  से पास कर रही है और निर्देशांकों से सामान अन्तः खंड काट रही है, हम अन्तः खंड रूप से जानते है कि $\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

यह ${{a }}\;{{ = }}\;{{b }}\;{{ = }}\;{{k }}$

$\Rightarrow \;{{x + y}}\;{{ = }}\;{{k }}$

प्रश्न से, $\Rightarrow \;2{{ + 3}}\;{{ = }}\;{{k}}\;{{ = }}\;{{5  }}$

अभीष्ट समीकरण, ${{x + y}}\;{{ = }}\;{{5}}$

13. बिन्दु $(2,2)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अतः खंडों का योग $9$ है। 

उत्तर: हमलोग जानते है, अन्तः खंड रूप से प्रश्न से

${{a + b}}\;{{ = }}\;{{9}}$

${{b}}\;{{ = }}\;{{9 - a}}$ 

रेखा $(2,2)$ से पास से पास कर रही है और ${{b}}$ का मान ऊपर के समीकरण मे रखने पर 

$\Rightarrow \;\dfrac{{{2}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{2}}}{{{{9 - a}}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

$\Rightarrow \;{{{a}}^{{2}}}{{ - 9a + 18}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow \;({{a - 6)(a - 3)}}\;{{ = }}\;0\;$

${{a = 6, a}}\;{{ = }}\;{{3}}\;$

${{b}}\;{{ = }}\;{{3,}}\;{{b}}\;{{ = }}\;{{6}}$

रेखा का समीकरण $\dfrac{{{x}}}{{{6}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{3}}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{6}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

अभीष्ट समीकरण ${{x + 2y - 6}}\;{{ = }}\;{{0, 2x + y - 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

14. बिन्दु $(0,2)$ से जाने वाली और धन ${{x}}$ - अक्ष से $\dfrac{{2\pi }}{3}$ के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समांतर और ${{y}}$ - अक्ष को मूल बिन्दु से ${{2 }}$ इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: रेखा $\dfrac{{2\pi }}{3}$ कोण बना रही है 

ढाल = ${{m}}\;{{ = }}\;{{tan}}\left( {\dfrac{{{{2\pi }}}}{{{3}}}} \right)\;{{ = }}\;{{ - }}\sqrt {{3}}$

रेखा $(0,2)$ से पास कर रही है इसलिए ढाल बिन्दु रूप से हमलोग जानते है कि 

$\left( {{{y}} - {{{y}}_0}} \right)\; = \;{{m}}\left( {{{x}} - {{{x}}_0}} \right)$

$\Rightarrow \;{{y}} - 2\; = \; - \sqrt 3 ({{x}} - 0)$

अभीष्ट समीकरण ${{y + }}\sqrt {{3}} {{x - 2}}\;{{ = }}\,{{0}}$

इस रेखा के समांतर वाली रेखा का ढाल = $- \sqrt {{3}}$

वह ${{y}}$ - अक्ष को मूल बिन्दु से ${{2 }}$ इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती है ${{c}}\;{{ = }}\;{{ - 2}}$

समांतर रेखा का समीकरण होगा ${{y}}\;{{ = }}\;{{ - }}\sqrt {{3}} {{x + ( - 2)}}$

अभीष्ट समीकरण ${{y + }}\sqrt {{3}} {{x + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$

15. मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाल गया लंब रेखा से बिन्दु ${{( - 2,9)}}$ पर मिलता है, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: 

${{(0,0),( - 2,9)}}$ से पास करने वाली रेखा ढाल = ${{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}}}$ = $\dfrac{{9 - 0}}{{ - 2 - 0}}\; = \; - \dfrac{9}{2}$

लम्ब रेखा का ढाल = $\dfrac{2}{9}$

लम्ब रेखा का समीकरण ढाल बिन्दु रूप से हमलोग जानते है कि $\left( {{{y - }}{{{y}}_{{0}}}} \right)\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{0}}}} \right) \Rightarrow \;{{(y - 9)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{2}}}{{{9}}}{{(x - ( - 2))}}$

अशिष्ट समीकरण $2x - 9y + 85\; = \;0$

16. तांबे की छड़ की लंबाई L (सेमी है) सेलसिउस ताप C का रेखिक फलन है। एक प्रयोग मे यदि L = ${{124}}{{.942 }}$ जन C = ${{20 }}$ और L = ${{125}}{{.134 }}$ जब C = ${{110 }}$हो तो L को C के पदों मे व्यक्त कीजिए। 

उत्तर: प्रश्न से 

जब C = ${{20 }}$ तब L = ${{124}}{{.942 }}$

जब C = ${{110 }}$ तब L = ${{125}}{{.134 }}$

माना कि C, ${{x}}$ - अक्ष पर और L, ${{y }}$ - अक्ष पर है तब ${{ (20, 124}}{{.942), (110, 125}}{{.34) }}$ रेखिक समीकरण को संतुष्ट करेगी, ऊपर के दोनों बिन्दु से पास करती हुई रेखा का समीकरण दो बिन्दु समीकरण रूप से हमलोग जानते है कि 

$\left(y-y_{0}\right)=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{0}\right)$

$\Rightarrow(y-124.942)=\left(\dfrac{125.34-124.942}{110-20}\right)(x-20)$

$\Rightarrow(y-124.942)=\dfrac{0.192}{90}(x-20)$

अभीष्ट समीकरण L = $\dfrac{{{{0}}{{.192}}}}{{{{90}}}}{{(C - 20) + 124}}{{.942}}$

17. किसी दूध भंडार का स्वामी प्रति सप्ताह ${{980 }}$ लिटर दूध, ${{14 }}$रु प्रति लिटर के भाव से और ${{1220 }}$ लिटर दूध ${{16 }}$ रु प्रति लिटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के संबंध को रेखिक मानते हुए यह ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध ${{17 }}$ रु प्रति लिटर के भाव से बेच सकता है? 

उत्तर: प्रश्न से,

स्वामी प्रति सप्ताह दूध बेचता है ${{980 }}$ लिटर दूध, ${{14 }}$रु प्रति लिटर के भाव से और ${{1220 }}$ लिटर दूध ${{16 }}$ रु प्रति लिटर के भाव से 

माना की बेचने की दर ${{x }}$- अक्ष पर तथा टोटल दूध ${{y }}$- अक्ष पर है तब बिन्दु ${{(14,980),(16,1220)}}$ रेखिक समीकरण को संतुष्ट करेंगी ऊपर के दोनों बिन्दु से पास करती हुई रेखा का समीकरण दो बिन्दु समीकरण रूप से हमलोग जानते है कि 

$\left( {{{y - }}{{{y}}_{{0}}}} \right)\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}}}{{{{{x}}_{{{2 - }}{{{x}}_{{1}}}}}}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{0}}}} \right)$

$\Rightarrow \;{{(y - 980)}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{1220 - 980}}}}{{{{16 - 14}}}}} \right){{(x - 14)}}$

$\Rightarrow \;{{(y - 980)}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{240}}}}{{{2}}}} \right){{(x - 14)}}$

अशिष्ट समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{120(x - 14) + 980}}$

प्रश्न से जब ${{x}}\;{{ = }}\;{{17}}$ रु प्रति लीटर, $y\; = \;120(17 - 14) + 980\; \Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;1340$

वह $1340$ लिटर दूध बेच सकता है।

18. अक्षों के बीच रेखाखण्ड को मध्य बिन्दु P ${{(a,b)}}$ है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण $\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}{{ = 2}}$ है 

उत्तर: 

माना AB वह रेखाखण्ड है P ${{(a,b)}}$ मध्य बिन्दु है 

OA = ${{y}}$ तथा OB = ${{x }}$ माना

${{a}}\;{{ = }}\;{{x/2,}}\;{{b}}\;{{ = }}\;{{y/2}}\;$

$\Rightarrow \;{{x = 2a,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{2b}}$ 

अन्तः खंड रूप से 

$\dfrac{{{x}}}{{{{2a}}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{{2b}}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

$\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}\;{{ = }}\;{{2}}$

19. अक्षों के बीच रेखाखण्ड को बिन्दु R ${{(h,k)}}$ , ${{1:2 }}$ के अनुपाद मे विभक्त करता है। रेखा कासमीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर:

माना की AB वह रेकजाखण्ड है R ${{(h,k)}}$ वह बिन्दु है जो रेखा को ${{2:1 }}$ मे बाटता है 

OA = ${{y }}$ तथा OB = ${{x }}$ माना 

${{h  =  }}\dfrac{{{{1x0 + 2xx}}}}{{{{1 + 2}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2x}}}}{{{3}}}\;{{,}}\;{{k}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{1xy + 2x0}}}}{{{{1 + 2}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{y}}}{{{3}}}$ 

${{x  =  }}\dfrac{{{{3h}}}}{{{2}}}\;{{,}}\;{{y = }}\;{{3k}}$

अन्तः खंड रूप से 

$\dfrac{{{{2x}}}}{{{{3h}}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{{3k}}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

$\dfrac{{{{2x}}}}{{{h}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{k}}}\;{{ = }}\;3$

अशिष्ट समीकरण ${{2xk + hy}}\;{{ = }}\;{{3hk}}$

20. रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु ${{(3,0),( - 2, - 2),(8,2)}}$ संरेख है। 

उत्तर: प्रश्न मे दिया हुआ बिन्दु A, B, C क्रमश ${{(3,0),( - 2, - 2),(8,2)}}$ है 

AB का समीकरण,

$\Rightarrow \;{{(y - 0)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - 2 - 0}}}}{{{{ - 2 - 3}}}}{{(x - 3)}}$

$\Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;{{ - 2/ - 5(x - 3)}}$ 

$\Rightarrow \;{{2x - 5y}}\;{{ = }}\;{{6}}$  ………………………..(i)

अब C बिन्दु को इस समीकरण मे रखते है 

$2 \times 8 - 5 \times 2\; = \;6$

बिन्दु C भी (i) को संतुष्ट करती है 

इस तरह हम कह सकते है की तीनों बिन्दु संरेख है।

प्रश्नावली 10.3 

1. निमनलिखित समीकरणों को ढाल अतः खंड रूप मे रूपांतरित कीजिए और उनका ${{y}}$ - अतः खंड ज्ञात कीजिए। 

(i) ${{x + 7y}}\;{{ = }}\;{{0 }}$

उत्तर: दिया गया समीकरण है ${{x + 7y}}\;{{ = }}\;{{0 }}$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है ${{y}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{7}}}{{x + 0}}$ ........ (1)

यह समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ रूप का है और जहा ${{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{ - 1}}{7}{{, c}}\;{{ = }}\;{{0}}$

इसलिए, समीकरण (1) ढलान खंड रूप है, जहा ढलान और ${{y}}$ - खंड क्रमश: $\;\dfrac{{ - 1}}{7}{{, 0}}$ है।

(ii) ${{6x + 3y - 5}}\;{{ = }}\;{{0 }}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${{6x + 3y - 5}}\;{{ = }}\;{{0 }}$ है

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है ${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{3}}}{{( - 6x + 5)}}$

${{y}}\;{{ = }}\;{{ - 2x + }}\dfrac{{{5}}}{{{3}}}$ ..........(2)

यह समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ रूप का है और जहा ${{m}}\;{{ = }}\; - 2{{, c}}\;{{ = }}\;\dfrac{5}{3}$

इसलिए, समीकरण (2) ढलान खंड रूप है, जहा ढलान और ${{y}}$ - खंड क्रमश: $\; - 2,\;\dfrac{5}{3}$ है।

(iii) ${{y}}\;{{ = }}\;{{0 }}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{0 }}$है

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है ${{y - 0}}{{.x}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........(3)

यह समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ रूप का है और जहा ${{m}}\;{{ = }}\;0{{, c}}\;{{ = }}\;0$

इसलिए, समीकरण (2) ढलान खंड रूप है, जहा ढलान और ${{y}}$ - खंड क्रमश: $0,\;0$ है।

2. निमनलिखित समीकरणों को अतः खंड रूप मे रूपांतरित कीजिए और अक्षों पर इनके द्वारा काटे गए अतः खंड ज्ञात कीजिए: 

(i) ${{3x + 2y - 12}}\;{{ = }}\;{{0 }}\;{{ }}$

उत्तर: दिया गया समीकरण है ${{3x + 2y - 12}}\;{{ = }}\;{{0 }}\;{{ }}$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

${{3x + 2y}}\;{{ = }}\;{{12}}$

$\dfrac{{{{3x}}}}{{{{12}}}}{{ + }}\dfrac{{{{2y}}}}{{{{12}}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ 

$\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{6}\; = \;1$ ..............(1)

यह समीकरण $\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ फार्म का है, जहा ${{a}}\;{{ = }}\;{{4,}}\;{{b}}\;{{ = }}\;{{6}}$ है 

इसलिए समीकरण (1) खंड रूप मे है जहा ${{x, y}}$ अक्ष पर खंड क्रमश: ${{4,}}\;{{6 }}$ है

(ii) ${{4x - 3y}}\;{{ = }}\;6{{ }}\;{{ }}$

उत्तर: दिया गया समीकरण है ${{4x - 3y}}\;{{ = }}\;6{{ }}\;{{ }}$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\dfrac{{{{4x}}}}{{{6}}}{{ + }}\dfrac{{{{3y}}}}{{{6}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

$\dfrac{{{{2x}}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ 

$\dfrac{{{x}}}{{\dfrac{{{3}}}{{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{{ - 2}}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ ..........(2)

इसलिए समीकरण (2) खंड रूप मे है जहा ${{x, y}}$ अक्ष पर खंड क्रमश: $\dfrac{3}{2}{{,}}\; - 2$ है

(iii) ${{3y + 2}}\;{{ = }}\;0{{ }}\;{{ }}$ 

उत्तर: दिया गया समीकरण है ${{3y + 2}}\;{{ = }}\;0{{ }}\;{{ }}$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है ${{3y}}\;{{ = }}\;{{ - 2 }}$

$\dfrac{y}{{ - \dfrac{2}{3}}}\; = \;1$ ............(3) 

इसलिए समीकरण (3) खंड रूप मे है जहा ${{y}}$ - अक्ष पर खंड क्रमश: $\dfrac{{ - 2}}{3}$ है और ${{x}}$ - अक्ष पर कोई खंड नही है। 

3. निमनलिखित समीकरणों को लम्ब रूप मे रूपांतरित इजीए। उनकी मूल बिन्दु से लंबहिक दूरिया और लम्ब तथा धन ${{x}}$ - अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

(i) ${{x - }}\sqrt {{3}} {{y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$

उत्तर: दिया गया समीकरण है ${{x - }}\sqrt {{3}} {{y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है 

${{x - }}\sqrt {{3}} {{y}}\;{{ = }}\;{{ - 8}}$

${{ - x + }}\sqrt {{3}} {{y}}\;{{ = }}\;{{8}}$ 

दोनों पक्षों $\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} \; = \;\sqrt 4 \; = \;2$ द्वारा विभाजित करने पर

${{ - }}\dfrac{{{x}}}{{{2}}}{{ + }}\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{8}}}{{{2}}}$

$\left( {{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}} \right){{x + }}\left( {\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}} \right){{y}}\;{{ = }}\;{{4}}$

${{xcos12}}{{{0}}^{{^\circ }}}{{ + ysin12}}{{{0}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;{{4}}$ ..........(1) 

समीकरण (1) समान्य रूप मे है, रेखा के समीकरण के समान्य रूप ${{xcos\omega  + ysin\omega }}\;{{ = }}\;{{p}}$ के साथ समीकरण (1) की तुलना करने पर हम ${{\omega }}\;{{ = }}\;{{12}}{{{0}}^{{^\circ }}}{{,}}\;{{p}}\;{{ = }}\;{{4}}$ प्राप्त करते है। 

इस प्रकार मूल से रेखा की लम्बवत दूरी ${{4}}$ है जबकि लम्बवत और धनात्मक ${{x}}$ - अक्ष के बीच का कोण ${{120}}^\circ$ है।

(ii) ${{y - 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${{y - 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ है 

इसे ${{0}}{{.x + 1}}{{.y}}\;{{ = }}\;{{2}}$ के रूप मे कम किया जा सकता है, $\sqrt {{0^2} + {1^2}} \; = \;1$ से दोनों पक्षों को विभाजित करने पर हमने प्राप्त किया ${{0}}{{.x + 1}}{{.y}}\;{{ = }}\;{{2}}$ 

${{xcos9}}{{{0}}^{{^\circ }}}{{ + ysin9}}{{{0}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;{{2}}$ ............(2)

समीकरण (2) समान्य रूप मे है, समीकरण के समान्य रूप ${{xcos\omega  + ysin\omega }}\;{{ = }}\;{{p}}$ के साथ समीकरण (2) की तुलना करने पर हम ${{\omega }}\;{{ = }}\;9{{{0}}^{{^\circ }}}{{,}}\;{{p}}\;{{ = }}\;2$ प्राप्त करते है। 

इस प्रकार मूल से रेखा की लम्बवत दूरी $2$ है जबकि लम्बवत और धनात्मक ${{x}}$ - अक्ष के बीच का कोण ${{90}}^\circ$ है।

(iii) ${{x - y}}\;{{ = }}\;4$

उत्तर: दिया गया समीकरण ${{x - y}}\;{{ = }}\;4$ है

इसे कम किया जा सकता है ${{ 1}}{{.x  + ( - 1)y}}\;{{ = }}\;{{4}}$

$\sqrt {{1^2} + {1^2}} \; = \;\sqrt 2$ द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करने पर हमने प्राप्त किया 

$\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}{{x + }}\left( {{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}} \right){{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{4}}}{{\sqrt {{2}} }}$

${{xcos}}\left( {{{2\pi  - }}\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}} \right){{ + ysin}}\left( {{{2\pi  - }}\dfrac{{{\pi }}}{{{4}}}} \right)\;{{ = }}\;{{2}}\sqrt {{2}}$

${{xcos31}}{{{5}}^{{^\circ }}}{{ + ysin31}}{{{5}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;{{2}}\sqrt {{2}}$ ..............(3) 

समीकरण (3) समान्य रूप मे है, समीकरण के समान्य रूप ${{xcos\omega  + ysin\omega }}\;{{ = }}\;{{p}}$ के साथ समीकरण (3) की तुलना करने पर हम ${{\omega }}\;{{ = }}\;{315^{{^\circ }}}{{,}}\;{{p}}\;{{ = }}\;2\sqrt 2$ प्राप्त करते है। 

इस प्रकार मूल से रेखा की लम्बवत दूरी $2\sqrt 2$ है जबकि लम्बवत और धनात्मक ${{x}}$ - अक्ष के बीच का कोण $315^\circ$ है।

4. बिन्दु $( - 1,1)$ की रेखा ${{12(x + 6)}}\;{{ = }}\;{{5(y - 2)}}$ से दूरी ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: रेखा का दिया गया समीकरण है ${{12(x + 6)}}\;{{ = }}\;{{5(y - 2)}}$ 

${{12x + 72}}\;{{ = }}\;{{5y - 10}}$

${{12x - 5y + 82}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..............(1)

रेखा के समान्य समीकरण ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के साथ समीकरण (1) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते है ${{A = }}\;{{12,}}\;{{B}}\;{{ = }}\;{{ - 5,}}\;{{C}}\;{{ = }}\;{{ - 82}}$

यह ज्ञात है कि एक बिन्दु ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ से एक रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ की लम्बवत दूरी ${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{A}}{{{x}}_{{1}}}{{ + B}}{{{y}}_{{1}}}{{ + C}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$ द्वारा दिया गया है 

दी गई बिन्दु है ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ = ${{( - 1,1)}}$

इसलिए दी गई दूरी से बिन्दु ${{( - 1,1)}}$ की दूरी 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|12( - 1) + ( - 5)(1) + 82|}}}}{{\sqrt {{{{{(12)}}}^{{2}}}{{ + ( - 5}}{{{)}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{| - 12 - 5 + 82|}}}}{{\sqrt {{{169}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|65|}}}}{{{{13}}}}$ = ${{5}}$ इकाई

5. ${{x }}$ - अक्ष पर बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा $\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ से दूरिया ${{4}}$ इकाई है। 

उत्तर: रेखा का दिया गया समीकरण है $\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ या ${{4x + 3y - 12}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ............(1)

रेखा के समान्य ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के साथ समीकरण (1) की तुलना मे हम प्राप्त करते है ${{A = }}\;4{{,}}\;{{B}}\;{{ = }}\;3{{,}}\;{{C}}\;{{ = }}\;{{ - 12 }}$

आज्ञा देना ${{(a,0)}}$ ${{x}}$ - अक्ष पर बिन्दु है जिसकी दी गई लाइन से दूरी ${{4 }}$ इकाइया है। 

यह ज्ञात है कि एक बिन्दु ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ से एक रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ की लम्बवत दूरी ${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{A}}{{{x}}_{{1}}}{{ + B}}{{{y}}_{{1}}}{{ + C}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$ द्वारा दिया गया है इसलिए 

${{4}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|4a + 3X0 - 12|}}}}{{\sqrt {{{{4}}^{{2}}}{{ + }}{{{3}}^{{2}}}} }}$

$=> \;{{4}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|4a - 12|}}}}{{{5}}}$

$=> \;{{|4a - 12|}}\;{{ = }}\;{{20}}$

$=> \;{{ \pm (4a - 12)}}\;{{ = }}\;{{20}}$

$=> \;{{(4a - 12)}}\;{{ = }}\;{{20,}}\;{{ - (4a - 12)}}\;{{ = }}\;{{20}}$

$=> \;{{4a}}\;{{ = }}\;{{20 + 124,}}\;{{a}}\;{{ = }}\;{{ - 20 + 12}}$ 

$=> \;{{a}}\;{{ = }}\;{{8,}}\;{{ - 2}}$

इस प्रकार ${{x}}$ - अक्ष पर आवश्यक बिन्दु है ${{( - 2,0),}}\;{{(8,0)}}$

6. समांतर रेखाओ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: 

(i) ${{15x + 8y - 34}}\;{{ = }}\;{{0, 15x + 8y + 31}}\;{{ = }}\;{{0}}$ 

उत्तर: यह ज्ञात है कि समांतर रेखाओ ${{Ax + By + }}{{{C}}_1}\;{{ = }}\;{{0}}$ और ${{Ax + By + }}{{{C}}_2}\;{{ = }}\;{{0}}$ के बीच की दूरी ${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{{C}}_{{1}}}{{ - }}{{{C}}_{{2}}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$ द्वारा दिया गया है  

दी गई समांतर रेखाए है ${{15x + 8y - 34}}\;{{ = }}\;{{0, 15x + 8y + 31}}\;{{ = }}\;{{0}}$ 

यहा ${{A}}\;{{ = }}\;{{15,}}\;{{B}}\;{{ = }}\;{{8,}}\;{{{C}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{ - 34,}}\;{{{C}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{31}}$

इसलिए समांतर रेखाओ के बीच की दूरी है 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{{C}}_{{1}}}{{ - }}{{{C}}_{{2}}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{| - 34 - 31|}}}}{{\sqrt {{{{{(15)}}}^{{2}}}{{ + (8}}{{{)}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{| - 65|}}}}{{\sqrt {{{289}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{65}}}}{{{{17}}}}$ इकाइया

(ii) ${{l(x + y) + p}}\;{{ = }}\;{{0, l(x + y) - r}}\;{{ = }}\;{{0}}$

उत्तर: दी गई समानांतर रेखे है ${{l(x + y) + p}}\;{{ = }}\;{{0, l(x + y) - r}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{l(x + y) + p = 0,}}\;{{l(x + y) - r = 0}}$

यहा ${{A}}\;{{ = }}\;{{l,}}\;{{B}}\;{{ = }}\;{{l,}}\;{{{C}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{p,}}\;{{{C}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - r}}$

इसलिए समांतर रेखाओ के बीच की दूरी है 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{{C}}_{{1}}}{{ - }}{{{C}}_{{2}}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|p + r|}}}}{{\sqrt {{{{{(l)}}}^{{2}}}{{ + (l}}{{{)}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|p + r|}}}}{{\sqrt {{{2}}{{{l}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{2}} }}\dfrac{{{{|p + r|}}}}{{{l}}}$ इकाई

7. रेखा ${{3x - 4y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के समांतर और बिन्दु ${{( - 2,3)}}$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दी गई रेखा का समीकरण है ${{3x - 4y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{3x}}}}{{{4}}}{{ + }}\dfrac{{{2}}}{{{4}}}$

${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{4}}}{{x + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

जो ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ रूप की है 

दी गई रेखा का ढलान = $\dfrac{3}{4}$

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओ मे समान ढलान होती है 

दूसरी पंक्ति का ढलान ${{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{4}}}$

अब उस रेखा का समीकरण जिसमे ढलान है और अंक $( - 2,3)$ से होकर गुजरता है

${{(y - 3)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{4}}}{{\{ x - ( - 2)\} }}$

$\Rightarrow \;{{4y - 12}}\;{{ = }}\;{{3x + 6}}$

$\Rightarrow \;{{3x - 4y + 18}}\;{{ = }}\;{{0}}$

8. रेखा ${{x - 7y + 5  = }}\;{{0  }}$ पर लम्ब और ${{x}}$ - अंत खंड ${{3 }}$ वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: रेखा का दिया गया समीकरण है ${{x - 7y + 5  = }}\;{{0  }}$

${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{7}}}{{x + }}\dfrac{{{5}}}{{{7}}}$ जो ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ रूप की है 

दी गई रेखा का ढलान 

रेखा की ढलान, लम्बवत रेखा की ढलान के लिए $\dfrac{{{1}}}{{{7}}}$ है 

ढलान ${{m}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{\dfrac{{{1}}}{{{7}}}}}\;{{ = }}\;{{ - 7}}$ और 

${{x}}$ - अंत खंड ${{3 }}$ वाली रेखा का समीकरण

${{y = }}\;{{m(x - d)}}$

$\Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;{{ - 7(x - 3)}}$

$\Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;{{ - 7x + 21}}$

$\Rightarrow \;{{7x + y}}\;{{ = }}\;{{21}}$ 

द्वारा दिया गया है

9. रेखाओ $\sqrt {{3}} {{x + y}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;{{x + }}\sqrt {{3}} {{y}}\;{{ = }}\;{{1}}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दी गई रेखाए है $\sqrt {{3}} {{x + y}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;{{x + }}\sqrt {{3}} {{y}}\;{{ = }}\;{{1}}$ 

${{ - }}\sqrt {{3}} {{x + 1}}\;{{ = }}\;{{y,}}\;\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}{{x + }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}\;{{ = }}\;{{y}}$

जबकि रेखा की ढलान क्रमश: ${{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{ - }}\sqrt {{3}} {{x,}}\;{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}$ है 

तीव्र कोण अर्थात ${{\theta }}$ दोनों रेखाओ के बीच मे

${{tan\theta }}\;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{{{{m}}_{{{1 - }}}}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + }}{{{m}}_{{1}}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right|$

$\Rightarrow \;{{tan\theta }}\;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{{{ - }}\sqrt {{3}} {{ + }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}}}{{{{1 + ( - }}\sqrt {{3}} {{)}}\left( {{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}} \right)}}} \right|$

$\Rightarrow \;{{tan\theta }}\;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{\dfrac{{{{ - 3 + 1}}}}{{\sqrt {{3}} }}}}{{{{1 + 1}}}}} \right|\;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{{{ - 2}}}}{{{{2x}}\sqrt {{3}} }}} \right|$

$\Rightarrow \;{{tan\theta }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{\sqrt {{3}} }}$ 

द्वारा दिया गया है, इस प्रकार दी गई रेखाओ के बीच का कोण या तो $30^\circ \;$ या $180^\circ \; - \;30^\circ \; = \;150^\circ$ है।

10. बिन्दुओ ${{(h,3)}}$ और ${{(4,1)}}$ से जाने वाली रेखा, रेखा ${{7x  - 9y - 19 }}\;{{ = }}\;{{0 }}$ को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है तो ${{h}}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: बिन्दुओ ${{(h,3)}}$ और ${{(4,1)}}$ से गुजरने वली रेखा की ढलान ${{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{1 - 3}}}}{{{{4 - h}}}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{2}}}{{{{4 - h}}}}$ है 

रेखा ${{7x  - 9y - 19 }}\;{{ = }}\;{{0 }}$ या ${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{7}}}{{{9}}}{{x - }}\dfrac{{{{19}}}}{{{9}}}$ की ढलान ${{{m}}_2}\; = \;\dfrac{7}{9}$

यह दिया जाता है कि दो रेखाओ लम्बवत होती है

$\therefore {{{m}}_{{1}}}{{ \times }}{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - 1}}$

$\Rightarrow \;\dfrac{{{{ - 14}}}}{{{{36 - 9h}}}}{{ =  - 1}}$

$\Rightarrow \;{{14}}\;{{ = }}\;{{36 - 9h}}$

$\Rightarrow \;{{9h}}\;{{ = }}\;{{36 - 14}}$

$\Rightarrow \;{{h}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{22}}}}{{{9}}}$

11. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ से जाने वाली और रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के समांतर रेखा कासमिकर्ण ${{A}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right){{ + B}}\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;{{0}}$ है। 

उत्तर: रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ या ${{y}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{ - A}}}}{{{B}}}} \right){{x + }}\left( {\dfrac{{{{ - C}}}}{{{B}}}} \right)$ की ढलान ${{m}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{ - A}}}}{{{B}}}} \right)$

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओ मे समान ढलान है 

दूसरी पंक्ति की ढलान ${{m}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{ - A}}}}{{{B}}}} \right)$

बिन्दु ${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण और ढलान ${{m}}\;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{ - A}}}}{{{B}}}} \right)$ है

${{y - }}{{{y}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{m}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)$

$\Rightarrow \;{{y - }}{{{y}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{A}}}{{{B}}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)$

$\Rightarrow \;{{B}}\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;{{ - A}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)$

$\Rightarrow \;{{A}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right){{ + B}}\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;{{0}}$

इसलिए बिन्दु ${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$ के माध्यम से रेखा और रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के समानांतर ${{A}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right){{ + B}}\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;{{0}}$

12. बिन्दु ${{(2,3)}}$ से जाने वाली दो रेखाए परस्पर ${{60}}^\circ$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती है। यदि एक रेखा की ढाल $2$ है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: यह दिया जाता है कि पहले रेखा की ढलान ${{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{2}}$

दूसरी रेखा की ढलान ${{{m}}_2}$ होने दे 

$\therefore \;{{tan6}}{{{0}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{{{{m}}_{{{1 - }}}}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + }}{{{m}}_{{1}}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right|$

 $\Rightarrow \;\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;\left| {\dfrac{{{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right|$

 $\Rightarrow \;\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;{{ \pm }}\left( {\dfrac{{{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right)$

 $\Rightarrow \;\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;\left( {\dfrac{{{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right){{,}}\;\sqrt {{3}} \;{{ = }}\;{{ - }}\left( {\dfrac{{{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}}}{{{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}}}} \right)$

 $\Rightarrow \;\sqrt {{3}} \left( {{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}} \right)\;{{ = }}\;{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}{{,}}\;\sqrt {{3}} \left( {{{1 + 2}}{{{m}}_{{2}}}} \right)\;{{ = }}\;\;{{ - }}\left( {{{2 - }}{{{m}}_{{2}}}} \right)$

 $\Rightarrow \sqrt {{3}} {{ + 2}}\sqrt {{3}} {{{m}}_{{2}}}{{ + }}{{{m}}_{{2}}}{{ = 2,}}\;\sqrt {{3}} {{ + 2}}\sqrt {{3}} {{{m}}_{{2}}}{{ - }}{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - 2}}$

 $\Rightarrow \;\sqrt {{3}} {{ + (2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)}}{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{2,}}\;\sqrt {{3}} {{ + (2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)}}{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - 2}}$

 $\Rightarrow \;{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2 - }}\sqrt {{3}} }}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ + 1}}}}{{,}}\;{{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - (2 + }}\sqrt {{3}} {{)}}}}{{{{(2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)}}}}$

केस 1: ${{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2 - }}\sqrt {{3}} }}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ + 1}}}}$

बिन्दु ${{(2,3)}}$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण और ढलान $\dfrac{{{{2 - }}\sqrt {{3}} }}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ + 1}}}}$ का होना है।

${{(y - 3)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2 - }}\sqrt {{3}} }}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ + 1}}}}{{(x - 2)}}$

$\Rightarrow \;{{(y - 3)(2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)}}\;{{ = }}\;{{(2 - }}\sqrt {{3}} {{)x - (2 - }}\sqrt {{3}} {{)2}}$

$\Rightarrow \;{{(2 - }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)y}}\;{{ = }}\;{{ - 4 + 2}}\sqrt {{3}} {{ + 6}}\sqrt {{3}} {{ + 3}}$

$\Rightarrow \;{{(2 - }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)y}}\;{{ = }}\;{{ - 1 + 8}}\sqrt {{3}}$

इस स्थिति मे, दूसरी रेखा का समीकरण ${{(2 - }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)y}}\;{{ = }}\;{{ - 1 + 8}}\sqrt {{3}}$ है 

केस 2 : ${{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - (2 + }}\sqrt {{3}} )}}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ - 1}}}}$

बिन्दु ${{(2,3)}}$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण और ढलान $\dfrac{{{{ - (2 + }}\sqrt {{3}} )}}{{{{2}}\sqrt {{3}} {{ - 1}}}}$ का होना है।

${{(y - 3)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - (2 + }}\sqrt {{3}} {{)}}}}{{{{(2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)}}}}{{(x - 2)}}$

$\Rightarrow \;{{(y - 3)(2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)}}\;{{ = }}\;{{ - (2 + }}\sqrt {{3}} {{)x + (2 + }}\sqrt {{3}} {{)2}}$

$\Rightarrow \;{{(2 + }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y}}\;{{ = }}\;{{4 + 2}}\sqrt {{3}} {{ + 6}}\sqrt {{3}} {{ - 3}}$

$\Rightarrow \;{{(2 + }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y}}\;{{ = }}\;{{1 + 8}}\sqrt {{3}}$

इस स्थिति मे, दूसरी रेखा का समीकरण ${{(2 + }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y}}\;{{ = }}\;{{1 + 8}}\sqrt {{3}}$ है 

इस प्रकार दूसरी रेखा का आवश्यक समीकरण ${{(2 - }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ + 1)y}}\;{{ = }}\;{{ - 1 + 8}}\sqrt {{3}}$ , ${{(2 + }}\sqrt {{3}} {{)x + (2}}\sqrt {{3}} {{ - 1)y}}\;{{ = }}\;{{1 + 8}}\sqrt {{3}}$

13. बिन्दुओ $(3,4)$ और $( - 1,2)$ को मिलने वाली रेखा खंड के लम्ब संदिवभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: एक रेखा खंड का दाया दिवभाजक $90^\circ$ पर रेखा खंड को दिवभाजित करता है 

रेखा खंड के अंतिम बिन्दु A, B क्रमश: $(3,4)$ और $( - 1,2)$ के रूप मे दिए गए है 

तदनुसार, AB का मध्य- बिन्दु $\left( {\dfrac{{3 - 10}}{2},\dfrac{{4 + 2}}{0}} \right)$

AB की ढलान, $- \dfrac{{2 - 4}}{{ - 1 - 3}}\; = \;\dfrac{{ - 2}}{{ - 4}}\; = \;\dfrac{1}{2}$

AB के लिए लम्बवत रेखा की ढलान = $- \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}}}\; = \; - 2$

$(1,3)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण और $- 2$ का ढलान है

$\Rightarrow \;{{(y - 3)}}\;{{ = }}\;{{ - 2(x - 1)}}$

$\Rightarrow \;{{y - 3}}\;{{ = }}\;{{ - 2x + 2}}$

$\Rightarrow \;{{2x + y}}\;{{ = }}\;{{5}}$

इस प्रकार रेखा का आवश्यक समीकरण ${{2x + y}}\;{{ = }}\;{{5}}$ है

14. बिन्दु $( - 1,3)$ से रेखा ${{3x - 4y - 16}}\;{{ = }}\;{{0}}$ पर डाले गए लम्ब पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: आज्ञा देना ${{(a,b)}}$ बिन्दु से लम्बवत के पैर के निर्देशांक $( - 1,3)$ हो ${{3x - 4y - 16}}\;{{ = }}\;{{0}}$ रेखा तक 

रेखा की ढलान $( - 1,3)$ और ${{(a,b)}}$ , ${{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{b - 3}}}}{{{{a + 1}}}}$ 

रेखा ${{3x - 4y - 16}}\;{{ = }}\;{{0}}$ , ${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{3}}}{{{4}}}{{x - 4}}$ की ढलान ${{{m}}_2}\; = \;\dfrac{3}{4}$

चूंकि ये दोनों रेखाए लम्बवत है, ${{{m}}_1}{{{m}}_2}\; = \; - 1$

$\therefore \;\dfrac{{{{b - 3}}}}{{{{a + 1}}}}{{ \times }}\dfrac{{{3}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;{{ - 1 }} \Rightarrow \;\dfrac{{{{3b - 9}}}}{{{{4a + 4}}}}\;{{ = }}\;{{ - 1}}$

$\Rightarrow \;{{3b - 9}}\;{{ = }}\;{{ - 4a - 4}}$

$\Rightarrow \;{{4a + 3b}}\;{{ = }}\;{{5}}$

बिन्दु ${{(a,b)}}$ रेखा पर स्थित ${{3x - 4y - 16}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\therefore \;{{3a - 4b - 16}}\;{{ = }}\;{{0}}$

हम प्राप्त करते है ${{a}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{68}}}}{{{{25}}}}{{,}}\;{{b}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{{49}}}}{{{{25}}}}$

इस प्रकार, लम्ब के पैर के आवश्यक निर्देशांक है $(\dfrac{{{{68}}}}{{{{25}}}}{{,}}\;{{ - }}\dfrac{{{{49}}}}{{{{25}}}})$

15. मूल बिन्दु से रेखा ${{y}}\;{{ =  mx + c}}\;$ पर डाला गए लम्ब रेखा से बिन्दु ${{( - 1,2)}}$ पर मिलता है। ${{m, c}}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: रेखा का दिया गया समीकरण है ${{y}}\;{{ =  mx + c}}\;$

यह दिया जाता है कि मूल से लम्बवत दी गई रेखा से ${{( - 1,2)}}$ पे मिलती है 

इसलिए बिन्दुओ $(0,0),\;( - 1,2)$ को मिलने वाली रेखा की ढलान = $\dfrac{2}{{ - 1}}\; = \; - 2$

दी गई रेखा की ढलान है ${{m}}$ ,

$\therefore \;{{m}} \times  - 2\; = \; - 1\; \Rightarrow \;{{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{1}{2}$

चूंकि बिन्दुओ ${{( - 1,2)}}$ दी गई रेखा पर स्थित है यह ${{y}}\;{{ =  mx + c}}\;$ समीकरण को संतुष्ट करता है 

$\therefore \;{{m(}} - 1) + {{c}}$

$\Rightarrow \;{{2}}\;{{ = }}\;{{2 + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{( - 1) + c}} \Rightarrow \;{{c}}\;{{ = }}\;{{2 + }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{5}}}{{{2}}}$

तथा इस प्रकार ${{m}}$ और ${{c}}$ के संबंधित मूल्य $\dfrac{1}{2},\;\dfrac{5}{2}$ है।

16. यदि ${{p, q}}$ क्रमश: मूल बिन्दु से रेखाओ ${{xcos\theta  - ysin\theta }}\;{{ = }}\;{{kcos\theta }}$ और ${{xsec\theta  + ycosec\theta }}\;{{ = }}\;{{k}}$ पर लम्ब की लम्बाइया है तो सिद्ध कीजिए कि ${{{p}}^{{2}}}{{ + 4}}{{{q}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{{k}}^{{2}}}$

उत्तर: दी गई लाइनों के समीकरण है 

${{xcos\theta  - ysin\theta }}\;{{ = }}\;{{kcos\theta }}$ ..........(1)

${{xsec\theta  + ycosec\theta }}\;{{ = }}\;{{k}}$ ..............(2)

एक रेखा ${{A + B + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ की लम्बवत दूरी ${{d}}$ एक बिन्दु ${{(}}{{{x}}_2}{{,}}{{{y}}_2}{{)}}$ से दिया गया है 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{A}}{{{x}}_{{1}}}{{ + B}}{{{y}}_{{1}}}{{ + C}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

यानि, हम प्राप्त करते है समीकरण के सामान्य समीकरण और समीकरण (1) की तुलना करने पर 

${{A  =  cos\theta , B  =   - sin\theta , C  =   - kcos2\theta }}$

यह दिया जाता है कि ${{p}}$ लम्बवत से रेखा की लंबाई है ${{(0,0)}}$ से रेखा (1) तक 

$\therefore \;{{p}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|A(0) + B(0) + C|}}}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|C|}}}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

${{ = }}\;\dfrac{{{{| - kcos2\theta |}}}}{{\sqrt {{{{{(cos\theta )}}}^{{2}}}{{ + ( - sin\theta }}{{{)}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;{{| - kcos2\theta |}}$ ............(3)

हम प्राप्त करते है सामान्य समीकरण के समीकरण (2) की तुलना करने पर 

${{A  =  sec\theta , B  =  cosec\theta , C  =   - k}}$

यह दिया जाता है कि q लम्बवत ${{(0,0)}}$ से रेखा (2) तक लम्बवत की लंबाई है 

$\therefore \;{{q}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|A(0) + B(0) + C|}}}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|C|}}}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

${{ = }}\;\dfrac{{{{| - k|}}}}{{\sqrt {{{{{(sec\theta )}}}^{{2}}}{{ + (cosec\theta }}{{{)}}^{{2}}}} }}$ ..........(4)

समीकरण (3) और (4) हमारे पास है

${{{p}}^{{2}}}{{ + 4}}{{{q}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{| - kcos2\theta }}{{{|}}^{{2}}}{{ + 4}}{\left( {\dfrac{{{{| - k|}}}}{{\sqrt {{{{{(sec\theta )}}}^{{2}}}{{ + (cosec\theta }}{{{)}}^{{2}}}} }}} \right)^{{2}}}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}\dfrac{{{{4}}{{{k}}^{{2}}}}}{{\left( {{{se}}{{{c}}^{{2}}}{{\theta  + cose}}{{{c}}^{{2}}}{{\theta }}} \right)}}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}\dfrac{{{{4}}{{{k}}^{{2}}}}}{{\left( {\dfrac{{{1}}}{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}} \right)}}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}\dfrac{{{{4}}{{{k}}^{{2}}}}}{{\left( {\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta  + co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}} \right)}}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}\dfrac{{{{4}}{{{k}}^{{2}}}}}{{\left( {\dfrac{{{1}}}{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}} \right)}}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + 4}}{{{k}}^{{2}}}{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}{{{k}}^{{2}}}\left( {{{2si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}} \right)$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + }}{{{k}}^{{2}}}{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{2\theta }}$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}\left( {{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{2\theta  + si}}{{{n}}^{{2}}}{{2\theta }}} \right)$

$\Rightarrow \;{{{k}}^{{2}}}$

इसलिए हमने यह कर दिखाया ${{{p}}^{{2}}}{{ + 4}}{{{q}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{{k}}^{{2}}}$

17. शीर्षों A ${{(2,3)}}$ , B ${{(4, - 1)}}$ और C ${{(1,2)}}$ वाले त्रिभुज ABC के शीर्ष A से उसकी सम्मुख भुजा पर लम्ब डाला गया है। लम्ब की लंबाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: त्रिभुज ABC की ऊंचाई शीर्ष A से AD हो 

${{(2,3)}}$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण और एक का ढलान है 

${{(y - 3)}}\;{{ = }}\;{{1(x - 2)}}$

$\Rightarrow \;{{x - y + 1}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow \;{{y - x}}\;{{ = 1}}\;$ 

शीर्ष से उचाई का समीकरण A = ${{y - x}}\;{{ = 1}}\;$

AD की लंबाई = लम्बवत की लंबाई A ${{(2,3)}}$ से BC तक 

${{(y + 1)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2 + 1}}}}{{{{1 - 4}}}}{{(x - 4)}}$

$\Rightarrow \;{{(y + 1)}}\;{{ = }}\;{{ - 1(x - 4)}}$

$\Rightarrow \;{{y + 1 = }}\;{{ - x + 4}}$

$\Rightarrow \;{{x + y - 3}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..........(1)

एक बिन्दु ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ से एक रेखा की लम्बवत दूरी ${{d}}$ , ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से दी जाती है 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{A}}{{{x}}_{{1}}}{{ + B}}{{{y}}_{{1}}}{{ + C}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

सामान्य समीकरण की तुलना समीकरण (1) से करने पर हम ${{A  =  1, B  =  1, C  =   - 3}}$ प्राप्त करते है 

AD की लंबाई = ${{ = }}\;\dfrac{{{{|1 \times 2 + 1 \times 3 - 3|}}}}{{\sqrt {{{{1}}^{{2}}}{{ + }}{{{1}}^{{2}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|2|}}}}{{\sqrt {{2}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{2}}}{{\sqrt {{2}} }}\;{{ = }}\sqrt {{2}}$

इस प्रकार शीर्ष A से उचाई के समीकरण ${{y - x}}\;{{ = 1}}\;$ और लंबाई $\sqrt {{2}}$ इकाइया है।

18. यदि ${{p}}$ मूल बिन्दु से उस रेखा पर डाले लम्ब की लंबाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अतः खंड ${{a, b}}$ हो, तो दिखाइए कि $\dfrac{{{1}}}{{{{{p}}^{{2}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}$

उत्तर: यह ज्ञात है कि एक रेखा का समीकरण जिसका अक्षों पर खंड है ${{a,}}\;{{b }}$ है

$\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}\;{{ = }}\;{{1}}$

$\Rightarrow \;{{bx + ay}}\;{{ = }}\;{{ab}}$

$\Rightarrow \;{{bx + ay - ab}}\;{{ = }}\;{{0 }}$ ............(1)

बिन्दु ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ से एक रेखा ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ की लम्बवत दूरी ${{d}}$ दी गई है। 

${{d}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\left| {{{A}}{{{x}}_{{1}}}{{ + B}}{{{y}}_{{1}}}{{ + C}}} \right|}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

समीकरण (1) की तुलना सामान्य समीकरण ${{Ax + By + C}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से करने पर ${{A  =  b, B  =  a, C  =   - ab}}$

इसलिए, यदि बिन्दु $(0,0)$ से रेखा (1) तक लम्ब की लंबाई ${{p}}$ है, हमने प्राप्त किया

${{p}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{|A(0) + B(0) + C|}}}}{{\sqrt {{{{A}}^{{2}}}{{ + }}{{{B}}^{{2}}}} }}$

$\Rightarrow \;{{p}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{| - ab|}}}}{{\sqrt {{{{b}}^{{2}}}{{ + }}{{{a}}^{{2}}}} }}$

$\Rightarrow \;{{{p}}^{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{{( - ab)}}}^{{2}}}}}{{{{{a}}^{{2}}}{{ + }}{{{b}}^{{2}}}}}$

$\Rightarrow \;{{{p}}^{{2}}}\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ + }}{{{b}}^{{2}}}} \right)\;{{ = }}\;{{{a}}^{{2}}}{{{b}}^{{2}}}$

$\Rightarrow \;\dfrac{{\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ + }}{{{b}}^{{2}}}} \right)}}{{{{{a}}^{{2}}}{{{b}}^{{2}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{{p}}^{{2}}}}}$

$\Rightarrow \;\dfrac{{{1}}}{{{{{p}}^{{2}}}}}{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}$ 

इसलिए हमने यह कर दिखाया $\dfrac{{{1}}}{{{{{p}}^{{2}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{1}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}$

प्रश्नावली A10

1. ${{k}}$ का मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा ${{(k - 3)x - (4 - }}{{{k}}^{{2}}}{{)y + }}{{{k}}^{{2}}}{{ - 7k + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$ 

(a) ${{x}}$ - अक्ष के समांतर है। 

उत्तर: ${{x}}$ - अक्ष के समांतर का समीकरण होगा ${{y  =  a}}$

${{x}}$ का गुणांक = ${{0 }}$

$\Rightarrow \;{{k - 3  = }}\;{{0 }} \Rightarrow \;{{k  =  3}}$

(b) ${{y}}$ - अक्ष के समांतर है। 

उत्तर: ${{y}}$ - अक्ष के समांतर का समीकरण होगा ${{x  =  a}}$ 

${{y}}$ का गुणांक = ${{0 }}$

$\Rightarrow \;4 - {{{k}}^2}{{  = }}\;{{0 }} \Rightarrow \;{{{k}}^2}{{  =  4 }}\; \Rightarrow \;{{k}}\;{{ = }}\;{{ \pm 2}}$

(c) मूल बिन्दु से जाती है 

उत्तर: मूल बिन्दु से जाती रेखा को निर्देशांक $(0,0)$ संतुष्ट करेगा

${{0 + 0 + }}{{{k}}^{{2}}}{{ - 7k + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{{k}}^{{2}}}{{ - 7k + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{{k}}^{{2}}}{{ - 6k - k + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{(k - 6)(k - 1)}}\;{{ = }}\;{{0}}$

${{k}}\;{{ = }}\;{{6,}}\;{{k}}\;{{ = }}\;{{1}}$

2. ${{\theta ,}}\;{{p }}$ के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण ${{xcos}}\theta {{ + ysin}}\theta \;{{ = }}\;{{p }}$ रेखा $\sqrt {{3}} {{x + y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ का लम्ब रूप है। 

उत्तर: दिया गया है $\sqrt {{3}} {{x + y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ $\Rightarrow \;{{ - }}\sqrt {{3}} {{x - y}}\;{{ = }}\;{{2}}$

दोनों तरफ $\sqrt {{{{{( - }}\sqrt {{3}} {{)}}}^2} + {{( - 1)}^2}} \; = \;2$ से भाग करने पर, हमे प्राप्त होगा

${{ - }}\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{x - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{y}}\;{{ = }}\;{{1}}$ ..........(1)

दिया गया है ${{xcos}}\theta {{ + ysin}}\theta \;{{ = }}\;{{p }}$ .........(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर हमे मिलेगा 

${{cos\theta }}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{\sqrt {{3}} }}{{{2}}}{{,}}\;{{sin\theta }}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{,}}\;{{p}}\;{{ = }}\;{{1}}$

${{sin\theta }}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

${{sin\theta }}\;{{ = }}\;\sin (\pi  + \dfrac{\pi}{6})\; \Rightarrow \;\theta \; = \;\dfrac{{7\pi }}{6}$

3. उन रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों से कटे अतः खंडों का योग और गुणनफल क्रमश: ${{1,}}\;{{ - 6 }}$ है

उत्तर: मान लेते है कि अक्षों से कटे अतः खंड ${{a,}}\;{{b}}$

दिया गया है ${{a + b}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;{{ab}}\; = \; - 6$

$\Rightarrow \;{{b = }}\;{{1 - a}}$

$\Rightarrow \;{{a - }}{{{a}}^{{2}}}\;{{ = }}\;{{ - 6}}$

$\Rightarrow {{{a}}^{{2}}}{{ - a - 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow {{{a}}^{{2}}}{{ - 3a + 2a - 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow \;{{(a - 3)(a + 2)}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$\Rightarrow {{a  =  3, a  =   - 2}}$

$\therefore \;{{b}}\;{{1 - 3}}\;{{ = }}\;{{ - 2, b  =  1 + 2  =  3}}$

$\Rightarrow \;{{b  =   - 2,3 }}$

$(3, - 2)$ अतः खंड वाली रेखा का समीकरण होगा 

$\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{{ - 2}}}}\;{{ = }}\;{{1}}\; \Rightarrow \;{{2x + 3y - 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

$(2, - 1)$ अतः खंड वाली रेखा का समीकरण होगा 

$\dfrac{{{x}}}{{ - 2}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{3}\;{{ = }}\;{{1}}\; \Rightarrow \;3{{x - 2y + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$

4.  ${{y}}$ - अक्ष पर कौन से बिन्दु ऐसे है, जिनकी रेखा $\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ से दूरी इकाई है। 

उत्तर: मान लेते है कि ${{y}}$ - अक्ष पर बिन्दु के निर्देशांक ${{(0,y)}}$ है 

 $\dfrac{{{x}}}{{{3}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{4}}}\;{{ = }}\;{{1}}$ $\Rightarrow \;4{{x + 3y}}\;{{ = }}\;12$

रेखा $4{{x + 3y}}\;{{ = }}\;12$ की ${{(0,y)}}$ दूरी होगी 

$\Rightarrow \;\dfrac{{4 \times 0{{ + 3y - }}12}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\; = \;4\; \Rightarrow \;\dfrac{{{{3y - 12}}}}{{{5}}}\;{{ = }}\;{{ \pm 4}}$

i. $\dfrac{{{{3y - 12}}}}{{{5}}}\;{{ = }}\;{{4}}\; \Rightarrow \;3{{y}}\;{{ = }}\;32\; \Rightarrow \;{{y}}\; = \;\dfrac{{32}}{3}$

ii. $\dfrac{{{{3y - 12}}}}{{{5}}}\;{{ = }}\; - {{4}}\; \Rightarrow \;3{{y}}\;{{ = }}\; - 8\; \Rightarrow \;{{y}}\; = \;\dfrac{{ - 8}}{3}$

${{y}}$ - अक्ष पर बिन्दु जिनकी दूरी चार इकाई है होंगे: $(0,\dfrac{{32}}{3}),\;(0,\dfrac{{ - 8}}{3})$

5. मूल बिन्दुओ ${{(cos}}\theta {{,}}\;{{sin}}\theta {{),}}\;{{(cos}}\emptyset {{,}}\;{{sin}}\emptyset {{) }}$ को मिलने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: ${{(cos}}\theta {{,}}\;{{sin}}\theta {{),}}\;{{(cos}}\emptyset {{,}}\;{{sin}}\emptyset {{) }}$ को मिलने वाली रेखा का समीकरण है

$\left( {{{y - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)\;{{ = }}\;\dfrac{{\left( {{{{y}}_{{2}}}{{ - }}{{{y}}_{{1}}}} \right)}}{{\left( {{{{x}}_{{2}}}{{ - }}{{{x}}_{{1}}}} \right)}}\left( {{{x - }}{{{x}}_{{1}}}} \right){{(y - sin\theta )}}\;$

$= \;\dfrac{{(\sin \emptyset  - \sin \theta )}}{{(\cos \emptyset  - \cos \theta )}}{{(x - cos\theta )}}$

$= \;\dfrac{{2\cos \left( {\dfrac{{\theta  + \theta }}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  - \theta }}{2}} \right)}}{{ - 2\sin \left( {\dfrac{{\theta  + \theta }}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  - \theta }}{2}} \right)}}\; = \; - \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)}}(x - \cos \theta )$

$\Rightarrow \;({{y}} - \sin \theta )\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)\; = \; - ({{x}} - \cos \theta )\cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)$

$\Rightarrow \;{{x}}\cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right) + {{y}}\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)\; = \;\cos \theta \cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right) + \sin \theta \sin \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)\;$

$= \;\cos \left( {\theta  - \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)} \right)$

${{x}}\cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right) + {{y}}\sin \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)\; = \;\cos \left( {\dfrac{{\theta  - \emptyset }}{2}} \right)$

मूल बिन्दुओ से रेखा की दूरी = $\dfrac{{\cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right) \times 0 + \cos \left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right) \times 0 - \cos \left( {\dfrac{{\theta  - \emptyset }}{2}} \right)}}{{\sqrt {\cos {{\left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)}^2} + \sin {{\left( {\dfrac{{\emptyset  + \theta }}{2}} \right)}^2}} }}\; = \;\cos \left( {\dfrac{{\theta  - \emptyset }}{2}} \right)$

6. रेखाओ ${{x - 7y + 5}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{3x + y}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के प्रतिच्छेद बिन्दु से खींची गई और ${{y}}$ - अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है 

${{x - 7y + 5}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..............(1)

${{3x + y}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........ (2)

अतः समीकरण (1) और (2) हल करने पर हमे मिलेगा, ${{x}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{5}}}{{{{22}}}}{{,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{{15}}}}{{{{22}}}}$

रेखाओ ${{x - 7y + 5}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{3x + y}}\;{{ = }}\;{{0}}$ का प्रतिच्छेद बिन्दु है, ${{( - }}\dfrac{{{5}}}{{{{22}}}}{{, - }}\dfrac{{{{15}}}}{{{{22}}}})$

${{( - }}\dfrac{{{5}}}{{{{22}}}}{{, - }}\dfrac{{{{15}}}}{{{{22}}}})$ से होकर जाने वाली और ${{y}}$ - अक्ष के समांतर रेखा के लिए ${{y}}\;{{ = }}\;{{0 }}$ होगा। अतः उस रेखा का समीकरण होगा, ${{x  =   - }}\dfrac{{{5}}}{{{{22}}}}\; \Rightarrow \;{{22x + 5}}\;{{ = }}\;{{0}}$

7. रेखा $\dfrac{{{x}}}{4}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{6}\;{{ = }}\;{{1}}$ पर लम्ब उस बिन्दु से खींची गई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहा यह रेखा ${{y}}$ - अक्ष से मिलती है। 

उत्तर: दिया गया है $\dfrac{{{x}}}{4}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{6}\;{{ = }}\;{{1}}$ $\Rightarrow \;3{{x + 2y}}\;{{ = }}\;12$ $\Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{3}{2}x + 6$

अतः दी गई रेखा की ढाल = ${{ - }}\dfrac{3}{2}$

रेखा $\dfrac{{{x}}}{4}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{6}\;{{ = }}\;{{1}}$ और उस रेखा पर लम्ब उस बिन्दु से खींची गई रेखा के बीच मे ${{90}}^\circ$ का कोण होगा 

दूसरी रेखा की ढाल = $- 1 \times ( - \dfrac{2}{3})\; = \;\dfrac{2}{3}$

चूंकि यह रेखा ${{y}}$ - अक्ष पर प्रतिच्छेद करती है, अतः यह $(0,6)$ से जाएगी, अतः इसका समीकरण होगा 

${{(y - 6)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{2}}}{{{3}}}{{(x - 0)}}$ $\Rightarrow \;{{2x - 3y + 18}}\;{{ = }}\;{{0}}$

8. रेखाओ ${{y - x}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{x + y}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{x - k}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है 

${{y - x}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ............(1)

${{x + y}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..............(2)

${{x - k}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ............(3)

रेखाओ (1) और (2) का प्रतिच्छेद बिन्दु होगा $(0,0)$

रेखाओ (2) और (3) का प्रतिच्छेद बिन्दु होगा ${{(k, - k)}}$

रेखाओ (3) और (1) का प्रतिच्छेद बिन्दु होगा ${{(k,k)}}$

हमे ज्ञात है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\dfrac{1}{2}\mid {{{x}}_1}\left( {{{{y}}_2} - {{{y}}_3}} \right) + {{{x}}_2}\left( {{{{y}}_3} - {{{y}}_1}} \right) + {{{x}}_3}\left( {{{{y}}_1} - {{{y}}_2}} \right)\mid$
$= \;\dfrac{1}{2}|0 \times ( - {{k}} - {{k}}) + {{k}}({{k}} - 0) + {{k}}(0 + {{k}})|$

$= \;\dfrac{1}{2}\left| {2{{{k}}^2}} \right|\; = \;{{{k}}^2}$

9. ${{p}}$ का मान ज्ञात कीजिए जिसमे तीन रेखाए ${{3x + y  - 2 }}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{px + 2y}}\;{{ = }}\;{{3,}}\;{{2x - y - 3}}\;{{ = }}\;{{0  }}$ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे। 

उत्तर: दिया गया है तीन रेखाए ${{3x + y  - 2 }}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{px + 2y}}\;{{ = }}\;{{3,}}\;{{2x - y - 3}}\;{{ = }}\;{{0  }}$ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर रही है 

${{3x + y  - 2 }}\;{{ = }}\;{{0}}$ ............(1)

${{2x - y - 3}}\;{{ = }}\;{{0  }}$ ..............(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x  = }}\;{{1,}}\;{{y  = }}\;{{ - 1 }}$

अतः रेख (1) और (2), ${{(1, - 1 )}}$ पर प्रतिच्छेद करती है, जिसका अर्थ यह है कि रेखा ${{px + 2y}}\;{{ = }}\;{{3}}$ भी इस बिन्दु से होकर जाएगी। 

${{(1, - 1 )}}$, ${{px + 2y}}\;{{ = }}\;{{3}}$ को संतुष्ट करेगा

$\Rightarrow \;{{p \times 1 + 2 \times ( - 1)}}\;{{ = }}\;{{3}}\; \Rightarrow \;{{p - 2}}\;{{ = }}\;{{3}}$

$\Rightarrow \;{{p}}\;{{ = }}\;{{5}}$

10. यदि तीन रेखाए जिनके समीकरण ${{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{1}}}{{x + }}{{{c}}_{{1}}}{{,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{2}}}{{x + }}{{{c}}_{{2}}}{{,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{3}}}{{x + }}{{{c}}_{{3}}}$ है, संगामी है तो दिखाइए कि ${{{m}}_{{1}}}{{(}}{{{c}}_{{2}}}{{ - }}{{{c}}_{{3}}}{{) + }}{{{m}}_{{2}}}{{(}}{{{c}}_{{3}}}{{ - }}{{{c}}_{{1}}}{{) + }}{{{m}}_{{3}}}{{(}}{{{c}}_{{1}}}{{ - }}{{{c}}_{{2}}}{{)}}\;{{ = }}\;{{0}}$ 

उत्तर: ${{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{1}}}{{x + }}{{{c}}_{{1}}}$ .........(1)

${{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{2}}}{{x + }}{{{c}}_{{2}}}$ ..........(2)

${{y}}\;{{ = }}\;{{{m}}_{{3}}}{{x + }}{{{c}}_{{3}}}$ ............(3)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हमे मिलेगा ${{x}}\; = \;\dfrac{{{{{c}}_2} - {{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}},{{y}}\; = \;\dfrac{{{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}}$

अतः रेखा (1) और (2) $(\dfrac{{{{{c}}_2} - {{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}},\dfrac{{{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}})$ पर प्रतिच्छेद करती है 

दिया गया है कि तीनों रेखे संगामी है, अतः $(\dfrac{{{{{c}}_2} - {{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}},\dfrac{{{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}})$

रेखा (3) को संतुष्ट करेगा

$\therefore \;\dfrac{{{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}}\; = \;{{{m}}_3}\left( {\dfrac{{{{{c}}_2} - {{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}}} \right) + {{{c}}_3}$

 $\Rightarrow \;\dfrac{{{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}}\; = \;\left( {\dfrac{{{{{m}}_3}{{{c}}_2} - {{{m}}_3}{{{c}}_1} + {{{m}}_1}{{{c}}_3} - {{{m}}_2}{{{c}}_3}}}{{\;{{{m}}_1} - {{{m}}_2}}}} \right)$

 $\Rightarrow \;{{{m}}_1}{{{c}}_2} - {{{m}}_2}{{{c}}_1} - {{{m}}_3}{{{c}}_2} + {{{m}}_3}{{{c}}_1} - {{{m}}_1}{{{c}}_3} + {{{m}}_2}{{{c}}_3}\; = \;0$

 $\Rightarrow \;{{{m}}_1}\left( {{{{c}}_2} - {{{c}}_3}} \right) + {{{m}}_2}\left( {{{{c}}_3} - {{{c}}_1}} \right) + {{{m}}_3}\left( {{{{c}}_1} - {{{c}}_2}} \right)\; = \;0$

11. बिन्दु ${{(3,2)}}$ से जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा ${{x - 2y}}\;{{ = }}\;{{3 }}$ से ${{45}}^\circ$ का कोण बनती है। 

उत्तर: दिया गया है $\theta \;{{ = }}\;{{45}}^\circ$

${{x - 2y}}\;{{ = }}\;{{3 }}$ $\Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{x - }}\dfrac{{{3}}}{{{2}}}$

$\Rightarrow \;{{m}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

हमे ज्ञात है कि $\pm \tan \theta \; = \;\dfrac{{{{{m}}_2} - {{{m}}_1}}}{{1 + {{{m}}_1}\;{{{m}}_2}}}$

$\Rightarrow \;{{ \pm tan4}}{{{5}}^{{^\circ }}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{m}}_{{2}}}{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}}}{{{{1 + }}{{{m}}_{{2}}}{{ \times }}\dfrac{{{1}}}{{{2}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2}}{{{m}}_{{2}}}{{ - 1}}}}{{{{2 + }}{{{m}}_{{2}}}}}$

$\Rightarrow {{ \pm 1}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2}}{{{m}}_{{2}}}{{ - 1}}}}{{{{2 + }}{{{m}}_{{2}}}}}$
(i) $1\; = \;\dfrac{{2\;{{{m}}_2} - 1}}{{2 + {{{m}}_2}}}$

$\Rightarrow \;2 + {{{m}}_2}\; = \;2\;{{{m}}_2} - 1$

$\Rightarrow \;{{{m}}_2}\; = \;3$

(ii) $ - 1\; = \;\dfrac{{2\;{{{m}}_2} - 1}}{{2 + {{{m}}_2}}}\;$

$\Rightarrow \; - 2 - {{{m}}_2}\; = \;2\;{{{m}}_2} - 1$

$\Rightarrow \;{{{m}}_2}\; = \; - \dfrac{1}{3}$

12. रेखाओ ${{4x + 7y - 3}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;{{2x - 3y + 1}}\;{{ = }}\;{{0}}$ के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से समान अतः खंड बनती है। 

उत्तर: उस रेखा का समीकरण जो अक्षों से समान अतः खंड बनती है होगा 

$\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{ + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}\;{{ = }}\;{{1}}\; \Rightarrow \;{{x + y}}\;{{ = }}\;{{a}}$ ........(1)

${{4x + 7y - 3}}\;{{ = }}\;0$ .........(2)

${{2x - 3y + 1 }}\;{{ = }}\;0$ ..........(3)

अतः समीकरण (1),(2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{{13}}}}{{,y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{5}}}{{{{13}}}}$

${{x,y}}$ का मान समीकरण (1) पर रखने से हमे मिलेगा

$\dfrac{1}{{13}} + \dfrac{5}{{13}}\; = \;{{a}}$

$\Rightarrow \;{{a}}\; = \;\dfrac{6}{{13}} \Rightarrow \;{{x}} + {{y}}\; = \;\dfrac{6}{{13}}$

$\Rightarrow \;13{{x}} + 13{{y}} - 6\; = \;0$

13. दर्शाइए कि मूल बिन्दु से जाने वाली और रेखा ${{y}}\;{{ = }}\;{{mx + c}}$ से $\theta$ कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण $\dfrac{{{y}}}{{{x}}}\;{{ = }}\;{{ \pm }}\dfrac{{{{m \pm tan\theta }}}}{{{{1}} \mp {{tan\theta }}}}$ है। 

उत्तर: रेखा $\mathrm{y}=\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{x}$, रेखा $\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}$ से $\theta$ कोण बनती है तो $\pm \tan \theta=\dfrac{\mathrm{m}-\mathrm{m}}{1+\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{m}}$

(i) $\tan \theta=\dfrac{\mathrm{m}-\mathrm{m}}{1+\mathrm{m} \mathrm{m}}$

$\tan \theta\left(1+\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{m}\right)=\mathrm{m}^{\prime}-\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{m}^{\prime}(1-\mathrm{m} \tan \theta)=\mathrm{m}+\tan \theta \Rightarrow \mathrm{m}^{\prime}=\dfrac{\mathrm{m}+\tan \theta}{1-\mathrm{m} \tan \theta}$

(ii) $-\tan \theta=\dfrac{\mathrm{m}-\mathrm{m}^{\prime}}{1+\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{m}}$

$-\tan \theta\left(1+\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{m}\right)=\mathrm{m}^{\prime}-\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{m}^{\prime}(1+\mathrm{m} \tan \theta)=\mathrm{m}+\tan \theta \Rightarrow \mathrm{m}^{\prime}=\dfrac{\mathrm{m}-\tan \theta}{1-\mathrm{m} \tan \theta}$

$\therefore \mathrm{m}^{\prime}=\dfrac{\mathrm{m} \pm \tan \theta}{1 \mp \mathrm{m} \tan \theta} \mathrm{y}=\mathrm{m}^{\prime} \mathrm{x}$

$\Rightarrow \dfrac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\dfrac{\mathrm{m} \pm \tan \theta}{1 \mp \mathrm{m} \tan \theta}$

14. $( - 1,1),\;(5,7)$ को मिलने वाली रेखाखंड को रेखा ${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4}}$ किस अनुपद मे विभाजित करती है। 

उत्तर: $( - 1,1),\;(5,7)$ को मिलने वाली रेखाखंड का समीकरण होगा 

${{(y - 1)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{(7 - 1)}}}}{{{{(5 + 1)}}}}{{(x + 1)}}$

$\Rightarrow \;{{6y - 6  = }}\;{{6x  + 6  }} \Rightarrow \,{{x - y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........(1)

${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4}}$ ..........(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{3}}$

अतः रेखा (1) और (2), ${{(1,3)}}$ पे प्रतिच्छेद करती है 

मान लेते है कि रेखा ${{x - y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ , ${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4}}$ को ${{1:k}}$ के अनुपात मे विभाजित करती है

$\therefore \;(1,3)\; = \;\left( {\dfrac{{{{k}}( - 1) + 1(5)}}{{{{k}} + 1}},\dfrac{{{{k}}(1) + 1(7)}}{{{{k}} + 1}}} \right)$

$\therefore \;\dfrac{{ - {{k}} + 5}}{{{{k}} + 1}}\; = \;1\dfrac{{{{k}} + 7}}{{{{k}} + 1}}\; = \;3$

$\therefore \;{{k}} + 1\; = \; - {{k}} + 5$

$\Rightarrow \;2{{k}}\; = \;4\; \Rightarrow \;{{k}}\; = \;2$

तो, रेखा ${{x - y + 2}}\;{{ = }}\;{{0}}$ , ${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4}}$ को ${{1:k}}$ के अनुपात मे विभाजित करती है।

15. बिन्दु ${{(1,2)}}$ से रेखा ${{4x + 7y + 5  =  0 }}$ की ${{2x - y}}\;{{ = }}\;0$ के अनुदशी दूरी ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है कि ${{4x + 7y + 5  =  0 }}$ ........(1)

${{2x - y}}\;{{ = }}\;0$ ........(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x}}\;{{ = }}\; - \dfrac{5}{{{{18 }}}}{{,y}}\;{{ = }}\; - \dfrac{{{5}}}{9}$

रेखाए (1),(2), $( - \dfrac{5}{{{{18 }}}}{{,}} - \dfrac{{{5}}}{9})$ पर प्रतिच्छेद करती है। 

${{(1,2)}}$ की बिन्दु $( - \dfrac{5}{{{{18 }}}}{{,}} - \dfrac{{{5}}}{9})$ से दूरी = $\sqrt {{{\left( {1 + \dfrac{5}{{18}}} \right)}^2} + {{\left( {1 + \dfrac{5}{9}} \right)}^2}}$

$= \;\sqrt {{{\left( {\dfrac{{23}}{{18}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{14}}{9}} \right)}^2}} \; = \;\dfrac{{23}}{9}\sqrt {\dfrac{5}{4}} \;$

$= \;\dfrac{{23\sqrt 5 }}{{18}}$

16. बिन्दु ${{( - 1,2)}}$ से खींची जा सकने वाली उस रेखा की दिशा ज्ञात कीजिए जिसका रेखा ${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4 }}$ से प्रतिच्छेद  बिन्दु दिए गए बिन्दु से ${{3 }}$ इकाई की दूरी पर है 

उत्तर: मान लेते है कि बिन्दु ${{( - 1,2)}}$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ${{y  =  mx  + c }}$ है 

${{2}}\;{{ = }}\;{{ - m + c}}\; \Rightarrow \;{{c}}\;{{ = }}\;{{2 + m}}$

${{mx - y + 2 + m}}$ ........(1)

${{x + y}}\;{{ = }}\;{{4 }}$ ........(2)

समीकरण (1),(2) को हल करने पर ${{x}}\;{{ = }}\,\;\dfrac{{{{2 - m}}}}{{{{m + 1}}}}{{,y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{5m + 2}}}}{{{{m + 1}}}}$

अतः रेखाए (1) और (2) $(\dfrac{{{{2 - m}}}}{{{{m + 1}}}}{{,}}\dfrac{{{{5m + 2}}}}{{{{m + 1}}}})$ पर प्रतिच्छेद करती है 

$(\dfrac{{{{2 - m}}}}{{{{m + 1}}}}{{,}}\dfrac{{{{5m + 2}}}}{{{{m + 1}}}})$ की ${{( - 1,2)}}$ से दूरी = ${{3 }}$

$\therefore \;\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2 - {{m}}}}{{{{m}} + 1}} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5\;{{m}} + 2}}{{\;{{m}} + 1}} - 2} \right)}^2}} \; = \;3$

$\Rightarrow \;{\left( {\dfrac{{2 - {{m}}}}{{{{m}} + 1}} + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{5\;{{m}} + 2}}{{\;{{m}} + 1}} - 2} \right)^2}\; = \;9$

$\therefore \;{\left( {\dfrac{3}{{\;{{m}} + 1}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3\;{{m}}}}{{\;{{m}} + 1}}} \right)^2}\; = \;9 \Rightarrow \;{{{m}}^2} + 1\; = \;{({{m}} + 1)^2}$

$\Rightarrow \;2\;{{m}}\; = \;0 \Rightarrow {{m}}\; = \;0$

कुनकी रेखा की ढाल $0$ है तो रेखा ${{x}}$ - अक्ष के समांतर है।

17. समकोण त्रिभुज के कर्ण के अन्त्य बिन्दु ${{(1,3), ( - 4,1)}}$ है। त्रिभुज के पाद (समकोणीय भुजाओ) का एक समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लेते है कि त्रिभुज के पाद BC की ढाल ${{m }}$ है 

AC की ढाल = ${{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{m}}}$

BC का समीकरण, ${{y - 1}}\;{{ = }}\;{{m(x + 4)}} \Rightarrow \;{{mx - y + 4m + 1}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..........(1)

AC का समीकरण, ${{y}} - 3\; = \; - \dfrac{1}{{\;{{m}}}}({{x}} + 4) \Rightarrow \;{{x}} + {{my}} - 3\;{{m}} + 4\; = \;0$ ........(2)

समकोण त्रिभुज की भुजा BC एवं ${{x}}$ - अक्ष एवं AC ${{y}}$ - अक्ष के समांतर है 

BC का समीकरण होगा ${{y - 1 }}\;{{ = }}\;{{0}}\; \Rightarrow \;{{y}}\;{{ = }}\;{{1}}$

AC का समीकरण होगा ${{x}}\;{{ = }}\;{{1}}$

18. किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु ${{(3,8)}}$ का रेखा ${{x + 3y  =  7 }}$ मे प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है, ${{x + 3y  =  7 }}$ ........(1)

${{y  = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{3}}}{{x + }}\dfrac{{{7}}}{{{3}}}$

बिन्दु P ${{(3,8)}}$ और उसके प्रतिबिंब Q से होकर जाने वाली रेखा होगा और PQ रेखा ${{x + 3y  =  7 }}$ के लम्ब होगी  

अतः PQ की ढाल = ${{3}}$

PQ का समीकरण होगा, 

${{y - 8}}\;{{ = }}\;{{3(x - 3)}} \Rightarrow \;{{3x - y + 5}}\; = \;0$ ........(2)

अतः समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x}}\;{{ = }}\;{{1,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;{{2}}$

रेखा (1) और (2), ${{(1,2)}}$ पर प्रतिच्छेद करेंगे 

O ${{(1,2)}}$ , PQ का मध्य बिन्दु है। मान लेते है कि Q के निर्देशांक ${{(a ,b)}}$ होंगे 

$\therefore \;\dfrac{{{{a}} + 3}}{2}\; = \;1,\;\dfrac{{{{b}} + 8}}{2}\; = \;2 \Rightarrow \;{{a}}\; = \; - 1,\;\;{{b}}\; = \; - 4$

P के प्रतिबिंब Q के निर्देशांक होंगे $( - 1, - 4)$

19. यदि रेखाए ${{y  =  3x  + 1, 2y  =  x + 3 }}$ रेखा ${{y  =  mx  + 4}}$ पर समान रूप से आनत हो तो ${{m}}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है, 

${{y  =  3x  + 1}}$ ..........(1)

${{2y  =  x + 3 }}$…….(2)

${{y  =  mx  + 4}}$ ..........(3)

मान लेते है कि रेखा (1) और रेखा (2) रेखा (3) के साथ $\theta $ कोण बना रही है

${{y}}\;{{ = }}\;{{3x + 1}} \Rightarrow \;{{{m}}_{{1}}}\;{{ = }}\;{{3}}$

${{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{2}}}{{x + }}\dfrac{{{3}}}{{{2}}} \Rightarrow {{{m}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{1}}}{{{2}}}$

$\therefore \;{{tan\theta }}\;{{ = }}\;{{ \pm }}\dfrac{{{{m - 3}}}}{{{{1 + 3m}}}}{{tan\theta }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{2m - 1}}}}{{{{2 + m}}}}$

(i) $\dfrac{{{{m}} - 3}}{{1 + 3\;{{m}}}}\; = \;\dfrac{{2\;{{m}} - 1}}{{2 + {{m}}}} \Rightarrow \;({{m}} - 3)(2 + {{m}})\; = \;(2\;{{m}} - 1)(1 + 3\;{{m}})$

$\Rightarrow \;6\;{{{m}}^2} - {{m}} - 1\; = \;{{{m}}^2} - {{m}} - 1 \Rightarrow \;{{{m}}^2}\; = \; - 1$

चूंकि यह वास्तविक संख्या नहीं है आठ ${{{m}}^2}\; = \; - 1$ मान्य नहीं है।

(ii) $\dfrac{{{{m}} - 3}}{{1 + 3\;{{m}}}}\; = \; - \dfrac{{2\;{{m}} - 1}}{{2 + {{m}}}} \Rightarrow \;({{m}} - 3)(2 + {{m}})\; = \;( - 2\;{{m + }}1)(1 + 3\;{{m}})$

$\Rightarrow \;7{{{m}}^2} - 2\;{{m}} - 7\; = \;0$

$\therefore \;{{m}} = \;\dfrac{{2 \pm \sqrt {4 + 4 \times 49} }}{{14}} \Rightarrow {{m}}\; = \;\dfrac{{1 \pm 5\sqrt 2 }}{7}$

20. यदि एक कहर बिन्दु P ${{(x,y)}}$ की रेखाओ ${{x + y}}\;{{ = }}\;5{{,}}\;3{{x - 2y + 7}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से लांबिक दूरियों का योग सदैव दस रहे तो दर्शाइए कि अनिवार्य रूप से एक पर गमन करता है। 

उत्तर: P ${{(x,y)}}$ की रेखा ${{x + y}}\;{{ = }}\;5$ से लांबिक दूरी = $\dfrac{{{{x + y - 5}}}}{{\sqrt {{2}} }}$ 

और P ${{(x,y)}}$ की रेखा $3{{x - 2y + 7}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से लांबिक दूरी = $\dfrac{{{{3x - 2y - 7}}}}{{\sqrt {13} }}$

दिया गया है कि लांबिक दूरियों का योग = $10$

$\Rightarrow \;\dfrac{{{{x + y - 5}}}}{{\sqrt {{2}} }}{{ + }}\dfrac{{{{3x - 2y - 7}}}}{{\sqrt {{{13}}} }}\;{{ = }}\;{{10}}$

$\Rightarrow \;({{x}} + {{y}} - 5)\sqrt {13}  + (3{{x}} - 2{{y}} - 7)\sqrt 2 \; = \;10\sqrt {26}$

$\Rightarrow \;(\sqrt {13}  + 3\sqrt 2 ){{x}} + (\sqrt {13}  - 2\sqrt 2 ){{y}} - 5\sqrt {13}  + 7\sqrt 2  - 10\sqrt {26} \; = \;0$

यह एक सरल रेखा का समीकरण है। आठ P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।

21 . समांतर रेखाओ ${{9x - 6y - 7}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;3{{x + 2y + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से संदूरस्त रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है, 

${{9x - 6y - 7}}\;{{ = }}\;{{0}}$ .......(1)

$3{{x + 2y + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ..........(2)

मान लेते है P ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ एक बिन्दु है जिसकी रेखा (1) और रेखा (2) से दूरी बराबर है 

P ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ कि रेखा (1) से दूरी, ${{{d}}_1}\; = \;\dfrac{{\left| {9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {6^2}} }}\; = \;\dfrac{{\left| {9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7} \right|}}{{\sqrt {117} }}\; = \;\dfrac{{\left| {9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7} \right|}}{{3\sqrt {13} }}$

P ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ कि रेखा (2) से दूरी, ${{{d}}_2}\; = \;\dfrac{{\left| {3{{{x}}_1} + 2{{{y}}_1} + 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }}\; = \;\dfrac{{\left| {3{{{x}}_1} + 2{{{y}}_1} + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }}$

P ${{(}}{{{x}}_{{1}}}{{,}}{{{y}}_{{1}}}{{)}}$ कि रेखा (1) और रेखा (2) से दूरी बराबर है

$\dfrac{{\left| {9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7} \right|}}{{3\sqrt {13} }}\; = \;\dfrac{{\left| {3{{{x}}_1} + 2{{{y}}_1} + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }}$

$9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7\; = \; \pm 3\left( {3{{{x}}_1} + 2{{{y}}_1} + 6} \right)$

$9{{{x}}_1} - 6{{{y}}_1} - 7\; = \;3\left( {3{{{x}}_1} + 2{{{y}}_1} + 6} \right)$

${{18}}{{{x}}_1}{{ + 12}}{{{y}}_1} + 11\; = \;0$

आठ रेखाओ ${{9x - 6y - 7}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;3{{x + 2y + 6}}\;{{ = }}\;{{0}}$ समदूरस्थ रेखा का समीकरण होगा ${{18x + 12y}} + 11\; = \;0$

22. बिन्दु $(1,2)$ से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण ${{x}}$ - अक्ष के बिन्दु A से परिवर्तित होती है और परिवर्तित किरण बिन्दु ${{(5,3)}}$ से होकर जाती है। A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मान लेते है कि रेखा XX’, ${{x}}$ - अक्ष के अनुदिश है। आठ XX’ के पर के A निर्देशांक ${{(k,0)}}$ है। 

आपतित कोण = परिवर्तित कोण

$\therefore \;\tan \theta \; = \;\tan \left( {{{180}^\circ } - \theta } \right)$

$\angle {{QAX}}\; = \;\theta$

$\therefore \;\angle {{OAP}}\; = \;{180^\circ } - \left[ {\theta  + 2\left( {{{90}^\circ } - \theta } \right)} \right]\;$

$= \;{180^\circ } - \theta  - {180^\circ } + 2\theta \; = \;\theta$

$\therefore \;\angle {{PAX}}\; = \;{180^\circ } - \theta$

AX कि ढाल = ${{tan\theta }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{0 - 3}}}}{{{{k - 5}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - 3}}}}{{{{k - 5}}}}$

AX’ ई ढाल = ${{tan(180^\circ  - \theta )}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{0 - 2}}}}{{{{k - 1}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - 2}}}}{{{{k - 1}}}}$

${{tan(180^\circ  - \theta )}}\;{{ = }}\;{{ - tan\theta }}$

$\dfrac{{{{ - 3}}}}{{{{k - 5}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - 2}}}}{{{{k - 1}}}} \Rightarrow \;3({{k}} - 1)\; = \; - 2({{k}} - 5) \Rightarrow \;5{{k}}\; = \;13 \Rightarrow \;{{k}}\; = \;\dfrac{{13}}{5}$

A निर्देशांक $(\dfrac{{13}}{5},0)$ है।

23. दिखाइए कि ${{(}}\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} {{,0),}}\;{{( - }}\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} {{,0)}}$ बिन्दुओ से रेखा $\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{cos\theta  + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}{{sin\theta }}\;{{ = }}\;{{1}}$ पर खींचे गए लंबों की लम्बाइया का गुणनफल ${{{b}}^2}$ होगा। 

उत्तर: दिया गया है $\dfrac{{{x}}}{{{a}}}{{cos\theta  + }}\dfrac{{{y}}}{{{b}}}{{sin\theta }}\;{{ = }}\;{{1}}$

${{(}}\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} {{,0)}}$ से खींचे गए लंब कि लंबाई ${{{P}}_{{1}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} }}{{{a}}}{{cos\theta  + 0 - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}} }}$

${{( - }}\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} {{,0)}}$ से खींचे गए लंब कि लंबाई ${{{P}}_2}\;{{ = }}\;\dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} }}{{{a}}}{{cos\theta  + 0 - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}} }}$

${{{P}}_{{1}}}{{ \times }}{{{P}}_{{2}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} }}{{{a}}}{{cos\theta  - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}} }}{{ \times }}\dfrac{{{{ - }}\dfrac{{\sqrt {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} }}{{{a}}}{{cos\theta  - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}} }}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{1 - }}\dfrac{{{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{\dfrac{{{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{a}}^{{2}}}}}{{ + }}\dfrac{{{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}{{{{{b}}^{{2}}}}}}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{{b}}^{{2}}}\left[ {{{ - }}\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} \right){{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  + }}{{{a}}^{{2}}}} \right]}}{{{{{b}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  + }}{{{a}}^{{2}}}{{si}}{{{n}}^{{2}}}{{\theta }}}}$

${{ = }}\;\dfrac{{{{ - }}{{{b}}^{{2}}}\left[ {\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} \right){{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  - }}{{{a}}^{{2}}}} \right]}}{{{{{b}}^{{2}}}{{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  + }}{{{a}}^{{2}}}\left( {{{1 - co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta }}} \right)}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{ - }}{{{b}}^{{2}}}\left[ {\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} \right){{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  - }}{{{a}}^{{2}}}} \right]}}{{{{ - }}\left[ {\left( {{{{a}}^{{2}}}{{ - }}{{{b}}^{{2}}}} \right){{co}}{{{s}}^{{2}}}{{\theta  - }}{{{a}}^{{2}}}} \right]}}\;{{ = }}\;{{{b}}^{{2}}}$

24. एक व्यक्ति समीकरण ${{2x - 3y + 4}}\;{{ = }}\;{{0,}}\;3{{x + 4y - 5}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिन्दु पे खड़ा है और समीकरण ${{6x - 7y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से निरूपित पथ पर न्यूटम समय मे पहुचना चाहता है। उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है, 

${{2x - 3y + 4}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........(1)

$3{{x + 4y - 5}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........(2)

${{6x - 7y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$ ........(3)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमे मिलेगा ${{x}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{1}}}{{{{17}}}}{{,}}\;{{y}}\;{{ = }}\;\dfrac{{{{22}}}}{{{{17}}}}$

आठ व्यक्ति ${{( - }}\dfrac{{{1}}}{{{{17}}}}{{,}}\dfrac{{{{22}}}}{{{{17}}}})$ पर खड़ा है। 

${{6x - 7y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से निरूपित पथ तक फूचने मे उसे न्यूटम समय तब लगेगा जब वह कम से कम दूरी तय करेगा। अतः उसे ${{6x - 7y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से लम्बवत दिशा मे चलना होगा। 

${{6x - 7y + 8}}\;{{ = }}\;{{0}}$ से लम्बवत रेखा कि ढाल = ${{ - }}\dfrac{7}{6}$

${{( - }}\dfrac{{{1}}}{{{{17}}}}{{,}}\dfrac{{{{22}}}}{{{{17}}}})$ से जाने वाली रेखा जिसकी ढाल ${{ - }}\dfrac{7}{6}$ है का समीकरण होगा

${{y - }}\dfrac{{{{22}}}}{{{{17}}}}\;{{ = }}\;{{ - }}\dfrac{{{7}}}{{{6}}}\left( {{{x + }}\dfrac{{{1}}}{{{{17}}}}} \right)$

$\therefore \;{{6(17y - 22)}}\;{{ = }}\;{{ - 7(17x + 1)}}$

$\Rightarrow \;{{102y - 132}}\;{{ = }}\;{{ - 119x - 7}}$

$\Rightarrow \;{{109x + 102y}}\;{{ = }}\;{{125}}$

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