NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 - In Hindi

प्रश्नावली 9.1

1.से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण कि कोटी एवं घात ज्ञात कीजिए 

1. $\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{4}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{4}}}}}{\text{  =  sin}}\left( {{{\text{y}}^{'''}}} \right){\text{  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण बहुपद समीकरण नहीं है इसलिए घात परिभाषित नहीं है कोटी $4$ है। 

2. ${\text{y'  =  5y  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $1$ है। 

3. ${\left( {\dfrac{{{\text{ds}}}}{{{\text{dt}}}}} \right)^{\text{4}}}{\text{  +  3s}}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{s}}}}{{{\text{d}}{{\text{t}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $2$ है। 

4. ${\left( {\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  +  cos}}\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right){\text{  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण बहुपद समीकरण नहीं है इसलिए घात परिभाषित नहीं है कोटी $2$ है। 

5. $\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  cos 3x  +  sin 3x}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $2$ है। 

6. ${\left( {{\text{y'''}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  +  }}{\left( {{\text{y''}}} \right)^{\text{3}}}{\text{  +  }}{\left( {{\text{y'}}} \right)^{\text{4}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{5}}}{\text{  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $2$ है और कोटी $3$ है। 

7. ${\text{y'''  +  2y''  +  y'  =  0}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $3$ है। 

8. $y^{‘} + {\text{y}} = e^{\text{x}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $1$ है। 

9. ${\text{y''  +  2y' siny  = 0 }}{{\text{e}}^{\text{x}}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $2$ है। 

10. ${\text{y''  +  2y' siny  = 0 }}{{\text{e}}^{\text{x}}}$

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि घात $1$ है और कोटी $2$ है। 

11. ${\left( {\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} \right)^{\text{3}}}{\text{  +  }}{\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  +  sin}}\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right){\text{  + 1  =  0}}$ कि घात ज्ञात कीजिए।

A. $3$

B. $2$ 

C. ${\text{1}}$

D. परिभाषित नहीं है 

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण बहुपद समीकरण नहीं है इसलिए घात परिभाषित नहीं है, (D) सही है।

12:अवकल समीकरण 2 

${\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}\;\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  -  3 }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  y  =  0}}$

A. $2$

B. $1$ 

C. $0$

D. परिभाषित नहीं है 

उत्तर: दि गई अवकल समीकरण कि कोटी $2$ है, (A) सही है।

प्रश्नावली 9.2 

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न मएउ सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पृष्ट अथवा अस्पृष्ट ) संगत 

अवकल समीकरण का हल है |

1. ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  1 : y''  -  y'  =  0}}$

उत्तर: ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  1}}$

इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं।

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{ }}$

${\text{y'  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}\;\;\;\;..........(1)$

अब, ${\text{x}}$ के संबंध में समीकरण (1) का सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{y'}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right) \Rightarrow {\text{y''  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}$

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ और ${\text{y''}}$ रखने पर 

${\text{y''  -  y'  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  -   }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  =  0}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

2. ${\text{y  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  2x  +  C : y'  -  2x  -  2  =  0}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  2x  +  C}}} \right){\text{ }} \Rightarrow {\text{ y'  =  2x  +  2 }}$ 

अब, ${\text{x}}$ के संबंध में समीकरण (1) का सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं:

${\text{y''  =  2x  +  2   =  2x  +  2  -  }}\left( {{\text{ 2x  +  2 }}} \right){\text{  =  0}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है 

3. ${\text{y  =  cos x  +  C : y'  +  sin x  =  0}}$ 

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं।

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{ cos x   +   C}}} \right) \Rightarrow {\text{ y'  =   -  sin x}}$

अब, ${\text{x}}$ के संबंध में समीकरण (1) का सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{y'}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right) \Rightarrow {\text{y''  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}$

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ और ${\text{y''}}$ रखने पर 

${\text{y''  +  sinx  =   -  sin x  +  sin x  =  0}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

4. ${\text{y  =  }}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} {\text{ : y'  =  }}\dfrac{{{\text{xy}}}}{{{\text{1  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} } \right)$

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} } \right)$

${\text{y'  =  }}\dfrac{{{\text{2x}}}}{{{\text{2}}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}$

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}$

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}{\text{ X }}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}$

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}{\text{ }}{\text{. y  =  }}\dfrac{{{\text{xy}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

5. ${\text{y  =  Ax : xy'  =  y(x }} \ne \,\;{\text{0)}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं।

 ${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{Ax}}} \right) \Rightarrow {\text{y'A }}$

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ रखने पर 

${\text{xy'  =  x}}{\text{.A  =  Ax  =  y}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

6. ${\text{y  =  x sin x}}\quad {\text{: xy'  =  y  +  x}}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} $

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं।

${\text{y'  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{x sin x}}} \right)\;\; \Rightarrow {\text{y'  =  sin x }}{\text{. }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\text{x}} \right){\text{  +  x }}{\text{. }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{sin x}}} \right)\;\; \Rightarrow \;{\text{y'  =  sin x  +  cos x}}$

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$रखने पर 

$  {\text{xy'  =  x (sin x  +  x cos x)}} \ \\$

$  {\text{ =  x sin x  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ cos x  =  y  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}\sqrt {{\text{1  -  si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{ x}}}  \ \\$

$  {\text{ =  y  +  x}}\sqrt {{\text{1  -  }}{{\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)}^{\text{2}}}}  \ \\$

$  {\text{ =  y  +  x}}\sqrt {{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}  \\ $

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

7. ${\text{xy  =  log y  +  C : y'  =  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  xy}}}}{\text{(xy }} \ne \;\;{\text{1)}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं।

$  {\text{xy  =  log t  +  C}} \ \\$

अब, ${\text{x}}$ के संबंध में समीकरण  का सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}{\text{(xy)  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}{\text{( log y )}} \ \\$

 $ {\text{ =  y}}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\text{x}} \right){\text{  +  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\text{y}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}{\text{ }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}} \ \\ $

${\text{ =  y  =  xy'  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}{\text{y'}} \ \\$

$  {\text{ =  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  xyy}}'{\text{  =  y'}} \ \\$

$  {\text{ =  (xy  -  1)y'  =   -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ }} \ \\$

$  {\text{ =  y'  =  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  xy}}}} \ \\ $

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

8. ${\text{y  -  cos y  =  x}}\quad {\text{: (y sin y  +  cos y  +  x) y'  =  y}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं।

${\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}{\text{(cos y)  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}{\text{( x )}} \ \\$

$  {\text{ =  y'  +  sin y }}{\text{. y'  =  1}} \ \\$

$  {\text{ =  y'(1  +  sin y)  =  1}} \ \\$

$  {\text{ =  y'  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{(1  +  sin y)}}}} \ \\ $

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ और ${\text{y''}}$ रखने पर 

${\text{ =  (y sin y  +  cos y  +  x ) y'}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

9. ${\text{x  +  y  =  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y : }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{y'  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  1  =  0}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते हैं।

$\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}{\text{(x  +  y)  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{ y}}} \right)$

$  {\text{ =  1  +  y'  =  }}\left[ {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} \right]{\text{y'}}$

$  {\text{ =  y'}}\left[ {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  -  1}}} \right]{\text{  =  1}}$

$  {\text{ =  y'}}\left[ {\dfrac{{{\text{1  -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} \right]{\text{  =  1}}$

$  {\text{ =  y'}}\left[ {\dfrac{{{\text{ -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} \right]{\text{  =  1}}$

$  {\text{ =  y'  =  }}\dfrac{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}$

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ रखने पर 

${\text{  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{y'  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}{\text{ =  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}\left[ {\dfrac{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} \right]{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}$

$  {\text{ =   -  1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  1  =  0}}$

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

10. ${\text{y  =  }}\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} {\text{x}} \in {\text{(  -  a, a) : x  +  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  0(y}} \ne {\text{ 0)}}$

उत्तर: इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हमें प्राप्त करते है।

$\;\;\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} } \right) \ \\$

$  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {{\text{ }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  - }}} \right.\;\left. {{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right) \ \\$

$  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}{\text{(  -  2x)}} \ \\$

$  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{ -  x}}}}{{\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }} \ \\ $

दिए गए अवकल समीकरण में ${\text{y'}}$ रखने पर 

${\text{x  =  y}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  x  +  }}\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} {\text{.}}\;\;\dfrac{{{\text{ -  x}}}}{{\sqrt {{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }} \ \\$

$  {\text{ =  x  -  x  =  0}} \ \\ $

इस प्रकार, दिए गए समीकरण संबंधित अवकल समीकरण का समाधान है। 

11. चार कोटी वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेछ अचरों कि संख्या है 

  (A) $0$ 

  (B)  $2$

  (C)  $3$ 

  (D)  $4$

उत्तर:  हम जानते हैं कि क्रम n के एक अवकल समीकरण के सामान्य समीकरण में उपस्थित                    अचरों को संख्या के घात के बराबर होता है इसलिए, चोंथे क्रम के अवकल समीकरण के के सामान्य समीकरण में उपस्थित स्वेछ अचरों को संख्या चार है इसलिए सही उत्तर (D) है।   

12. तीन कोटी वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेछ अचरों कि संख्या है

  (A)  $3$

  (B)  $2$

  (C)  $1$

  (D)  $0$ 

सही उत्तर (D) है। 

प्रश्नावली 9.3 

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों ${\text{a}}$ तथा ${\text{b}}$ को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए:

1. ${\text{x / a  +  y / b  =  1}}$

उत्तर: ${\text{x / a  +  y / b  =  1}}$

${{\text{1/a  +  1dy / bdx  =  0}}}$

${{\text{0  +  1}}{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / b d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}}}$

${{\text{1 / b}}  \times  {{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}}}$

${{\text{1 / b}}\left( {{\text{y''}}} \right){\text{  =  0}}}$

${{\text{y''  =  0}}}$

2. ${\text{ye  =  a}}\left( {{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)$

उत्तर: ${{\text{y}}^2}{\text{  =  a}}\left( {{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)$

${\text{2y dy / dx  =  a(0  -  2x)}}$

${\text{2yy'  =   -  2ax}}$

${\text{yy'  =   -  ax}}$

${\text{yy''  +  }}{\left( {{\text{y'}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  =   -  a}} \ \\$

${\text{yy'  =  }}\left[ {{\text{yy'' +  }}{{\left( {{\text{y'}}} \right)}^{\text{2}}}} \right]{\text{x}}$

${\text{yy''  =  x}}\left[ {{{\left( {{\text{y''}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{  +  yy''}}} \right]$

${\text{yy'  =  x}}{\left( {{\text{y'}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  +  xyy''}}$

${\text{xyy''  +  x}}{\left( {{\text{y'}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  -  yy'  =  0}}$

3. ${\text{y  =  a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x  +  b e}}{{\text{ - }}^{{\text{ 2}}}}{\text{x}}$

उत्तर: ${\text{y  =  a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x  +  b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}..................................................................{\text{(i)}}$   

$ {\text{dy / dx  =  a d}}\left( {{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x}}} \right){\text{ / dx  +  b d}}\left( {{\text{e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}} \right){\text{ / dx}}$

${\text{dy / dx  =  a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x d(3x) / dx  +  b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x d (  -  2x) / dx}}$

${\text{dy / dx  =  3a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x  -  2b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}.......................................................{\text{(ii)}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x d(3x) / dx  -  2b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x d(  -  2x) / dx}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  9a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x  +  4b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3}}\left( {{\text{3a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x}}} \right){\text{  +  4b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3}}\left( {{\text{dy / dx  +  2b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}} \right){\text{  +  4b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x }}.........................{\text{(ii) }}$ से 

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3dy / dx  +  6b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x  +  4b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3dy / dx  +  10b e}}{{\text{ }}^{{\text{ - 2}}}}{\text{x}}$

${\text{(i)  \times  3}}$

${\text{3y  =  3a }}{{\text{e}}^{\text{3}}}{\text{x  +  3b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${\text{(ii)  -  (i)  \times  3}}$

${\text{dy / dx  -  3y  =   -  2b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x  -  3b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${\text{3y  -  dy / dx  =  5b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}$

${\text{b  =  (3y  -  dy / dx) / 5 e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}.........................................................{\text{(iii)}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3dy / dx  +  10b e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x }}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3dy / dx  +  10(3y  -  dy / dx) }}{\text{.  e}}{{\text{ }}^{{\text{ - 2}}}}{\text{x / 5e }}{{\text{ - }}^{\text{2}}}{\text{x}}  \_\_\_\_\_(iii)$ से 

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3dy / dx  +  2 (3y  -  dy / dx)}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  3 dy / dx  +  6y  -  2dy / dx}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  dy / dx  +  6y}}$

${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  dy / dx  -  6y  =  0}}$

${\text{y''  -  y'  -  6y  =  0}}$

4. ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x (a  +  bx)}}$

उत्तर: ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x(a  +  bx)}}..........................{\text{(i)}}$

  $ {\text{y'  =  2}}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x(a  +  bx)  +  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x }}{\text{. b}} \ \\$

$  {\text{y'  =  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x(2a  +  2bx  +  b)}}................{\text{(ii) }} \ \\$

$  {\text{              (ii)  -  (i)  \times  2}} \ \\$

$  {\text{y'  -  2y  =  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x (2a  +  2bx  +  b)  -  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x(2a  +  2bx)}} \ \\$

$  {\text{y'  -  2y  =  }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x(2a  +  2bx  +  b  -  2a  -  2bx)}} \ \\$

$  {\text{y'  -  2y  =  b}}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x}}............................{\text{(iii)}} \ \\$

$  {\text{y''  -  2y'  =  2b }}{{\text{e}}^{\text{2}}}{\text{x}}.........................{\text{(iv)}}\quad {\text{ }} \ \\$

$  {\text{               (iii) / (iv)}} \ \\ $

$\left( {{\text{y'  -  2y'}}} \right){\text{ / }}\left( {{\text{y'  -  2y}}} \right){\text{  =  2}} \ \\$

$  {\text{y''  -  2y'  =  2y  -  4y}} \ \\$

$  {\text{y''  -  2y'  -  2y'  +  4y  =  0}} \ \\$

$  {\text{y''  -  4y'  +  4y  =  0}} \ \\ $

5. ${\text{y  =  e x (a cos x  +  b sin x)}}$

उत्तर: ${\text{y'  =  ex (a cos x  +  b sin x)  +  ex (  -  a sin x  +  b cos x)}}.....................{\text{(i)}}$               

$\begin{align} {\text{y'  =  ex (a cos x  +  b sin }}\left. {\text{x}} \right){\text{  +  ex }}\left( {{\text{  -  a}}} \right.{\text{ sin x  +  b cos x)}} \\ {\text{y'  =  ex (a cos x  +  b sin x  -  a sin x  +  b cos x)}} \\ {\text{y'  =  ex [cos x(a  +  b)  -  sin x(a  -  b)]}}.........................{\text{(ii)}} \\ {\text{y''  =  ex [cos x(a  +  b)  -  sin x(a  -  b)]  + ex [  -  sin x(a  +  b)  -  cos x(a  -  b)]}} \\ {\text{y''  =  ex (2b cos x  -  2a sin x)}} \\ {\text{y''  =  2 ex (b cos x  -  a sin x)}} \\ {\text{y'' / 2  =  ex (b cos x  -  a sin x)}}..................................{\text{(iii)}} \\ {\text{       (i)  +  (iii)}} \\ {\text{y  +  y''/ 2  =  ex }}\left( {{\text{a cos x  +  b sin x}}} \right){\text{  +  ex }}\left( {{\text{b cos x  -  a sin x}}} \right) \\ {\text{y  +  y''/ 2  =  ex (a cos x  +  b sin x  +  b cos x  -  a sin x)}} \\  \end{align} $

 ${\text{y  +  y''/ 2  =  ex }}\left[ {{\text{cos x}}\left( {{\text{a  +  b}}} \right){\text{  -  sin x}}\left( {{\text{a  -  b}}} \right)} \right]$

  ${\text{y  +  y''/ 2  =  y'\_\_\_\_\_\_(ii)}}$ से 

  ${\text{2y  +  y''  =  2y' }} \\$

$  {\text{y''  -  2y'  +  2y  =  0}} \\ $

6. ${\text{y}}$-अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $\left( {{\text{a,0}}} \right)$ गोले का केंद्र है 

     त्रिज्या ${\text{ =  a}}$

     गोले का समीकरण $\left( {{\text{a,0}}} \right)$ पर ${\text{ =  (x  -  a}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}$ 

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{ - 2ax - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ = }}{{\text{a}}^{\text{2}}}$

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ = 2ax}}$ ${\text{2x + 2yy' = 2a}}$

$  {\text{x  +  2yy'  =  a}}...........................{\text{(i)}} \\ $

          ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}\left( {{\text{x  +  2yy'}}} \right){\text{x\_\_\_\_\_\_\_\_\_(i)}}$ से 

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  2xyy' }} \\$

$  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  2xyy'  =  0}} \\$

$  {\text{2xyy'  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\ $

7. ऐसे परवलयों के कुल का अवकलन समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिंदु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक ${\text{y}}$- अक्ष की दिशा में है।

उत्तर: ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  4ay}}.................{\text{(i)}}$

$  {\text{2x  =  4ay'}}................{\text{(ii)}} \\$

$  {\text{   (ii) / (i)}} \\$

$  {\text{2x / }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  4ay'/ 4ay}} \\$

$  {\text{2 / x  =  y' / y}} \\$

$  {\text{xy'  =  2y}} \\$

$  {\text{xy'  -  2y  =  0}} \\ $

8. ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकलन समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ ${\text{y}}$-              अक्ष पर है तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।

उत्तर: ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  1}}$

$  {\text{2x / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  2yy'/ }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$ {\text{2}}\left( {{\text{x / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{ + yy' / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}} \right){\text{ = 0}} $

$  {\text{x / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  yy'/ }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  {\text{1 / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}\left( {{\text{y'y'  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  {\text{1 / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =   -  }}\left( {{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}................{\text{(i)}} \\$

$  {\text{x / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  yy'/ }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\ $

     ${\text{x}}\left[ {{\text{  -  }}\left( {{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}} \right]{\text{  +  yy' / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0\_\_\_\_\_\_\_(i)}}$ से 

   ${\text{ -  xy' / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{ -  xyy' / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  +  yy' / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  {\text{ -  xy}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  -  xyy''  +  yy'  =  0}} \\$

$  {\text{xyy''  +  xy}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  -  yy'  =  0}} \\ $

9. ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकलन समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभिया

 ${\text{x}}$- अक्ष पर है तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है।

उत्तर: ${\text{2x / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  2yy'/ }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}}$

 ${\text{x / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  y}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} $

$  {\text{1 / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}\left( {{\text{y'y'  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  {\text{1 / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\left( {{\text{y'y'  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}...........................{\text{(i)}} \\$

$  {\text{x / }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  yy'/ }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\ $

${\text{x}}\left[ {\left( {{\text{y'y'  +  yy''}}} \right){\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}} \right]{\text{  -  yy' / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0\_\_\_\_(i)}}$से

 ${\text{xy}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{ / }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  +  xyy''/ }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  -  yy'/ }}{{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  {\text{xy}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  xyy''  -  yy'  =  0}} \\$

$  {\text{xyy''  +  xy}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  -  yy'  =  0}} \\ $

10. ऐसे वृत्तों के कुल का अवकलन

 समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केंद्र ${\text{Y}}$- अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या ${\text{3}}$ इकाई है।

उत्तर: मान लीजिए गोले का केंद्र $\left( {{\text{0, b}}} \right)$ है

  हम जानते हैं वृत्तों के कुल, जिसका केंद्र $\left( {{\text{0, b}}} \right)$ है तथा जिसकी त्रिज्या ${\text{3}}$ इकाई है। उसका 

  समीकरण:

 $ {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  (y  -  b}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  (3}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \\$

$ {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + (y - b}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ = 9}} \\ {\text{2x + 2(y - b) }}{\text{. y' = 0}} \\$

$  {\text{2(y  -  b) }}{\text{. y'  =   -  2x}} \\$

$  {\text{(y  -  b) }}{\text{. y'  =   -  x}} \\$

$  {\text{(y  -  b)  =   -  x / y'}}..............................{\text{(i)}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  (y  -  b}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  9}} \\ $

 ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{\left( {{\text{ -  x / y'}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  =  9\_\_\_\_\_(i)}}$ से 

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ / y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  =  9}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}\left[ {{\text{1  +  }}\left( {{\text{1 / y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}} \right)} \right]{\text{  =  9}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}\left[ {\left( {{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{ / y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}} \right]{\text{  =  9}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}\left( {{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  =  9y}}{{\text{'}}^{\text{2}}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  9y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\$

$  \left( {{\text{y}}{{\text{'}}^{\text{2}}}} \right)\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  9}}} \right){\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  0}} \\ $

11. निम्नलिखित अवकलन समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल 

${\text{y  =  c1e x  +  c2e  -  x}}$है?

(a) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  y  =  0}}$

(b) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  y  =  0}}$

(c) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1  =  0}}$

(d) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1  =  0}}$

उत्तर: (b) सही उत्तर है 

 ${\text{dy / dx = c1 e x - c2 e - x}} \\ {{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ = c1 e x + c2 e - x}} \\$

$  {{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  y}} \\$

$  {{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  y  =  0}} \\ $

12. निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल ${\text{y  =  x}}$ है?

(a) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ dy / dx  +  xy  =  x}}$

(b) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x dy / dx  +  xy  =  x}}$

(c) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ dy / dx  +  xy  =  0}}$

(d) ${{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y / d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x dy / dx  +  xy  =  0}}$

उत्तर: (c ) सही उत्तर है

     ${\text{       y'  =  1}} \\$

$  {\text{       y''  =  0}} \\ $

  अब विकल्प (c) से 

$  {{\text{d}}^2}{\text{y / d}}{{\text{x}}^2}{\text{  -  }}{{\text{x}}^2}{\text{ dy / dx  +  xy}} \\$

 $ {\text{ =  0  -  }}{{\text{x}}^2}{\text{  +  xy}} \\$

$  {\text{ =   -  }}{{\text{x}}^2}{\text{  +  x }}{\text{. x}} \\$

$  {\text{ =   -  }}{{\text{x}}^2}{\text{ + }}{{\text{x}}^2} \\$

$  {\text{ =  0}} \\ $

प्रश्नावली 9.4  

1 से 10 तक के प्रश्रों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिये|

1: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  -  cos x}}}}{{{\text{1  +  cos x}}}}$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  -  cos x}}}}{{{\text{1  +  cos x}}}}$

  $\Rightarrow \int {\text{d}} {\text{y  =  }}\int {\dfrac{{{\text{1  -  cos x}}}}{{{\text{1  +  cos x}}}}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\int {\dfrac{{{\text{2si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{2}}}}}{{{\text{2co}}{{\text{s}}^{\text{2}}}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{2}}}}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\int {\text{2}} {\text{ ta}}{{\text{n}}^{\text{2}}}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{2}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\int {\left( {{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right)\;} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =   tan}}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{2}}}\;{\text{ -  x  +  }}{\text{C}} \\ $

2: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{4  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{       ( - 2  <  y  <  2)}}$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{4  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{       ( - 2  <  y  <  2)}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   $\Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{\sqrt {{\text{4 - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} }}{\text{  =  dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{4  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} }}} {\text{dy  =  }}\int {\text{d}} {\text{x}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{2}}}{\text{  =  x  +  C}} \\$

$  {\text{Y  =  2(sin (x  +  C)}} \\ $

 3: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  y  =  1}}\quad {\text{(y}} \ne {\text{1)}}$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  y  =  1}}\quad {\text{(y}} \ne {\text{1)}}$

    चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर

   $\Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{1  -  y}}}}{\text{  =  dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{1  -  y}}}}} {\text{dy  =  }}\int {{\text{dx}}}  \\ $

$   \Rightarrow {\text{ -  log (1  -  y)  =  x  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x  =   -  log (1  -  y)  -  log (C)  =   -  log C((1  -  y))}} \\$

$   \Rightarrow {\text{C(1  -  y)  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{(1  -  y)  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{c}}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  1  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{c}}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}} \\ $

   माना कि ${\text{      -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{c}}}{\text{  =  A}}$

   ${\text{y  =  1  +  A}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}$

4:  ${\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{x tan y dx  +  se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{x tan y dy  =  0}}$

उत्तर: दिया है $ \Rightarrow \dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{x }}}}{{{\text{tan x }}}}{\text{dx  +  }}\dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{tan y }}}}{\text{dy  =  0}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{tan x  tan y }}$से भाग करने पर 

   $\Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{x}}}}{{{\text{tan x}}}}} {\text{ dx  +  }}\int {\dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{tan y}}}}\;} {\text{dy  =  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log (tan x)  +  log (tan y)  =  log (C)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log (tan x tan y)  =  log (C)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{tan x tan y  =  C}} \\ $

5:  $\left( {{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right){\text{dx  -  }}\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right){\text{dy  =  0}}$

उत्तर: दिया है $ \Rightarrow {\text{dy   =  }}\dfrac{{\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right)}}{\text{ dx}}$

 $ \Rightarrow \int {{\text{dy  =  }}\int {\dfrac{{\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right)}}} } {\text{ dx}} \\$

$  {\text{y  =  log }}\left( {{{\text{e}}^{{\text{ x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}} \right){\text{  +  C}} \\$ 

6: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

 $\Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dx}} \\$

$  {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y  =  }}\left( {{\text{x  +  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{3}}}}}{{\text{3}}}} \right){\text{  +  C}} \\ $

7: ${\text{y log y dx  -  x dy  =  0}}$

उत्तर: दिया है ${\text{y log y dx  -  x dy  =  0}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

$  \dfrac{{{\text{dx}}}}{{\text{x}}}{\text{  -  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{y log y}}}}{\text{  =  0}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{dx}}}}{{\text{x}}}} {\text{  -  }}\int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{y log y}}}}} {\text{  =  0}} \\$

   माना ${\text{log y  =  t}}$

$   \Rightarrow {\text{log (x)  -  }}\int {\dfrac{{{\text{dt}}}}{{\text{t}}}} {\text{  =  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log (t)  =  log (x)  +  log (C)}} \\$

$\Rightarrow {\text{log (log y)  =  log (Cx)}} \\4=$

$   \Rightarrow {\text{log y  =  Cx}} \\$

$  {\text{y  =  }}{{\text{e}}^{{\text{Cx}}}} \\ $

8:  ${{\text{x}}^{\text{5}}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}{{\text{y}}^{\text{5}}}$

उत्तर: दिया है ${{\text{x}}^{\text{5}}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}{{\text{y}}^{\text{5}}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर

$  \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{{\text{y}}^{\text{5}}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{{\text{x}}^{\text{5}}}}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{{\text{y}}^{\text{5}}}}}} {\text{  =  }}\int {\;{\text{ - }}} \;\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{{\text{x}}^{\text{5}}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{{\text{y}}^{{\text{ -  5  +  1}}}}}}{{{\text{ -  5  +  1}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{{\text{ -  5  +  1}}}}}}{{{\text{ -  5  +  1}}}}{\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{{\text{y}}^{{\text{ -  4}}}}}}{{{\text{ -  4}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{{\text{ -  4}}}}}}{{{\text{ -  4}}}}{\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{x}}^{{\text{ -  4}}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{{\text{ -  4}}}}{\text{  =   -  4C}}\quad \,\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{( -  4C  =  A)}} \\$

$ {{\text{x}}^{{\text{ - 4}}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{{\text{ - 4}}}}{\text{ = A}} \\ $

9:  $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x}}$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

     ${\text{dy  =  si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x dx}}$

 $\Rightarrow \int {\text{d}} {\text{y = }}\int {{\text{si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}} {\text{x dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\int {{\text{si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}} {\text{x }}{\text{. 1 dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  x si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  -  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}} {\text{x dx}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{y  =  x si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{{\text{2x}}}}{{\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  x si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{  \times  2}}\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} {\text{  +  C}} \\$

$  {\text{y  =  x si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  }}\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} {\text{  +  C}} \\ $

10: ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{tan y dx  +  }}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right){\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y dy  =  0}}$

उत्तर: दिया है ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{tan y dx  +  }}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right){\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y dy  =  0}}$

    चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

  $\dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{tan y}}}}{\text{ dy  =  }}\dfrac{{{\text{ -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right)}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{tan y}}}}} {\text{ dy  =  }}\int {\dfrac{{{\text{ -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right)}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log (tan y)  =  log }}\left( {\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right){\text{  +  log (C)}}} \right. \\$

$   \Rightarrow {\text{log (tan y)  =  log}}\left( {{\text{C}}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right)} \right. \\$

$  {\text{tan y  =  C}}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}} \right) \\ $

11 से 14 तक के प्रश्रों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को संतुष्ट करने वाले विशिष्ट हल ज्ञात कीजिये|

11: $\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x ; y  =  1 ,x  =  0}}$

उत्तर: दिया है

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   ${\text{dy  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}}}{{\left. {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}} \right)}}{\text{ dx}} \\$

 $  \Rightarrow \int {{\text{dy}}} {\text{  =  }}\int {\dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}}}{{\left. {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}} \right)}}} {\text{dx  =  }}\int {\dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{(x  +  1)}}}}} {\text{ dx \ldots  \ldots }}.....{\text{(i)}} \\$

$dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{(x  +  1)}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{A}}}{{{\text{(x  +  1)}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{{\text{Bx  +  C}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  =  A}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  +  (Bx  +  C)(x  +  1)}}.............................{\text{(i)}} \\$

$  {\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  =  A}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  +  B}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}} \right){\text{  +  C(x  +  1)}} \\ $

    (ii) में ${\text{(x  +  1)  =  0, x  =   -  1}}$ रखने पर

     ${\text{2  -  1  =  A(1  +  1), A  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}$

     ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{, x}}$ तथा अचर का गुणआंक को तुलना करने पर   

      ${\text{B  =  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{2}}}{\text{;C  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}$

     ${\text{A, B \&  C}}$ का मान रखने पर 

$  \int {{\text{dy}}} {\text{  =  }}\int {\dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x}}}}{{\left. {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}} \right)}}} {\text{ dx  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{(x  +  1)}}}}} {\text{ dx  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{{\text{3x  -  1}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{(x  +  1)}}}}} {\text{ dx  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}\int {\dfrac{{{\text{2x}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}} {\text{ dx  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}} {\text{ dx}} \\ $

    $dfrac{{{\text{2x}}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right)}} {\text{ }}$में $\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  =  t}}$रखने पर 

     $ \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log (x  +  1)  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  C}} \\$

$  \because {\text{y  =  1 ; x  =  0}} \\$

$  {\text{1  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log (0  +  1)  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log (0  +  1)  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{0  +  C}} \\$

 $ {\text{C  =  1}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log(x  +  1)  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  1}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{ }}{\text{. 2 log (x  +  1)  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  1}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log (x  +  1}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log}}{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)^{\text{3}}}{\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  1}} \\$

$  {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}\left( {{\text{log (x  +  1}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}^{\text{3}}}{\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  +  1}}} \right. \\ $

12: ${\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1 ; y  =  0 , x  =  2}}$

उत्तर: दिया है ${\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1 ; y  =  0 , x  =  2}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   ${\text{dy  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right)}}{\text{dx  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{x(x  -  1)(x  +  1)}}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\text{d}} {\text{y  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{x(x  -  1)(x  +  1)}}}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\int {\left[ {{\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2(x  -  1)}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2(x  +  1)}}}}} \right]} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y  =   -  log x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log (x  -  1)  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log (x  +  1)  +  C \ldots  \ldots }}...{\text{(i) }} \\$

$  \because {\text{ y  =  0 ; x  =  2}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{0  =   -  log 2  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log (1)  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log (3)  +  C}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{C  =  log 2  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log(3)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =   -  log x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log (x  -  1)  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log (x  +  1)  +  log 2  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log(3)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{(log(3)  -  2 log 2) }} \\$

$  {\text{y  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log }}\dfrac{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}} \right)}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}\left( {{\text{log}}\left( {\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}} \right)} \right. \\ $

13: ${\text{cos}}\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right){\text{  =  a  (a}} \in {\text{R) ; y  =  1, x  =  0}}$

उत्तर: दिया है ${\text{cos}}\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right){\text{  =  a  (a}} \in {\text{R) ; y  =  1, x  =  0}}$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   $ {\text{dy = co}}{{\text{s}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{a dx}} \\ \Rightarrow \int {{\text{dy}}} {\text{ = }}\int {{\text{co}}{{\text{s}}^{{\text{ - 1}}}}} {\text{a dx + C}} \\$

$ {\text{y = co}}{{\text{s}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{a }}{\text{. x + C}} \\ \because {\text{ y = 1 ; x = 0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{2  =  0  +  C ; C  =  2}} \\$

$ \Rightarrow {\text{y = co}}{{\text{s}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{a }}{\text{. x + 2}} \\ {\text{co}}{{\text{s}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{y - 2}}}}{{\text{x}}}} \right){\text{ = a}} \\ $

14: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  y tan x  ; y  =  2, x  =  0}}$

उत्तर: दिया है $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  y tan x  ; y  =  2, x  =  0}}$

     चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

$  \dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  tan x dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}} {\text{  =  }}\int {{\text{tan}}} {\text{ x dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log y  =   -  }}\int {\dfrac{{{\text{ -  sin x}}}}{{{\text{cos x}}}}} {\text{dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log y  =   -  log cos x  +  C}} \\$

$  \because {\text{y  =  1 ; x  =  0}} \\$

$  {\text{log 1  =   -  log cos 0  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log y  =   -  log cos x }} \\$

$   \Rightarrow {\text{log y log cos x  =  0}} \\$

$  {\text{y cos x  =  1}} \\$

$  {\text{y  =  sec x}} \\ $

15: बिंदु $(0,0)$से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण ${\text{y'  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ sin x}}$है।

उत्तर: दिया है ${\text{y'  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ sin x}}$

    चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   ${\text{dy  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ sin x dx}} \\$

 $ \int {{\text{dy}}} {\text{  =  }}\int {{{\text{e}}^{\text{x}}}} {\text{sin x dx  +  C}} \\$

$  {\text{Y  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{x}}}}}{{\text{2}}}{\text{(sin x  -  cos x)  +  C}} \\ $

    क्यूंकी यह ${\text{(0,0)}}$ से गुजर रहा है 

  ${\text{0  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{0}}}}}{{\text{2}}}{\text{(sin 0  -  cos 0)  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}} \\$

$  {\text{Y  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{x}}}}}{{\text{2}}}{\text{(sin x  -  cos x)  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}} \\$

$  {\text{2Y  -  1  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(sin x  -  cos x)}} \\ $

16: अवकल समीकरण ${\text{xy}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  (x  +  2)(y  +  2)}}$के लिए बिंदु$\left( {1, - 1} \right)$ से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है ${\text{xy}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  (x  +  2)(y  +  2)}}$

    चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

   $\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{y  +  2}}}}{\text{dy  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  2}}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$  \left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{y  +  2}}}}} \right){\text{ dy  =  }}\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{x}}}} \right){\text{ dx}} \\$

$  \int {\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{y  +  2}}}}} \right)} {\text{ dy  =  }}\int {\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{x}}}} \right)} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y  -  2 log (y  +  2)  =  x  +  2 log (x)  +  C}} \\ $

     क्यूंकी यह $\left( {1, - 1} \right)$  से गुजर रहा है 

    ${\text{ -  1  -  2 log (  -  1  +  2)  =  1  +  2 log (1)  +  C}} \\$

$  {\text{C  =   -  2}} \\$

$  {\text{y  -  2 log (y  +  2)  =  x  +  2 log (x)  -  2}} \\$

$  {\text{y  -  x  +  2  =  2 log (y  +  2)  +  2 log (x)}} \\$

$  {\text{y  -  x  +  2  =  log (y + 2}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ }}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\ $

17: बिंदु $\left( {0, - 2} \right)$  से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु $\left( {x,y} \right)$पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के ${\text{x}}$ निर्देशांक के बराबर है।

उत्तर: ${\text{y }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  x}}$

   $\int {\text{y}} {\text{ dy  =  }}\int {\text{x}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  \dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\ $

     क्यूंकी यह $\left( {0, - 2} \right)$  से गुजर रहा है

   $\dfrac{{{\text{ -  }}{{\text{2}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{0}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  2}} \\$

$  \dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}}{\text{  +  2}} \\$

$  {{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  4}} \\ $

18: एक वक्र के किसी बिंदु $\left( {x,y} \right)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु को, बिंदु $\left( { - 4, - 3} \right)$से मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिंदु $\left( { - 2,\;1} \right)$ से गुज़रता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  2 }}{\text{. }}\dfrac{{{\text{y  +  3}}}}{{{\text{x  +  4}}}}$

     चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

      क्यूंकी यह $\left( { - 2,\;1} \right)$  से गुजर रहा है

$ {\text{(1 + 3) = C }}{\left( { - \;2\; + \;4} \right)^2} \\ {\text{C = 1}} \\$

$  {\text{(y  +  3)  =  (x  +  4}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \\ $

19: एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या $3$ ईकाई है और $3$ सेकेंड बाद $6$ ईकाई है, तो ${\text{t}}$ सेकेंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:  माना कि समय ${\text{t}}$ पर गुब्बारे कि त्रिज्या ${\text{r }}$तथा आयतन ${\text{V}}$ है 

    ${\text{V  =  }}\dfrac{{\text{4}}}{{\text{3}}}{{\pi }}{{\text{r}}^{\text{3}}} \\$

$\dfrac{{{\text{dV}}}}{{{\text{dt}}}}{{ = 4 \pi }}{{\text{r}}^{\text{2}}}\dfrac{{{\text{dr}}}}{{{\text{dt}}}}.....................{\text{(i)}} \\$$  \dfrac{{{\text{dV}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{  =  K}} \\$

$  {\text{K  =  4 \pi }}{{\text{r}}^{{\text{2 }}}}\dfrac{{{\text{dr}}}}{{{\text{dt}}}} \\ $

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

$  {\text{K dt  =  4 \pi }}{{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{ dr}} \\$

 $ \int {\text{K}} {\text{ dt  =  }}\int {\text{4}} {\text{ \pi }}{{\text{r}}^{\text{2}}}{\text{ dr}} \\$

$  {\text{Kt  +  C  =  4 \pi }}\dfrac{{{{\text{r}}^{\text{3}}}}}{{\text{3}}}........................{\text{(ii)}} \\$

$  {\text{Qt  =  0, r  =  3}} \\$

$  {\text{4\pi }}\dfrac{{{\text{27}}}}{{\text{3}}}{\text{  =  0  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  36\pi }} \\$

$  {\text{Kt  +  36\pi   =  4 \pi }}\dfrac{{{{\text{r}}^{\text{3}}}}}{{\text{3}}}.................{\text{(iii)}} \\ $

 $ \therefore {\text{ t  =  3 , r  =  6}} \\$

$  {\text{K  \times  3  +  36 \pi   =  4 \pi }}\dfrac{{{\text{216}}}}{{\text{3}}} \\$

$  {\text{K  =  84 \pi }} \\$

$  {\text{84 \pi t  +  36 \pi   =  4 \pi }}\dfrac{{{{\text{r}}^{\text{3}}}}}{{\text{3}}} \\$

$  \dfrac{{{{\text{r}}^{\text{3}}}}}{{\text{3}}}{\text{  =  21 \pi t  +  9\pi }} \\$

$  {\text{r  =  (63 \pi t  +  27\pi }}{{\text{)}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{\text{3}}}}} \\ $

      ${\text{r }}$, गुब्बारे कि त्रिज्या

20: किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि ${\text{\% }}$ वार्षिक की दर से होती है। यदि ${\text{100 }}$रुपये ${\text{10 }}$ वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो दर का मान ज्ञात कीजिए।${\text{(log }}{\text{. 2  =  0}}{\text{.6931)}}$

उत्तर: माना कि मूलधन ${\text{ =  P}}$

     $\dfrac{{{\text{dP}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{  =  P }}\left( {\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}} \right)$

   चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

$  \int {\dfrac{{{\text{dP}}}}{{\text{P}}}\,} {\text{ =  }}\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}\int {{\text{dt  +  C}}}  \\$

$  {\text{log}}\left( {\text{P}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}{\text{t  +  C}}.................{\text{(i)}} \\ $

    जब ${\text{t  =  0}}$ तब ${\text{P  =  }}{{\text{P}}_{\text{0}}}$

   ${\text{log }}\left( {{{\text{P}}_{\text{0}}}} \right){\text{  =  C}} \\$

 $ \forall ,\operatorname{l} {\text{og }}\left( {\text{P}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}{\text{t  +  log}}\left( {{{\text{P}}_{\text{0}}}} \right) \\$

 $ {\text{log}}\left( {\dfrac{{\text{P}}}{{{{\text{P}}_{\text{0}}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}{\text{t}} \\$

$ {\text{P = }}{{\text{P}}_{\text{0}}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}{\text{t}}}} \\$

    यहाँ पर ${\text{P   =  200 ,}}{{\text{P}}_{\text{0}}}{\text{  =  100,t  =  10}}$ वर्ष 

     ${\text{200 = 100 }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{r}}}{{{\text{100}}}}{\text{ }}{\text{. 10}}}} \\$

  ${\text{r  =  10 lo}}{{\text{g}}_{\text{e}}}{\text{ 2  =  10(0}}{\text{.6931)  =  6}}{\text{.931}} \\$

$  {\text{r  =  6}}{\text{.931\% }} \\ $

21: किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि ${\text{5\% }}$ वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में रुपये ${\text{1000}}$ जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि ${\text{10 }}$वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? \[{\text{(e0}}{\text{.5  =  1}}{\text{.648 )}}\]

उत्तर:  माना कि मूलधन ${\text{ =  P}}$

     $\dfrac{{{\text{dP}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{  =  P }}\left( {\dfrac{5}{{{\text{100}}}}} \right)$

     चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

     $\begin{align} \int {\dfrac{{{\text{dP}}}}{{\text{P}}}\,} {\text{ = }}\dfrac{1}{{{\text{20}}}}\int {{\text{dt + C}}} \\ {\text{log}}\left( {\text{P}} \right){\text{ = }}\dfrac{1}{{{\text{20}}}}{\text{t + C}}.................{\text{(i)}} \\ \end{align} $

     $\begin{align} {\text{P = }}{{\text{P}}_{\text{0}}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}{\text{t}}}}{\text{.}}{{\text{e}}^{\text{c}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {{{\text{e}}^{\text{c}}}{\text{ = A}}} \right) \\ {\text{P = A}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}{\text{t}}}} \\ \end{align} $

     यहाँ पर ${\text{P   =  1000 , t  =  0}}$ वर्ष 

   ${\text{1000 = A}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}{{ \times 0}}}} \\ {\text{A = 1000}} \\$

$  {\text{P  =  1000 }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}{\text{t}}}} \\ $

   ${\text{10 }}$वर्ष बाद मूलधन होगा 

   ${\text{P  =  1000 }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{20}}}}{\text{ \times 10}}}}{\text{  =  1000}}{{\text{e}}^{{\text{0}}{\text{. 5}}}}{\text{  =  1648}}$

22: किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या \[{\text{1,00,000}}\] है। \[{\text{2}}\] घंटो में इनकी संख्या में \[{\text{10\%  }}\] की वृद्धि होती है। कितने घंटों में जीवाणुओं की संख्या \[{\text{2,00,000}}\] हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।

उत्तर: $\dfrac{{{\text{dN}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{\alpha N}}$

 $\dfrac{{{\text{dN}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{  =  KN}}$

चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर

$  \int {\dfrac{{{\text{dN}}}}{{\text{N}}}} {\text{  =  }}\int {{\text{Kdt}}} {\text{  +  C}} \\$

$  {\text{log(N)  =  Kt  +  C \ldots  \ldots  }}.....{\text{(i) }} \\$

$  {\text{t  =  0\;N  =  100000}} \\ $

 $ {\text{log (100000)  =  K  \times  0  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  log (100000)}} \\$

$  {\text{log (N)  =  Kt  +  log (100000) \ldots  \ldots  \ldots }}{\text{. (ii) }} \\$

$  {\text{log }}\left( {\dfrac{{\text{N}}}{{{\text{100000}}}}} \right){\text{  =  Kt}} \\ $

 जब ${\text{t  =  2 , N  =  10000  +  }}\dfrac{{{\text{100000  \times  10}}}}{{{\text{100}}}}{\text{  =  110000}}$

   ${\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{110000}}}}{{{\text{100000}}}}} \right){\text{  =  K  \times  2}} \\$

 $ {\text{K  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right) \\$

$  \forall {\text{ log }}\left( {\dfrac{{\text{N}}}{{{\text{100000}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right){\text{t}}...........{\text{(iii)}} \\ $

$  {\text{t  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right)}}{\text{log }}\left( {\dfrac{{\text{N}}}{{{\text{100000}}}}} \right) \\$

$  {\text{N  =  200000 t  =  T}} \\$

$  {\text{T  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{log}}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right.}}{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{200000}}}}{{{\text{100000}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right)}}{\text{log (2)}} \\$

$  {\text{T  =  }}\dfrac{{{\text{2 log (2)}}}}{{{\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{11}}}}{{{\text{10}}}}} \right)}} \\ $

23: अवकल समीकरण $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{x  +  y}}}}$का व्यापक हल है:

(A) ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =  C}}$

(B) ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  =  C}}$

(C) ${{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  =  C}}$

(D) ${{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =  C}}$

उत्तर:  $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{x  +  y}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{x }}}}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{ y}}}}$

चरों को पृथक्करण करके समाकलन करने पर 

 $\int {{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}} {\text{ dy  =  }}\int {{{\text{e}}^{\text{x}}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{ -  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  C}} \\$

$  {{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =  C}} \\ $

     अतः विकल्प (A) सही है

प्रश्नावली 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रशन में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकर ण समघातीय हैं और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए :

1: $\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}} \right){\text{ dy  =  (}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{) dx}}$

उत्तर:  दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{(}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{) }}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}} \right)}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{(}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{) }}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}} \right)}}...............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{\text{xy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{{\text{k}}^{\text{2}}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}} \right)}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{v}}}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  +  v}}}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  +  v}}}}{\text{  -  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  v}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  -  v}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  -  v}}}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{1  -  v  -  2 log (1  -  v)  -  log x  +  C  =  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\left( {{\text{x (1  -  v}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  C  +  1  -  v}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{log}}\left( {{\text{x (1  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  C  +  1  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}} \\$

$  {{\text{(x  -  y)}}^{\text{2}}}{\text{ =  C}}{{\text{e}}^{{\text{ -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}}} \\ $

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

2: ${\text{y'  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  y}}}}{{\text{x}}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  y }}}}{{\text{x}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  y }}}}{{\text{x}}}..............{\text{(1)}}$

     तब ,

 ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{\text{kx  +  ky}}}}{{{\text{kx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{x  +  y}}} \right)}}{{{\text{kx }}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  xv}}}}{{{\text{ x}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  +  v}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  +  v  -  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  v}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {{\text{dv }}} {\text{  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ v  -  log x  +  C  =  C }} \\$

$   \Rightarrow {\text{log x}}\;{\text{ =  v  -  C }} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{log x  =   }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}\,\, - {\text{ C  +  1  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}} \\$

$  {\text{y}}\, = \,\,{\text{xlog x}}\, + {\text{ C}} \\ $

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

3: \[\left( {{\text{x  -  y}}} \right){\text{ dy  -  }}\left( {{\text{x  +  y}}} \right){\text{ dx  =  0}}\]

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

  $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  y}}}}{{{\text{x  -  y}}}}$

  मान लीजिए ,

 ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =   }}\dfrac{{{\text{x  +  y}}}}{{{\text{x  -  y}}}}...............{\text{(1)}}$

  तब ,

 ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{\text{kx  +  ky}}}}{{{\text{kx  -  ky}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{x  +  y}}} \right)}}{{{\text{k}}\left( {{\text{x  -  y}}} \right)}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y)}}$

अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  xv}}}}{{{\text{x  -  xv}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  -  v}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  -  v}}}}{\text{  -  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  v}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx }} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}} {\text{dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{\;dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{v  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ log}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  log x  +  C}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} \right){\text{  =  log x  +  C}} \\$

$  {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{  +  C}} \\ $

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

4: ${\text{(}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{) dx  +  2xy dy  =  0}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\;{\text{(}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{) }}}}{{{\text{2xy}}}}\,$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\;{\text{(}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{) }}}}{{{\text{2xy}}}}...............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{\text{2}}{{\text{k}}^{\text{2}}}{\text{xy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}\left( {{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{\text{2xy}}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y) }}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{v}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}}}{{{\text{2v}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  -  1}}}}{{{\text{2v}}}}{\text{  -  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{ -  }}\left( {{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}{{{\text{2v}}}} \\ $

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{2v}}}}{{{\text{ -  }}\left( {{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {\dfrac{{{\text{2v}}}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right)}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  log}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  log x  +  log C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\left( {{\text{x}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)} \right){\text{  =  logC}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{log }}\left( {{\text{x}}\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} \right)} \right){\text{  =  logC}} \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  Cx}} \\ $

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

5: ${{\text{x}}^{\text{2}}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{(}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{) }}}}{{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  xy}}} \right)}}...............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{\text{xy}}}}{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{k}}^{\text{2}}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ + }}\;{\text{xy}}} \right)}}{{{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{v}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  -  2}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  -  2}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  v  -  v}} \\ $

$  {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  -  2}}{{\text{v}}^2} \\$

$  \dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  -  2}}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

 $ \int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  -  2}}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\$

$  \dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log (1  +  }}\sqrt {\text{2}} {\text{v)   +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log(1  -  }}\sqrt {{\text{2v}}} {\text{)  =  log x  +  C}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt[{\text{2}}]{{\text{2}}}}}{\text{ log }}\left( {\dfrac{{{\text{x  +  }}\sqrt {\text{2}} {\text{y}}}}{{{\text{x  -  }}\sqrt {{\text{2y}}} }}} \right){\text{  =  log x  +  C}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

6: ${\text{x dy  -  y dx  =  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{ dx}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx }}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{y  +  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{ }}}}{{\text{x}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F}}\left( {{\text{x,y}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{y  +  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{ }}}}{{\text{x}}}...............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{\text{yk  +  }}\sqrt {{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{  }}{{\text{k}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{kx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{y  +  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} } \right)}}{{{\text{kx }}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x, y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{xv  +  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}{{\text{x}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  }}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}  \\ $

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} }}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} }}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log }}\left( {{\text{v  +  }}\sqrt {{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} } \right){\text{  =  log x  +  log C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  }}\sqrt {{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} {\text{  =  xC}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{y  +  }}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{  =  C}}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

7: \[\left( {{\text{x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{y dx  =  }}\left( {{\text{y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{x dy}}\]

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +   y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{y}}}}{{\left( {{\text{y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{x}}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F(x,y)  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{y}}}}{{\left( {{\text{y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{x}}}}.............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F}}\left( {kx,} \right.\left. {ky} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{kx cos}}\left( {\dfrac{{{\text{ky}}}}{{{\text{kx}}}}} \right){\text{ +  yk sin}}\left( {\dfrac{{{\text{yk}}}}{{{\text{xk}}}}} \right)} \right){\text{yk}}}}{{\left( {{\text{yk sin}}\left( {\dfrac{{{\text{yk}}}}{{{\text{xk}}}}} \right){\text{  -  xk cos}}\left( {\dfrac{{{\text{ky}}}}{{{\text{kx}}}}} \right)} \right){\text{xk}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{y}}}}{{{\text{k}}\left( {{\text{y sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  x cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{x}}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x,y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात $$करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{x cos}}\left( {\dfrac{{{\text{vx}}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  x sin}}\left( {\dfrac{{{\text{vx}}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{vx}}}}{{\left( {{\text{v xsin}}\left( {\dfrac{{{\text{vx}}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  x cos}}\left( {\dfrac{{{\text{vx}}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{x}}}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{v (cos(v)  +  v sin(v))}}}}{{{\text{(v sin(v)  -  cos(v))}}}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{v (cos(v)  +  v sin(v))}}}}{{{\text{(v sin(v)  -  cos(v))}}}}{\text{  -  v}} \\ $

$   \Rightarrow {\text{x }}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2v cos v}}}}{{{\text{v sin v  -  cos v}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{v sin v  -  cos v}}}}{{{\text{2v cos v}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

  $ \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{v sin v  -  cos v}}}}{{{\text{2v cos v}}}}} {\text{dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log }}\left( {\dfrac{{{\text{sec v}}}}{{\text{v}}}} \right){\text{  =  log x  +  log C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{sec v}}}}{{\text{v}}}{\text{  =  xC}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{xy cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  C}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

8: ${\text{x }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  y  +  x sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  0}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{y  -  x sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)}}{{\text{x}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F(x,y)  =  }}\dfrac{{{\text{y  -  x sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)}}{{\text{x}}}.............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{\text{yk  -  xk sin}}\left( {\dfrac{{{\text{yk}}}}{{{\text{xk}}}}} \right)}}{{{\text{xk}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{y  -  x sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right)}}{{{\text{xk}}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x,y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$ \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{vx  -  x sin}}\left( {\dfrac{{{\text{vx}}}}{{\text{x}}}} \right)}}{{\text{x}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  -  sin v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  sin v}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{{\text{ -  sin v}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{ dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {{\text{cosec}}} {\text{ v dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}\,} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log(cosec v  +  cot v)  =  log x  +  log C}} \\ $ 

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{x}}\left( {{\text{1  -  cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right){\text{  =  C sin}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

9: ${\text{y dx  +  x log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{ dy  -  2x dy  =  0}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2x  -  x log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)}}{{\text{y}}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F(x,y)  =  }}\dfrac{{{\text{2x  -  x log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)}}{{\text{y}}}...............{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{\text{2xk  -  xk log}}\left( {\dfrac{{{\text{yk}}}}{{{\text{xk}}}}} \right)}}{{{\text{yk}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{k}}\left( {{\text{2x  -  x log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)} \right)}}{{{\text{ky}}}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{ F(x,y)}}...............{\text{(1)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{x  =  vy}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  v  +  y}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}$

समीकरण (1 ) में 

 ${\text{x}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  y }}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2vy  -  v y log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{vy}}}}} \right)}}{{\text{y}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  y }}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  2v  -  v log}}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{v}}}} \right) \\$

$   \Rightarrow {\text{y}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  v  -  v log}}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{v}}}} \right) \\ $

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{{\text{v  -  v log}}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{v}}}} \right)}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}{\text{ dy}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{v  -  v log}}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{v}}}} \right)}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}} {\text{ dy}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log }}\left( {{\text{1  -  log}}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{v}}}} \right)} \right){\text{  =  log y  +  log C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log(v)  -  1  =  Cy}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{log}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  -  1  =  Cy}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

10: $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}} \right){\text{ dx  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}} \right){\text{dy  =  0}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}} \right)}}{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}} \right)}}$

     मान लीजिए ,

    ${\text{F(x,y)  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}} \right)}}{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}} \right)}}................{\text{(1)}}$

     तब ,

   ${\text{F(kx,ky)  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\dfrac{{{\text{xk}}}}{{{\text{yk}}}}}}\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{{\text{xk}}}}{{{\text{yk}}}}} \right)}}{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{{\text{xk}}}}{{{\text{yk}}}}}}} \right)}}{\text{  =  }}{{\text{k}}^{\text{0}}}{\text{\;F(x,y)}}$

 अतः ${\text{F(x,y)0}}$ घात वाला समघातीय फलन हैं |

इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक क समघातीय अवकल समीकरण हैं 

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{x  =  vy}}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{x}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$ {\text{v  +  y}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\dfrac{{{\text{yv}}}}{{\text{y}}}}}\left( {{\text{1  -  }}\dfrac{{{\text{yv}}}}{{\text{y}}}} \right)}}{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\dfrac{{{\text{yv}}}}{{\text{y}}}}}} \right)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  y}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{(1  -  v)}}}}{{{\text{ -  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{\text{v}}}} \right)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  v}}}}{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  1}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  1}}}}{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  v}}}}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}{\text{ dy}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  1}}}}{{{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  v}}}}} \quad {\text{dv   =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}} {\text{ dy}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  log}}\left( {{{\text{e}}^{\text{v}}}{\text{  +  v}}} \right){\text{  =  log y  +  log C}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{y }}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  +  x  =  C}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

11 से 15 तक के प्रशनों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को संतुष्ट करने वाला विशिस्ट हल ज्ञात कीजिए।

11: ${\text{(x  +  y) dy  +  (x  -  y) dx  =  0 ;  y  =  1 , x  =  1}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{x  -  y}}}}{{{\text{x  +  y}}}}..................(1)$

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx }}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{x  -  xv}}}}{{{\text{x  +  xv}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  v}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{1  -  v}}}}{{{\text{1  +  v}}}}{\text{  -  v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  +  v}}}} \\ $

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {\dfrac{{{\text{1  +  v}}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}} {\text{dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{v  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  log x  +  C}} \\ $

${\text{v}}$ एवं $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{2 ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  log}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  C}}.....................{\text{(2)}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

समीकरण (2) में ${\text{x  =  1}}$ एवं 

${\text{y  =  1}}$ प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{2 ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{1  +  log 2  =  C}} \\$

$  {\text{C  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}}{\text{  +  log 2}} \\ $

C का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{2 ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  +  log}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}}{\text{  +  log 2}}$

यह अवकल समीकरण का विशिस्ट हल है

12: ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ dy  +  }}\left( {{\text{xy  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dx  =  0 ; y  =  1 , x  =  1}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{xy  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}.................(1)$

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx }}$ प्रतिस्थापन करते है

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy }}}}{{{\text{dx }}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{v  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  v  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  -  2v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  2v}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx}} \\ $

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  +  2v}}}}} {\text{dv  =   -  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {\dfrac{{\text{v}}}{{{\text{v  +  2}}}}} \right){\text{  =   -  log x  +  log C}} \\ $

${\text{v}}$ को $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{y  +  2x}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{c}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}...................(2)$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

समीकरण (2) में ${\text{x  =  1}}$ एवं 

${\text{y   =  1}}$ प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है

${{\text{C}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{3}}}$ 

C का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है 

${\text{y  +  2x  =  3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{y}}$

यह अवकल समीकरण का विशिस्ट हल है

13: $\left[ {{\text{x si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{y}} \\ {\text{x}} \end{array}} \right){\text{ - y}}} \right]{\text{ dx + x dy = 0 ; y = }}\dfrac{{{\pi }}}{{\text{4}}}{\text{ , x = 1}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left[ {{\text{y  -  x si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}\left( {_{\text{x}}^{\text{y}}} \right)} \right]}}{{\text{x}}}.........................(1)$

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx }}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy }}}}{{{\text{dx }}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$\Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{ =  }}\dfrac{{\left[ {{\text{xv  -  x si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{(v )}}} \right]}}{{\text{x}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  -  si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}}}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\ $

$ \Rightarrow {\text{cot v  =  log x  +  C}}$

${\text{v}}$ को $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{cot}}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{\text{  =  log x  +  log C}}...................{\text{(2)}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

समीकरण (2) में ${\text{x  =  1}}$ एवं 

${\text{y   =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{4}}}$ प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है

${\text{log C  =  1 }} \to {\text{C  =  e}}$ 

C का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है

${\text{cot}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  log(e x)}}$ 

यह अवकल समीकरण का विशिस्ट हल है

14: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{\text{  +  cosec}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  0 ; y  =  0 , x  =  1}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}{\text{  -  cosec}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right)......................(1)$

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx }}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy }}}}{{{\text{dx }}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  -  cosec v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  cosec v}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{cosecv}}}}{\text{dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\int {{\text{sin}}} {\text{ v dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{dx}} \\ $

$ \Rightarrow {\text{cos v  =  log x  +  log C}}$

${\text{v}}$ को $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  log x  +  log C}}........................{\text{(2)}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

समीकरण (2) में ${\text{x  =  1}}$ एवं 

${\text{y   =  0 }}$ प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है 

${\text{log C  =  1}} \\$

$  {\text{C  =  e}} \\ $

C का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है 

${\text{cos}}\left( {\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}} \right){\text{  =  log(ex)}}$

यह अवकल समीकरण का विशिस्ट हल है

15: ${\text{2xy  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  0 ; y  =  2 , x  =  1}}$

उत्तर: दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है 

      $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2xy  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}....................(1)$

इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम ${\text{y  =  vx }}$ प्रतिस्थापन करते है 

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}$

समीकरण (1 ) में 

  ${\text{y}}$ एवं $\dfrac{{{\text{dy }}}}{{{\text{dx }}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

$ \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{v  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  }}\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{ dv  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{2}}}{{{{\text{v}}^{\text{2}}}}}} {\text{ dv  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}} {\text{ dx}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{v}}}{\text{  =  log x  +  C}} \\ $

${\text{v}}$ को $\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$ का मान प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त करतें है :

${\text{ -  }}\dfrac{{{\text{2x}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  log x  +  C}}....................{\text{(2)}}$

 यह अवकल समीकरण का व्यापक हल है 

समीकरण (2) में ${\text{x  =  1}}$ एवं 

${\text{y   =  1}}$ प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है

${\text{C  =   -  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{2}}}{\text{ =   -  1}}$ 

C का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमे प्राप्त है 

यह अवकल समीकरण का विशिस्ट हल है

${\text{y  =  }}\dfrac{{{\text{2x}}}}{{{\text{1  -  log x}}}}$

16: $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  h}}\left( {\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}} \right)$

के रूप वाले समघातिय अवकल समीकरण को हल करने के लिए नि म्निखित में से कौन सा प्रतिस्थापन किया जाता हैं :

(A) ${\text{y  =  vx}}$

(B) ${\text{v  =  yx}}$

(C) ${\text{x  =  vy}}$

(D) ${\text{x  =  v}}$

उत्तर: (C) ${\text{x  =  vy}}$

17 . निम्निखित में से कौन सा समघातिय अवकल समीकरण हैं?

(A) ${\text{(4x  +  6y  +  5) dy  -  (3y  +  2x  +  4) dx  =  0}}$

(B) ${\text{(xy) dx  -  }}\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{3}}}} \right){\text{ dy  =  0}}$

(C) $\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dx  +  2xy dy  =  0}}$

(D) ${{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{dx  +  }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  xy  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dy  =  0}}$

उत्तर: (D) ${{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{dx  +  }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  xy  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dy  =  0}}$

प्रश्नावली 9.6

1 से 12 तक के प्रश्रों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हाल ग्रात कीजिए:

1: ${\text{dy / dx  +  2y  =  sin y}}$

उत्तर: दिया है कि  ${\text{dy / dx  +  2y  =  sin y}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  2}}$ और ${\text{Q  =  sin x}}$ 

${\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {{\text{pdx}}} }}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{[2dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}} \\$

$  {\text{y (I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{  =  }}\int {{\text{sin}}} {\text{ x }}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{dx  +  C}} \\$

$  {\text{    I  =  }}\int {{\text{sin }}} {\text{x }}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}} \\$

$  \mid  {\text{ =  }}\left( {{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{sin x/2}}} \right){\text{  -  }}\int {\left( {{\text{cos x }}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/2}}} \right)} {\text{dx}} \\$

  ${\text{I =  }}\left( {{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{sin x/2}}} \right){\text{  -  1/2}}\left[ {{\text{cos x }}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/2 -  }}\int {\left( {{\text{\{  -  sin x\} }}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/2}}} \right)} {\text{ dx}}} \right] \\$

$  \mid {\text{ =  }}\left( {{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{ sin x/2}}} \right){\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/4  -  1/4}}\int {\left( {{\text{sin x }}{\text{. }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}} \right)} {\text{ dx}} \\$

$  \left| {{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/4(2sin x  -  cos x)  -  1/4}}} \right| \\$

  ${\text{5/4}}\mid {\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/4(2sin x  -  cos x)}} \\$

$  \mid  {\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}{\text{/ 5(2sin x  -  cos x)}} \\$

$  {\text{y  =  1/5(2sin x  -  cos x)  +  C}}{{\text{e}}^{{\text{ - 2x}}}} \\ $

2: ${\text{dy / dx  +  3y  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  2x}}}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{dy / dx  +  3y  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  2x}}}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  3}}$ और ${\text{Q  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ - 2x}}}}$ 

${\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{[3dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{3x}}}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\ $

 $ {\text{y}}{{\text{e}}^{{\text{3x}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{e}}^{{\text{ - 2x}}}}{\text{ }}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{3x}}}}} \right)} {\text{  +  C}} \\$

$  {\text{y  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ - 2x}}}}{\text{  +  C}}{{\text{e}}^{{\text{ - 3x}}}} \\ $

3: ${\text{dy / dx +  y / x  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{dy / dx +  y / x  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{x}}}$ और ${\text{Q  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

${\text{I}}{\text{.F   =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{/}} {\text{x }}{\text{. dx}}}}{\text{ =  x}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y(x)  =  }}\int {\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{. x}}} \right)} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{xy  =  }}\left( {{{\text{x}}^{\text{4}}}{\text{/4}}} \right){\text{  +  C}} \\ $

4: ${\text{dy / dx  +  (sec x)y  =  tan x     [0}} \leqslant {\text{x  <  \pi /2]}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{dy / dx  +  (sec x)y  =  tan x     [0}} \leqslant {\text{x  <  \pi /2]}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  sec x}}$ और ${\text{Q  =  tan x}}$ 

${\text{I}}{\text{. F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {{\text{sec}}} {\text{ x }}{\text{.dx}}}}{\text{  =  sec x  +  tan x}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y(sec x  +  tan x)  =  }}\int {{\text{tan}}} {\text{ x(sec x  +  tan x) dx  +  C}} \\$

$  {\text{y(sec x  +  tan x)  =  sec x  +  }}\int {\left( {{\text{se}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{x  -  1}}} \right)} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y(sec x  +  tan x)  =  sec x  +  tan x  -  x  +  C}} \\ $

5: ${\text{co}}{{\text{s}}^{\text{2}}}{\text{x(dy / dx)  +  y  =  tan x     [0}} \leqslant {\text{x  <  \pi /2]}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{co}}{{\text{s}}^{\text{2}}}{\text{x(dy / dx)  +  y  =  tan x }}$

${\text{I  =  }}\int {{\text{cos}}} {\text{ 2x dx}} \\$

$  \int {{\text{cos}}} {\text{ 2x dx  =  (sin2x/2)  =  F(x)}} \\$

$  {\text{I  =  F(\pi /2)  -  F(0)}} \\$

$  {\text{ =  1/2(sin 2\{ \pi /2\}   -  sin 0)}} \\$

$  {\text{ =  0}} \\ $

6: ${\text{x }}{\text{. dy / dx  +  2y  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{log y}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{x }}{\text{. dy / dx  +  2y  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{log y}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\text{x}}}$ और ${\text{Q  =  x log x}}$ 

${\text{I}}{\text{. F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{[2/x }}{\text{. dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{\text{x }}{\text{. logx }}{\text{. }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  log x }}{\text{. }}\int {{{\text{x}}^{\text{3}}}} {\text{dx  -  }}\int {\left[ {{\text{d / dx(log x)}}{\text{.}}\int {{{\text{x}}^{\text{3}}}} {\text{dx}}} \right]} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}\left( {{{\text{x}}^{\text{4}}}{\text{log x/4}}} \right){\text{  -  1/4}}{\text{.}}{{\text{x}}^{\text{4}}}{\text{/4  +  C}} \\$

$  {\text{y  =  1/16}}{\text{.}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{(4b log x  -  1)  +  C}}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\ $

7: ${\text{x log x dy / dx  +  y  =  2/x log x}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{x log x dy / dx  +  y  =  2/x log x}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  1/x log x}}$ और ${\text{Q  =  2/}}{{\text{x}}^{\text{2}}}$ 

${\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{1}} {\text{/x log x }}{\text{. dx}}}}{\text{  =  log x}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y log x  =  }}\int {\left[ {{\text{2/}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{log x}}} \right]} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y log x  =  2(  -  log x/x  -  1/x)  +  C}} \\$

$  {\text{y log x  =   -  2/x(1  +  log x)  +  C}} \\ $

8:$\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy  +  2xy dx  =  cot x dx (x}} \ne {\text{0)}}$

उत्तर: दिया है कि $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy  +  2xy dx  =  cot x dx (x}} \ne {\text{0)}}$

${\text{dy/dx  +  2xy}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{   =  cot x}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ }}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  2x/}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ }}$ और ${\text{Q  =  cot x/}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{ }}$ 

${\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{2}} {\text{x/1  +  }}{{\text{x}}^2}{\text{ }}{\text{. dx}}}}{\text{  =  1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  }}\int {{\text{cot}}} {\text{ x dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  log(sin ce)  +  C}} \\ $

9: ${\text{x dy / dx  +  y  -  x  +  xy cot x  =  0   (x}} \ne {\text{ 0)}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{x dy / dx  +  y  -  x  +  xy cot x  =  0   (x}} \ne {\text{ 0)}}$

${\text{dy/dx  +  }}\left( {{\text{1/x  +  cot x}}} \right){\text{y  =  1}}$

इसे ${\text{dy / dx  +  py  =  Q}}$ से तुलना करेंगे तो 

${\text{p  =  1/x  +  cot x}}$ और ${\text{Q  =  1}}$ 

${\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {{\text{(1/x   +  cot x)}}} {\text{. dx}}}}{\text{ =  x sin x}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y(x sin x)  =  }}\int {\text{x}} {\text{ sin xdx  +  C}} \\$

$  {\text{y(x sin x)  =   -  x cos x  +  sin x  +  C}} \\$

$  {\text{y  =   -  cot x  +  1/x  +  C /x sin x}} \\ $

10: ${\text{(x + y) dy / dx  =  0}}$

उत्तर: ${\text{(x + y) dy / dx  =  0}}$

${\text{dy/dx  -  x  =  y}} \\$

$  {\text{p  =   -  1, Q  =  y}} \\$

 $ {\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dy}}}}{\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{j -  dy}}}}{\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}} \\$

$  {\text{x}}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{\text{y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}} \right)} {\text{ dy  +  C}} \\$

$  {\text{x}}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  =   -  y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{ -  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  y}}}}{\text{  +  C}} \\$

$  {\text{x  +  y  +  1  =  C}}{{\text{e}}^{\text{y}}} \\ $

11: ${\text{y dx  +  }}\left( {{\text{x  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy  =  0}}$

उत्तर: ${\text{y dx  +  }}\left( {{\text{x  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy  =  0}}$

${\text{p  =  1/y, Q  =  y}} \\$

$  {\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{{\text{lpdy}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{1/y\;dy}}}}{\text{  =  y}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF) }}} {\text{dx  +  C}} \\$

 $ {\text{xy  =  }}\int {{\text{(y}}{\text{.y)}}} {\text{ dy  +  C}} \\$

$  {\text{xy  =  }}{{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{/3  +  C}} \\$

$  {\text{x  =  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{/3  +  C/y}} \\ $

12: $\left( {{\text{x + 3}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dy / dx  =  y      (y  >  0)}}$

उत्तर: ${\text{dx/dy  -  x/y  =  3y}}$

${\text{p  =   -  1/y,  Q  =  3y}} \\$

$  {\text{I}}{\text{.F  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{p}} {\text{dy}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{ - }} {\text{ dy/y}}}}{\text{  =  1/y}} \\$

$  {\text{y(I}}{\text{.F)  =  }}\int {{\text{(Q}}{\text{.IF)}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{x}}{\text{.1/y  =  }}\int {{\text{(3y}}{\text{.1/y)}}} {\text{ dy  +  x}} \\$

$  {\text{x  =  3}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  Cy}} \\ $

13: ${\text{dy / dx  +  2y*tan x  =  sin x  ;  y  =  0 , x  =  \pi /3}}$

उत्तर: दिया है कि ${\text{dy / dx  +  2y*tan x  =  sin x }}$

${\text{dy/dx  +  Py  =  Q}} \\$

$  {\text{P  =  tan x}} \\$

$  {\text{Q  =  sin x}} \\$

$  \int {\text{P}} {\text{dx  =  2}}\int {{\text{tan}}} {\text{ x dx}} \\$

$ {\text{ = - 2 log cos x}} \\$

$  {\text{ =  log(cos x}}{{\text{)}}^{ - 2}} \\$

$  {\text{ =  log se}}{{\text{c}}^2}{\text{x}} \\$

$  {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{  =  se}}{{\text{c}}^2}{\text{x}} \\$

$  {\text{y*I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}\int {{{\text{Q}}^{\text{*}}}} {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.dy  +  C}} \\$

$  {\text{y*se}}{{\text{c}}^2}{\text{x  =  }}\int {{\text{sin}}} {\text{ x*se}}{{\text{c}}^2}{\text{x dx  +  C}} \\$

$ {\text{ = }}\int {{\text{sec}}} {\text{ x*tan x + C}} \\ {\text{ = sec x + C}} \\ $

14: $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{*dy/dx  +  2xy  =  1/}}\left( {{\text{1 + }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{  ; y  =  0 , x  =  1}}$

उत्तर: दिया है कि $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{*dy/dx  +  2xy  =  1/}}\left( {{\text{1 + }}{{\text{x}}^2}} \right)$

${\text{P  =  2x/}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right) \\$

$  {\text{Q  =  1/}}{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right)^2} \\$

$  {\text{2}}\int {\text{P}} {\text{dx  =  }}\int {\text{2}} {\text{x /}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{dx}} \\$

$  {\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}{\text{  =  t}} \\$

$  {\text{2x dx   =  dt}} \\$

$  {\text{ =  }}\int {\text{d}} {\text{t / t  =  log t  =  log}}\left( {{\text{1 + }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{ }} \\$

  ${\text{I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{ dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{log}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right)}}{\text{  =  1  +  }}{{\text{x}}^2} \\ $

समीकरण का हल :

${\text{I}}{\text{. F}}{\text{.  =  }}\int {{{\text{Q}}^{\text{*}}}} {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.dy  +  C}} \\$

$  {\text{y}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{  =  }}\int {\text{1}} {\text{/}}{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right)^2}{\text{*}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{  =  }}\int {\text{1}} {\text{/}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^2}} \right){\text{dx  +  C  =  ta}}{{\text{n}}^{ - 1}}{\text{(x)  +  C}} \\$

 $ {\text{y  =  0  \&  x  =  1}} \\$

$  {\text{0 =  ta}}{{\text{n}}^{ - 1}}{\text{(1)  +  C }} \\$

$  {\text{C  =   -  \pi /4}} \\ $

 अतः अभीष्ट हल ${\text{ =  y}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{(x)  -  \pi /4}}$

15: ${\text{dy / dx  -  3y cot x  =  sin 2x ; y  =  2 , x  =  \pi /2}}$

उत्तर: ${\text{dy/dx  +  Py  =  Q}}$

${\text{P  =   -  3cot x   \&  Q  =  sin 2x}} \\$

$  \int {\text{P}} {\text{dx  =   -  3}}\int {{\text{cot}}} {\text{ xdx}} \\$

$  {\text{ =   -  3 log sin x}} \\$

${\text{ = log cose}}{{\text{c}}^{\text{3}}}{\text{x }} \\$

 $ {\text{I}}{\text{.F}}{\text{. = }}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{ = }}{{\text{e}}^{\int {{\text{log}}} {\text{ cose}}{{\text{c}}^{\text{3}}}{\text{x}}}}{\text{ = cose}}{{\text{c}}^{\text{3}}}{\text{x}} \\$

समीकरण का हल :

$  {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.   =  }}\int {{\text{Q*}}} {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.}} \\$

$  {\text{y*cose}}{{\text{c}}^3}{\text{x  =  }}\int {{\text{sin}}} {\text{ 2x cose}}{{\text{c}}^3}{\text{x dx  +  C}} \\$

$  {\text{ =  2}}\int {{\text{cot}}} {\text{ x cosec xdx  +  C}} \\$

$  {\text{ =   -  2cosec x  +  C}} \\$

$  {\text{y  =   -  2si}}{{\text{n}}^2}{\text{x  +  Csi}}{{\text{n}}^3}{\text{x}} \\ $

 अब ${\text{x  =  \pi /2  \&  y  =  2}}$

${\text{2  =   -  2  +  C ,C  =  4}}$

अतः अभीष्ट हल   $ \Rightarrow {\text{y  =  4si}}{{\text{n}}^{\text{3}}}{\text{x  -  2si}}{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{x}}$

16: मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु $\left( {{\text{x,y}}} \right)$ स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।

उत्तर: प्रश्न के अनुसार, 

 $ {\text{dy/dx  =  x  +  y}} \\$

 $ {\text{dy/dx  -  y  =  x}} \\ $

अब,

${\text{dy/dx  +  Py  =  Q}} \\$

$  {\text{P  =   -  1, Q  =  x}} \\$

$ {\text{IF = }}{{\text{e}}^{\text{ - }}}{\text{ - }}\int {\text{1}} {\text{ dx}} \\ {\text{F = }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.I F}}{\text{.   =  }}\int {\text{Q}} {\text{.IF dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  }}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{. x dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  x}}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{ dx  -  }}\int {\left[ {{\text{d(x)/dx}}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{dx}}} \right]} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =   -  x}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  +  }}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{ dx  +  C}} \\$

$  {{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{y  =   -  x}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{ -  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  C}}.............................{\text{(i)}} \\ $

वक्र मूल बिंदु से गुजरता है इसलिए,

$ {\text{x  =  0, y  =  0}} \\$

$  {\text{(0)}}{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}{\text{  =   -  0}}\left( {{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}} \right){\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}{\text{  +  C}} \\$

 $ {\text{C  =  1}} \\ $

(i)से,

$  {{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{y  =   -  x}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  +  1}} \\$

$  {\text{y  =   -  x  -  1  +  }}{{\text{e}}^{\text{x}}} \\$

$  {\text{x  +  y  +  1  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}} \\ $

17: $\left( {{\text{0,2 }}} \right)$  से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु $\left( {{\text{x ,y  }}} \right)$ स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों का योग $5$ है।

उत्तर: प्रश्न के अनुसार,

 $ {\text{x  +  y }} = {\text{ dy/dx  +  5 }} \\$

$  {\text{dy/dx  +  ( - 1)y  =  x  -  5}} \\ $

अब, 

$  {\text{dy/dx  +  Py  =  Q}} \\$

$  {\text{P  =   -  1, Q  =  x  -  5}} \\$

$  {\text{IF  =  e}}\int {{\text{(  -  1)}}} {\text{ dx}} \\$

$  {\text{IF  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.IF  =  }}\int {\text{Q}} {\text{.Fdx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  }}\int {{\text{(x  -  5)}}} {{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  (x  -  5)}}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{dx  -  }}\int {\left[ {{\text{d(x  -  5)/dx}}\int {{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} {\text{dx}}} \right]} {\text{dx  +  C}} \\$

 $ {\text{y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  (x  -  5)}}\left( {{\text{ -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} \right){\text{  -  }}\int {\left( {{\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}} \right)} {\text{dx  +  C}} \\$

$  {\text{y}}{\text{.}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  =  (5  -  x)}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  +  C}}.....................{\text{(i)}} \\ $

वक्र बिंदु $\left( {0,2} \right)$ से गुजरता है,

$  {\text{2}}{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}{\text{  =  (5  -  0)}}{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}{\text{  -  }}{{\text{e}}^{{\text{ - 0}}}}{\text{  +  C}} \\$

$  {\text{2  =  5  -  1  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  2  -  4  =   -  2}} \\ $

 (i) से,

$ {{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{y = (5 - x)}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{ - }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{ - 2}} \\$

  ${\text{y  =  4  -  x  -  2}}{{\text{e}}^{\text{x}}} \\ $

18: अवकल समीकरण ${\text{x dy / dx  -  y  =  2}}{{\text{x}}^2}$ का समाकलन गुणक है:

(A) ${{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}$

(B) ${{\text{e}}^{{\text{ - y}}}}$

(C) ${\text{1/x}}$

(D) ${\text{1/y}}$

उत्तर: ${\text{dy/dx  +  py  =  Q}}$

$\forall \,\;{\text{P =   -  1/x, Q  =  2x}}$

अतः समाकलन गुणक ${\text{ = }}{{\text{e}}^{\int {\text{ - }} {\text{1/x}}}}{\text{dx}}$

  ${\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{ - log x}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{log(1/x)}}}}{\text{log(1/x)}} \\$

$  {\text{ =  1/x}} \\ $

अतः विकल्प (C) सही है

19: अवकल समीकरण $\left( {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dy / dx  +  yx  =  ay,  - 1  < y  < 1}}$ का समाकलन गुणक है:

उत्तर: ${\text{dy/dx  +  }}\left( {{\text{y/1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{x  =  ay/1 -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}$

अब,

${\text{P  =  y /1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{,  Q  =  ay /1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}$

$ {\text{IF = e}}\int {\text{y}} {\text{/1 - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{dy}} \\ {\text{IF = }}{{\text{e}}^{{\text{ - 1/2}}\int {\text{ - }} {\text{ 2y/1 - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{dy}} \\$

$  {\text{IF  =  }}{{\text{e}}^{{\text{ -  1/2log}}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}} \\$

$  {\text{IF  =  elog}}{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)^{{\text{ - 1/2}}}} \\$

$  {\text{ =  }}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{ }} \\$

 $ {\text{ =  1/}}\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}  \\ $

A9

1: निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो ) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (i) दी गई अवकल समीकरण की घात 1 और कोटि 2 है

(ii) दी गई अवकल समीकरण की घात 3 और कोटि 1 है

(iii)दी गई अवकल समीकरण बहुपद समीकरण नहीं है इसलिए घात परिभाषित नहीं है और कोटि 4 है

2: निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट ) संगत अवकल समीकरण का हल है।

1. ${\text{y  =  a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  b}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{: x}}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2  =  0}}$

2. ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(a cos x  +  b sin x) : }}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  2y  =  0}}$

3. ${\text{y  =  x sin 3x : }}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  9y  -  6 cos 3x  =  0}}$

4. ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y : }}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy}}$

उत्तर: (i) ${\text{y  =  a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  b}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

दिया है

${\text{x}}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}} \\$

 $ {\text{ =  x}}\left( {{\text{a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  b}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  2}}} \right){\text{  +  2}}\left( {{\text{a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  -  b}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  2x}}} \right){\text{  -  x}}\left( {{\text{a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  b}}{{\text{e}}^{{\text{ -  x}}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right){\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}} \\$

 $ {\text{ =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(ax  +  2a  -  ax)  +  }}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{(bx  -  2b  -  bx)  -  }}{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  2x  +  4x  -  2}} \\$

$  {\text{2a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  -  2b}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  6x  -  2 }} \ne {\text{ 0}} \\$

$  {\text{y  =  a}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  b}}{{\text{e}}^{{\text{ - x}}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\ $

 अवकल समीकरण का समाधान 

${\text{x}}\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}$

नही है

(ii)

${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(a cos x  +  b sin x)}} \\$

$  \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(a cos x  +  b sin x)  +  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(  -  a sin x  +  b cos x)}} \\$

 $  \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[(a  +  b) cos x  +  (b  -  a) sin x]}} \\$

$  \dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[(a  +  b)cosx  +  (b  -  a)sinx]  +   }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[ -  (a  +  b)sin x  +  (b  -  a)cos x]}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[\{ (b  +  a)  +  (b  -  a)\} cos x  +  \{ (b  -  a)  -  (b  -  a)\} sin x]}} \\$

$   \Rightarrow {\text{2}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[bcos x  -  a sin x]}} \\ $

दिया है

$\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  2y}} \\$

$  {\text{ =  2}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[b cos x  -  a sin x]  +  2(}}{{\text{e}}^{\text{x}}}\left[ {{\text{(a  +  b) cos x  +  (b  - }}} \right.{\text{ a) sin x])  +  2}}\left( {{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(a cos x  +  b sin x)}}} \right) \\$

  ${\text{ =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{[(2b  -  2a  -  2b  +  2a) cos x  +  (  -  2a  -  2b  +  2a  +  2b)sin x]  =  0}} \\$

  ${\text{y  =  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{(a cos x  +  b sin x)}} \\ $

अवकल समीकरण का समाधान 

$\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  2}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  2y}}$है

(iii)

${\text{y  =  x sin 3x}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  sin 3x  +  x (cos 3x)3}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  sin 3x  +  3x cos 3x}} \\$

$  \dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  3cos 3x  +  3[cos 3x  -  x sin 3x }}{\text{. 3]}} \\$

$\Rightarrow\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  6cos 3x  -  9x sin 3x}} \\$

 $  \Rightarrow \dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  6 cos 3x  -  9y}} \\ $

 दिया है 

$\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  9y  -  6cos 3x}} \\$

$  {\text{6cos 3x  -  9y  +  9y  -  6cos 3x  =  0}} \\$

$  {\text{y  =  x sin 3x}} \\ $

अवकल समीकरण का समाधान 

$\dfrac{{{{\text{d}}^{\text{2}}}{\text{y}}}}{{{\text{d}}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  +  9y  -  6cos 3x}}$ है 

 (iv)

${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y}} \\$

$  {\text{2x  =  2}}\left[ {{\text{2y log y  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{X}}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{y}}}} \right]\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}} \\$

 $  \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{y(1  +  2 log y)}}}} \\ $

दिया है

$\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy}}$

$ \Rightarrow \left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)\left[ {\dfrac{{\text{x}}}{{{\text{y(1  +  2log y)}}}}} \right]{\text{  -  xy}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{\text{y(1  +  2log y)}}}}{\text{  -  xy}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  +  x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  2x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y}}}}{{{\text{y(1  +  2logy)}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ -  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y}}} \right)}}{{{\text{y(1  +  2log y)}}}}\quad \,\;\;\left[ {\therefore {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y}}} \right] \\$

$  {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{log y}} \\ $

अवकल समीकरण का समाधान 

$\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  -  xy}}$है

3: ${{\text{(x  -  a)}}^{\text{2}}}{\text{  +  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}$द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मिंत कीजिए जहाँ ${\text{a}}$ एक स्वेच्छ अचर है।

उत्तर: ${{\text{(x  -  a)}}^{\text{2}}}{\text{  +  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}$ 

$ \Rightarrow {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{  -  2xa  +  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}} \\$

$  {\text{ =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  2ax  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}} \\ $

इस समीकरण के दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर,

हम प्राप्त करते हैं

${\text{2y}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2a  -  2x}}}}{{\text{2}}} \\$

$  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{a  -  x}}}}{{{\text{2y}}}}{\text{ \ldots  \ldots }}..........{\text{(1)}} \\$

$  {\text{ =  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2ax  -  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{\text{4xy}}}}{\text{ \ldots  \ldots }}.....{\text{(2)}} \\ $

(1) से हम प्राप्त करते हैं

${\text{2ax  =  2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

दिए गए समीकरण को समीकरण (ii) में रखने पर

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{\text{4xy}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2}}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{\text{4xy}}}}$

4: सिद्ध कीजिए कि ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  c}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)$जहाँ ${\text{c}}$ एक प्राचल है, अवकल समीकरण $\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  -  3x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dx  =  }}\left( {{{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{  -  3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{y}}} \right){\text{dy}}$का व्यापक हल है।

उत्तर: $\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  -  3x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dx  =  }}\left( {{{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{  -  3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{y}}} \right){\text{ dy}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  -  3x}}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{  -  3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{y}}} \right)}}$

माना ${\text{y  =  vx}}$

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  -  3x}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{  -  3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{vx}}} \right)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{3}}}\left( {{\text{1  -  3}}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}}{{{{\text{x}}^{\text{3}}}\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{v  +  x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{1  -  3}}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{1  -  3}}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{1  -  3}}{{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}{\text{  +  3}}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{x}}\dfrac{{{\text{dv}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}} \\$ 

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\int {\dfrac{{\left( {{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{  -  3v}}} \right)}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}} {\text{dv  =  }}\int {\dfrac{{{\text{dx}}}}{{\text{x}}}} {\text{  +  log c}} \\$

$  \int {\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{3}}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}} {\text{dv  -  3}}\int {\dfrac{{{\text{3v}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}} {\text{ dv  =  log x  +  log C  =  log Cx}} \\ $

 माना  ${{\text{I}}_{\text{1}}}{\text{  +  }}{{\text{I}}_{\text{2}}}{\text{  =  log Cx \ldots  \ldots  \ldots  (i) }}$

${{\text{I}}_{\text{1}}}{\text{  =  }}\int {\dfrac{{{{\text{v}}^{\text{3}}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}} {\text{dv}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{I}}_{\text{1}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}\int {\dfrac{{{\text{ -  4}}{{\text{v}}^{\text{3}}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}}}} {\text{dv}} \\ $

माना ${\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}{\text{  =  t}}$

$ \Rightarrow {\text{ -  4}}{{\text{v}}^{\text{3}}}{\text{dv  =  dt}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{I}}_{\text{1}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}\int {\dfrac{{{\text{dt}}}}{{\text{t}}}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log t}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right) \\$

$  {{\text{I}}_{\text{2}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{{\text{3v}}}}{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right)}}} {\text{dv}} \\ $

माना ${{\text{v}}^{\text{2}}}{\text{  =  z}}$

$ \Rightarrow {\text{2v dv  =  dz}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{I}}_{\text{2}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{2}}}\int {\dfrac{{{\text{dz}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{z}}^{\text{2}}}}}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{2}}}.\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}{\text{log}}\left( {\dfrac{{{\text{1  +  z}}}}{{{\text{1  -  z}}}}} \right) \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}} \\ $

समीकरण (i) से

$  {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{4}}}} \right){\text{  -  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\dfrac{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\left[ {\dfrac{{{{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{3}}}}}{{{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{3}}}}}{\text{X}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)} \right]{\text{ =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\dfrac{{{{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{4}}}}}{{{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}}}{\text{  =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}{\left[ {\dfrac{{{{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{4}}}}}{{{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}}}} \right]^{\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}}}{\text{ =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}{\text{log}}\left[ {\dfrac{{{{\left( {{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{{\text{4 }}{\text{. }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{4}}}}}}}{{{{\left( {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}{{\text{x}}^{2.\dfrac{1}{4}}}}}} \right]{\text{ =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}} }}{{{\text{1  +  }}{{\text{v}}^{\text{2}}}}}{\text{ =  log Cx}} \\ $

 अब ${\text{v  =  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\text{x}}}$रखने पर 

$

   \Rightarrow {\text{log }}\left( {\dfrac{{\sqrt {{\text{1  -  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} }}{{{\text{1  +  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}}}} \right){\text{  =  log Cx}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} } \right){\text{X x}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  logCx}} \\$

$ \Rightarrow \dfrac{{{\text{x}}\sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} }}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{ = Cx}} \\$

$   \Rightarrow \sqrt {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} {\text{  =  C}}\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right) \\$

$   \Rightarrow \left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{  =  C}}{\left( {{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right)^{\text{2}}} \\ $

5:  प्रथम चतुर्थाश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक को स्पर्श करते हैं।

उत्तर: ${{\text{(x  -  a)}}^{\text{2}}}{\text{  +  (y  -  a}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{  =  }}{{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{ \ldots }}.....{\text{(i)}}$

जहाँ ${\text{a}}$ एक स्वेच्छ अचर है।

दोनों पक्षों को ${\text{x}}$ के संबंध में सापेक्ष अवकलन करने पर

${\text{2( - a) + 2(y - a)}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{ = 0}} \\ \Rightarrow {\text{x - a + (y - a)}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{ = 0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{a}}\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right){\text{ =  x  +  y}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{a  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  y}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}}}{{{\text{1  +  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{x  +  Ay}}}}{{{\text{1  +  A}}}} \\ $

${\text{a}}$ का मान (i) में रखने पर

$ {\left( {{\text{x - }}\dfrac{{{\text{x + Ay}}}}{{{\text{1 + A}}}}} \right)^{\text{2}}}{\text{ + }}{\left( {{\text{y - }}\dfrac{{{\text{x + Ay}}}}{{{\text{1 + A}}}}} \right)^{\text{2}}}{\text{ = }}{\left( {\dfrac{{{\text{x + Ay}}}}{{{\text{1 + A}}}}} \right)^{\text{2}}} \\$

$ \Rightarrow {{\text{A}}^{\text{2}}}{{\text{(x - y)}}^{\text{2}}}{\text{ + (y - z }}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ = (x + Ay}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \\ \Rightarrow {{\text{(x - y)}}^{\text{2}}}\left( {{{\text{A}}^{\text{2}}}{\text{ + 1}}} \right){\text{ = (x + Ay}}{{\text{)}}^{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{(x  -  y)}}^{\text{2}}}\left[ {{{\left( {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{  +  1}}} \right]{\text{  =  }}{\left( {{\text{x  +  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{y}}} \right)^{\text{2}}} \\ $

6:  अवकरल समीकरण $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\sqrt {\dfrac{{{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} {\text{  =  0}}$जबकि ${\text{x}} \ne {\text{0}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\sqrt {\dfrac{{{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}}}} $

$ \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} }}{\text{dy  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {{\text{1  -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}} }}{\text{dx}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$ {\text{si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y = - si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x + C}} \\$

$  {\text{si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y  +  si}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{x  =  C}} \\ $

7: दशाइए कि अवकल समीकरण ${\text{dydx  +  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  y  +  1}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}}}{\text{  =  0}}$ का व्यापक हल \[\left( {{\text{x  =  y  =  1}}} \right){\text{  =  A(1  -  x  -  y  -  2 x y)}}\] है, जिसमें \[{\text{A}}\] एक प्राचल हैं।

उत्तर: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  y  +  1}}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  +  y  +  1}}}}{\text{dy  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  x  +  1}}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{1}}}{{{{\left( {{\text{y  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}}}{\text{dy  =   -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{{\left( {{\text{x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}}}{\text{dx}} \\$

$   \Rightarrow \int {\dfrac{{\text{1}}}{{{{\left( {{\text{y  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}}}} {\text{  =  }}\int {{\text{ -  }}} \dfrac{{\text{1}}}{{{{\left( {{\text{x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}} \right)}^{\text{2}}}{\text{ +  }}\dfrac{{\text{3}}}{{\text{4}}}}}{\text{ +  C}} \\ $

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{y  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}}}} \right){\text{  =   -  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{x  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}}}} \right){\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{2y  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right){\text{  +  }}\dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right){\text{  =  C}} \\ $

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}\left[ {{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{2y  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right){\text{  +  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right)} \right]{\text{  =  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}\left[ {{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{\dfrac{{{\text{2y  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{  +  }}\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}}}{{{\text{1  -  }}\left( {\dfrac{{{\text{2y  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right)\left( {\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right)}}} \right)} \right]{\text{ =  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{\sqrt {\text{3}} {\text{(2y  +  1  +  2x  +  1)}}}}{{{\text{3  -  (2y  +  1)(2x  +  1)}}}}} \right){\text{  =  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{2}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}\left( {\dfrac{{{\text{2}}\sqrt {\text{3}} {\text{(x  +  y  +  1)}}}}{{{\text{2(1  -  x  -  y  -  2xy)}}}}} \right){\text{  =  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{2}}\sqrt {\text{3}} {\text{(x  +  y  +  1)}}}}{{{\text{2(1  -  x  -  y  -  2xy)}}}}{\text{  =  tan}}\dfrac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}{\text{C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{(x  +  y  +  1)}}}}{{{\text{(1  -  x  -  y  -  2xy)}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{3}} }}{\text{tan}}\dfrac{{\sqrt {\text{3}} }}{{\text{2}}}{\text{ C}}\quad {\text{ =  A }} \\$

$   \Rightarrow {\text{x  +  y  +  1  =  A(1  -  x  -  y  -  2xy)}} \\ $

8: बिंदु $\left( {{\text{0,}}\dfrac{{{\pi }}}{{\text{4}}}} \right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समोकरण ज्ञात कौजिए जिसका अवकल समीकरण ${\text{sin x cos y dx  +  cos x sin y dy  =  0}}$है

उत्तर: $ \Rightarrow \dfrac{{{\text{sin x}}}}{{{\text{cos x}}}}{\text{dx  +  }}\dfrac{{{\text{sin y}}}}{{{\text{cos y}}}}{\text{dy  =  0}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$ \Rightarrow \int {\dfrac{{{\text{sin x}}}}{{{\text{cos x}}}}} {\text{dx  +  }}\int {\dfrac{{{\text{sin y}}}}{{{\text{cos y}}}}} {\text{dy  =  log C}} \\$

$   \Rightarrow \int {{\text{tan}}} {\text{ xdx  +  }}\int {{\text{tan}}} {\text{ ydy  =  log C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log sec x  +  log sec y  =  log C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log sec x sec y  =  log C}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{sec x sec y  =  C}} \\ $

जब बिंदु $\left( {0,\dfrac{\pi }{4}} \right)$से गुजरता है अतः $x = 0$ और ${\text{y  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{4}}}$ रखने पर

${\text{1}}{\text{. sec}}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{4}}}{\text{  =  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{C  =  }}\sqrt {\text{2}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{sec x sec y  =  }}\sqrt {\text{2}}  \\$

$   \Rightarrow {\text{cos y  =  }}\dfrac{{{\text{sec x}}}}{{\sqrt {\text{2}} }} \\ $

9: अवकल समीकरण $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}} \right){\text{dy  +  }}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ dx  =  0}}$का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि ${\text{y  =  1}}$ यदि ${\text{x  =  0}}$

उत्तर: $\left( {{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}} \right){\text{dy  +  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}\left( {{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{dx  =  0}}$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{{\text{1 + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{dy  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1 + }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}}}{\text{dx  =  0}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} {\text{dy  +  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}}}} {\text{dx  =  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y  +  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{1  +  }}{{\text{e}}^{{\text{2x}}}}}}} {\text{ dx  =  C}} \\ $

माना ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  =  t}}$

${\text{x  =  0 ,y  =  1}}$ रखने पर 

$ \Rightarrow {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{1  +  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{1  =  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{2ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{1  =  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{2}}{\text{.}}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{4}}}{\text{  =  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{C  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{\text{y  +  ta}}{{\text{n}}^{{\text{ - 1}}}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}} \\ $

10: अवकल  समीकरण ${\text{y}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{dx  =  }}\left( {{\text{x}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy  (y}} \ne 0)$का हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ${\text{y}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{dx  =  }}\left( {{\text{x}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right){\text{ dy }}$

$  \Rightarrow {\text{y}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  }}\left( {{\text{x}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}} \right) \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{y}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  -  x}}{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  1}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\left( {{\text{y}}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  -  x}}} \right)}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{\text{  =  1}}....................{\text{(1)}} \\ $

माना ${{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  =  z}}$

$ \Rightarrow {{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\dfrac{{\text{d}}}{{{\text{dx}}}}\left( {\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{dz}}}}{{{\text{dy}}}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}\left( {\dfrac{{\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{.y  -  x }}{\text{.1}}}}{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{{\text{dz}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{ \ldots  \ldots }}.......{\text{(2)}} \\ $

 ,(1) और (2) से 

$  \dfrac{{{\text{dz}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  1}} \\$

$  {\text{dz  =  dy}} \\ $

समाकलन करने पर

$ \int {\text{d}} {\text{z  =  }}\int {\text{d}} {\text{y  +  0}} \\$

$   \Rightarrow {\text{z  =  y  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{e}}^{\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}}}{\text{  =  y  +  C}} \\ $

11: अवकल समीकरण ${\text{(x  -  y)(dx  -  dy)  =  dx  -  dy}}$का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया

हुआ है कि ${\text{y  =   -  1 }}$, याद ${\text{x  =  0}}$ (संकेत: ${\text{x  -  y  =  t }}$रखें)।

उत्तर: ${\text{(x  -  y)(dx  +  dy)  =  dx  -  dy}}$

$ \Rightarrow {\text{(x  -  y  -  1) dx  +  (x  -  y  +  1)dy  =  0}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{x  -  y  -  1}}}}{{{\text{x  -  y  +  1}}}} \\ $

माना ${\text{x  -  y  =  t}}$

$ \Rightarrow {\text{1  -  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  -  }}\dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{1  -  }}\dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =   -  }}\dfrac{{{\text{t  -  1}}}}{{{\text{t  +  1}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  1  +  }}\dfrac{{{\text{t  -  1}}}}{{{\text{t  +  1}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{t  +  1  +  t  -  1}}}}{{{\text{t  +  1}}}} \\$

 $  \Rightarrow \dfrac{{{\text{dt}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2t}}}}{{{\text{t  +  1}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{t  +  1}}}}{{\text{t}}}{\text{dt  =  2dx}} \\ $

समाकलन करने पर

$\int {\dfrac{{{\text{t  +  1}}}}{{\text{t}}}} {\text{dt  =  }}\int {\text{2}} {\text{dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ }}\int {\left( {{\text{1  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{t}}}} \right)} {\text{dt  =  2x  +  C}} \\$

$   \Rightarrow \int {\text{1}} {\text{ dt  +  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{t}}}} {\text{dt  =  2x  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{t  +  log | t |  =  2x  +  C}} \\ $

${\text{t  =  x  -  y}}$ रखने पर 

$   \Rightarrow {\text{x  -  y  +  log |x  -  y|  =  2x  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log |x  -  y|  =  x  +  y  +  C}} \\ $

${\text{x  =  0 ,  y  =   -  1}}$ रखने पर 

${\text{0  =  0  -  1  +  C}} \\$

$  {\text{C  =  1}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log |x  -  y|  =  x  +  y  +  1}} \\ $

12:  अवकल समीकरण $\dfrac{{\left[ {\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ - 2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\sqrt {\text{x}} }}} \right]{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  1 (x}} \ne 0)$का हल ज्ञात कोजिए।

उत्तर: $\left[ {\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ -  2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\sqrt {\text{x}} }}} \right]\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  =  1}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ -  2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }}{\text{  -  }}\dfrac{{\text{y}}}{{\sqrt {\text{x}} }} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{x}} }}{\text{y  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ -  2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }} \\$

$  \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  Py  =  Q}} \\ $

तुलना करने पर

$  {\text{P  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{x}} }}{\text{ \&  Q  =  }}\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ - 2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }} \\$

$  \int {\text{P}} {\text{dx  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{x}} }}} {\text{dx  =  2}}\sqrt {\text{x}}  \\$

  $ \Rightarrow {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }} \\ $

अवकल समीकरण का समाधान

${\text{X I}}{\text{.F}}{\text{. =  }}\int {\text{Q}} {\text{ X I}}{\text{.F}}{\text{. dx  +  C}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{y X }}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }}{\text{  =  }}\int {\dfrac{{{{\text{e}}^{{\text{ - 2}}\sqrt {\text{x}} }}}}{{\sqrt {\text{x}} }}} {\text{X}}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }}{\text{dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y X }}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }}{\text{  =  }}\int {\dfrac{{\text{1}}}{{\sqrt {\text{x}} }}} {\text{ dx  +  C}} \\$

 $  \Rightarrow {\text{y X }}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }}{\text{  =  2}}\sqrt {\text{x}} {\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y }}{{\text{e}}^{{\text{2}}\sqrt {\text{x}} }}{\text{  =  2}}\sqrt {\text{x}} {\text{  +  C}} \\ $

13:  आवकल समीकरण $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  y cot x  =  4x cosec x (x}} \ne 0)$ का एक विशिष्ट हल ज्ञात कोजिए, दिया हुआ है कि ${\text{y  =  0}}$ यदि ${\text{x  =  0}}$

उत्तर: $\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  y cot x  =  4x cosec x}}$

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  Py  =  Q}}$ से तुलना करने पर 

${\text{P  =  cot x ,  Q  =  4x cosec x}} \\$

$  \int {\text{P}} {\text{dx  =  }}\int {{\text{cos}}} {\text{ xdx  =  log sin x}} \\$

 $ {\text{I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{ =  }}{{\text{e}}^{{\text{log sin x}}}}{\text{  =  sin x}} \\ $

अवकल समीकरण का समाधान

${\text{X I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}\int {\text{Q}} {\text{X I}}{\text{.F}}{\text{. dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{yXsin x  =  }}\int {\text{4}} {\text{x cosec xXsin x dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{Xsin x  =  }}\int {\text{4}} {\text{x dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{yXsin x  =  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y sin x  =  2}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\ $

${\text{x  =  }}\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}}{\text{ , y  =  0}}$रखने पर 

$  {\text{0  =  2}}{\left( {\dfrac{{\text{\pi }}}{{\text{2}}}} \right)^{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{C  =   -  }}\dfrac{{{{\text{\pi }}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y sin x  =  2}}\sqrt {\text{x}} {\text{  -  }}\dfrac{{{{\text{\pi }}^{\text{2}}}}}{{\text{2}}} \\ $

14: अवकल समीकरण ${\text{(x  +  1)}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  2}}{{\text{e}}^{{\text{ - y}}}}{\text{  -  1}}$का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि ${\text{y  =  0}}$ यदि ${\text{x  =  0}}$

उत्तर: ${\text{(x  +  1)}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  =  2}}{{\text{e}}^{{\text{ - y}}}}{\text{  -  1}}$

${\text{ =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{2}}{{\text{e}}^{{\text{ - y}}}}{\text{  -  1}}}}{\text{dy  =  }}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{x  +  1}}}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{{\text{e}}^{\text{y}}}}}{{{\text{2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}}}{\text{dy  =  }}\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{x  +  1}}}} \\ $

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\int {\dfrac{{{{\text{e}}^{\text{y}}}}}{{{\text{2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}}}} {\text{dy  =  }}\int {\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{x  +  1}}}}} {\text{  +  C}}$

माना ${\text{2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  =  t}}$

$   \Rightarrow {\text{ -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{dy  =  dt}} \\$

$  \therefore {\text{  -  }}\int {\dfrac{{{\text{dt}}}}{{\text{t}}}} {\text{  =  log| x  +  1 |  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  log| t |  =  log | x  +  1 |  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{ -  log| t |  =  log| x  +  1 |  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\left| {{\text{ 2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}} \right|{\text{  +  log| x  +  1 |  =  C}} \\ $

$ \Rightarrow {\text{log}}\left| {\;\left( {{\text{2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}} \right){\text{(x  +  1) }}} \right|{\text{  =  C  =  log A}}$ (माना) 

${\text{x  =  0}}$और ${\text{y  =  0}}$ रखने पर

${\text{1 \times 1  =  A}} \\$

$  {\text{ =  A  =  1}} \\$

$\therefore{(2-{e}^y)}\text{(x+1=1)}$

$   \Rightarrow \left( {{\text{2  -  }}{{\text{e}}^{\text{y}}}} \right){\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{(x  +  1)}}}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  =  2  -  }}\dfrac{{\text{1}}}{{{\text{(x  +  1)}}}} \\$

$   \Rightarrow {{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{{\text{x  +  1}}}} \\$

$  {\text{y  =  log}}\left| {\dfrac{{{\text{2x  +  1}}}}{{{\text{x  +  1}}}}} \right|{\text{,}}\quad {\text{x}} \ne {\text{ - 1}} \\ $

15: किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् $1999$ में गाँव की जनसंख्या $20,000$ थी और सन् $2004$ में $25,000$ थी, तो ज्ञात कोजिए, कि सन् $2009$ में गाँव की जन संख्या क्या होगी?

उत्तर: माना ${\text{t}}$ समय में गाँव की जनसंख्या ${\text{y}}$ होगी। 

दियाहै :

जनसंख्या में वृद्धि की दर $ \propto $ निवासियों की संख्या

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dt}}}}\alpha {\text{y }} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dt}}}}{\text{  =  ky}} \\ $

जहाँ ${\text{k}}$ एक समानुपाती नियतांक है।

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  kdt}}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$  \int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}} {\text{  =  }}\int {\text{k}} {\text{ dt  +  C}} \\$

$  \therefore {\text{ log y  =  kt  +  C \ldots  \ldots }}...{\text{(i)}} \\ $

वर्ष $1999$ में मान लिया ${\text{t  =  0}}$पर जनसंख्या $20,000$

$  \therefore \,\,{\text{log 20,000  =  0  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{C  =  log 20,00}}0 \\ $

C का मान समीकरण (i) में रखने पर

$  {\text{log y  =  kt  +  log 20,000}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log y  -  log 20,000  =  kt}} \\$

$  \therefore {\text{log }}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  kt \ldots  \ldots }}....{\text{(ii) }} \\ $

वर्ष $2004$ में,

${\text{t  =  5 \&  y  =  25,000}} \\$

$  \therefore \,\;{\text{log }}\dfrac{{{\text{25000}}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  kX5}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}}{\text{  =  kX5}} \\$

$   \Rightarrow {\text{k  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{5}}}{\text{ log }}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}} \\ $

${\text{k}}$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर

$ =  > \operatorname{l} {\text{og}}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  }}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{5}}}{\text{log}}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}}} \right){\text{t}}$

वर्ष ${\text{2009}}$ में, ${\text{t  =  10}}$

$   \Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  }}\left( {\dfrac{{\text{1}}}{{\text{5}}}{\text{log}}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}}} \right){\text{  \times  10}} \\$

$   \Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  2 log}}\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}} \\$

   $\Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  log}}{\left( {\dfrac{{\text{5}}}{{\text{4}}}} \right)^{\text{2}}} \\$

   $\Rightarrow {\text{log}}\dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  log}}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{16}}}} \\$

   $\Rightarrow \dfrac{{\text{y}}}{{{\text{20000}}}}{\text{  =  }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{16}}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  }}\dfrac{{{\text{25}}}}{{{\text{16}}}}{\text{ \times 20000}} \\$

  ${\text{ =  25 \times 1250  =  31250}} \\ $

16: आवकल सपीकरण $\dfrac{{{\text{y dx  -  x dy}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  0}}$ का व्यापक हल हैं:

A. ${\text{xy  =  C}}$

B. ${\text{x  =  C}}{{\text{y}}^{\text{2}}}$

C. ${\text{y  =  Cx}}$

D. ${\text{y  =  C}}{{\text{x}}^{\text{2}}}$

उत्तर: $\dfrac{{{\text{y dx  -  x dy}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  0}}$

$ \Rightarrow {\text{dx  -  }}\dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}{\text{dy  =  0}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dx}}}}{{\text{x}}}{\text{  -  }}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}{\text{  =  0}} \\ $

अवकल करने पर

$  \int {\dfrac{{{\text{dx}}}}{{\text{x}}}} {\text{  -  }}\int {\dfrac{{{\text{dy}}}}{{\text{y}}}} {\text{  =  C}} \\$

$  {\text{log x  -  log y  =  C}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}{\text{  =  C}} \\ $

${\text{C  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{C}}}$रखने पर 

$  \dfrac{{\text{x}}}{{\text{y}}}{\text{  =  }}\dfrac{{\text{1}}}{{\text{C}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y  =  Cx}} \\ $

 (C) सही है

17: $\dfrac{{{\text{dx}}}}{{{\text{dy}}}}{\text{  +  }}{{\text{P}}_{\text{1}}}{\text{x  =  }}{{\text{Q}}_{\text{1}}}$के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है :

A. ${\text{y}}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dy}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{Q}}_{\text{1}}}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dy}}}}} \right)} {\text{dy  +  C}}$

B. ${\text{y}}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{Q}}_{\text{1}}}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dx}}}}} \right)} {\text{dx  +  C}}$

C. ${\text{x}}{{\text{e}}^{\;\int P {\text{dy}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{Q}}_{\text{1}}}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dy}}}}} \right)} {\text{ dy  +  C}}$

D. ${\text{x}}{{\text{e}}^{\int {\text{P}} {\text{dx}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{Q}}_{\text{1}}}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dx}}}}} \right)} {\text{dx  +  C}}$

उत्तर: अवकल समीकरण का व्यापक हल है

$\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  }}{{\text{P}}_{\text{1}}}{\text{  =  }}{{\text{Q}}_{\text{1}}} \\$

$   \Rightarrow {\text{I}}{\text{. F}}{\text{. =  }}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dy}}}} \\$

$  {\text{x X I}}{\text{.F}}{\text{.  =  }}\int {\text{Q}} {\text{X I}}{\text{.F }}{\text{. dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{x }}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dy}}}}{\text{  =  }}\int {\left( {{{\text{Q}}_{\text{1}}}{\text{X}}{{\text{e}}^{\int {{{\text{P}}_{\text{1}}}} {\text{dy}}}}} \right)} {\text{ dy  +  C}} \\ $

(C) सही है

18: अवकल समीकरण ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{dy  +  }}\left( {{\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  2x}}} \right){\text{dx  =  0}}$ का व्यापक हल है:

A. ${\text{x}}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  C}}$

B. ${\text{x}}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  +  }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{  =  C}}$

C. ${\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  C}}$

D. ${\text{y}}{{\text{e}}^{\text{y}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  C}}$

उत्तर: ${{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{dy  +  }}\left( {{\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  2x}}} \right){\text{dx  =  0}}$

$ \Rightarrow {{\text{e}}^{\text{x}}}\dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  }}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{y  =   -  2x}} \\$

$   \Rightarrow \dfrac{{{\text{dy}}}}{{{\text{dx}}}}{\text{  +  1 }}{\text{. y  =   -  2x}}{{\text{e}}^{\text{x}}} \\$

  ${\text{I}}{\text{.F}}{\text{. = }}{{\text{e}}^{\int {\text{d}} {\text{x}}}}{\text{ = }}{{\text{e}}^{\text{x}}} \\ $

अवकल समीकरण का व्यापक हल है

${\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ = }}\int {{\text{( - 2x)}}} {\text{X}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{ dx + C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  =   -  }}\int {\text{2}} {\text{x dx  +  C}} \\$

$   \Rightarrow {\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  =   -  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  +  C}} \\$

  $ \Rightarrow {\text{y}}{{\text{e}}^{\text{x}}}{\text{  +  }}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{  =  C}} \\ $

 (C) सही है

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations In Hindi

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