NCERT Solutions for Class 9 Maths In Hindi Chapter 1 Number System

प्रश्नावली 1.1

1. क्या  शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे  ${\displaystyle \frac{p}{q}}$   के  रूप में  लिख  सकते हैं, जहाँ $p$ और $q$  पूर्णांक  हैं और $q\ne 0$  है?

उत्तर: हाँ, हम शून्य को एक परिमेय संख्या कह सकते हैं क्योंकि इसे ${\displaystyle \frac{0}{1}},{\displaystyle \frac{0}{2}},{\displaystyle \frac{0}{3}}$  के  रूप में भी लिखा जा  सकता है ,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक  हैं और $q\ne 0$ है।

2. $3$ और $4$ के  बीच  में  छः  परिमेय  संख्याएँ  ज्ञात  कीजिये।

उत्तर : $3$ और $4$ के  बीच  में  छः  परिमेय  संख्याएँ दो तरीके से ज्ञात की जा सकती है- 

 तरीका 1: 

छ: परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए हम अंश और हर को $6+1=7$  से गुणा करेंगे। 

 हम अब $3\times {\displaystyle \frac{7}{7}}={\displaystyle \frac{21}{7}}$ तथा $4\times {\displaystyle \frac{7}{7}}={\displaystyle \frac{28}{7}}$ के बीच $6$  परिमेय संख्या करेंगे।

जो कि इस प्रकार हैं- $${\displaystyle \frac{22}{7}},{\displaystyle \frac{23}{7}},{\displaystyle \frac{24}{7}},{\displaystyle \frac{25}{7}},{\displaystyle \frac{26}{7}},{\displaystyle \frac{27}{7}}$$ 

तरीका 2:

$3$ और $4$ के  बीच  में  छः  परिमेय  संख्याएँ इस प्रकार हैं -

$3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6$ 

3. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$  और ${\displaystyle \frac{4}{5}}$  के  बीच   पाँच  परिमेय  संख्याएँ   ज्ञात  कीजिये।

उत्तर: दी गयी परिमेय संख्याओं को दशमलव  में बदलने पर 

${\displaystyle \frac{3}{5}}=0.6$  और ${\displaystyle \frac{4}{5}}=0.8$

अतः ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ और ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ के बीच पाँच परिमेय संख्या इस प्रकार हैं

$0.60,0.62,0.63,0.64,0.65$

4.  नीचे दिये गए  कथन  सत्य हैं या  असत्य  कारण के  साथ अपने  उत्तर  दीजिये। 

1. प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती  है। 

उत्तर: सत्य, क्योंकि पूर्ण संख्याओं में $0$ के अतिरिक्त सभी प्राकृतिक संख्याएं ही होती हैं।

2. प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। 

उत्तर: असत्य, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक पूर्ण संख्या नहीं होते हैं।

3. प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर: असत्य, क्योंकि परिमेय संख्याएं जैसे ${\displaystyle \frac{3}{5,}}{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{7}{9}}$ इत्यादि पूर्ण संख्याएं नहीं होती हैं।

प्रश्नावली 1.2

1. नीचे दिए गए कथन सत्य है या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए। 

1. प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। 

उत्तर: सत्य , क्योंकि सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह ही वास्तविक संख्या होता है।

2. संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु $m$ के रूप का होता है, जहाँ $\sqrt{m}$ एक प्राकृत संख्या है।

उत्तर: असत्य , क्योंकि उदाहरण के लिये $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ के बीच अनंत संख्याएँ होती हैं जो कि $\sqrt{m}$ के रूप में नहीं होती हैं , जहां $m$ एक प्राकृत संख्या है।

3. प्रत्येक  वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

उत्तर: असत्य ,क्योंकि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह वास्तविक संख्या होता है।

2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो कि एक परिमेय संख्या है।

उत्तर : नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते है। उदाहरण के लिये $\sqrt{4}=2$  एक परिमेय संख्या है।

3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

उत्तर : $\sqrt{5}$ को संख्या रेखा पर दर्शाने के लिये पहले $0$ से $2$ इकाई की दूरी $OB$ लेकर उस पर एक इकाई लंबाई का लम्ब $AB$ बनायेंगे| $OA$ की लंबाई $\sqrt{5}$ होगी| अब $O$ को केंद्र बनाकर $OA$ त्रिज्या लेकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाएँगे जो इस प्रकार होगा $OC=\sqrt{5}$|

प्रश्नावली 1.3

1. निम्नलिखित  भिन्नों  को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है :

1. ${\displaystyle \frac{36}{100}}$ 

उत्तर: ${\displaystyle \frac{36}{100}}=0.36$

दशमलव प्रसार सांत है|

2. ${\displaystyle \frac{1}{100}}$ 

उत्तर: ${\displaystyle \frac{1}{100}}=0.0909=0.\overline{09}$

दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है|

3. $4\times {\displaystyle \frac{1}{8}}$ 

उत्तर: $4\times {\displaystyle \frac{1}{8}}=4.125$

दशमलव प्रसार सांत है|

4. ${\displaystyle \frac{3}{13}}$ 

उत्तर: $${\displaystyle \frac{3}{13}}=0.230769230769=0.\overline{230769}$$

दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है|

5. ${\displaystyle \frac{2}{11}}$ 

उत्तर: ${\displaystyle \frac{2}{11}}=0.181818=0.\overline{18}$

दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है|

6. ${\displaystyle \frac{329}{400}}$ 

उत्तर: ${\displaystyle \frac{329}{400}}=0.8225$

दशमलव प्रसार सांत है|

2: आप जानते हैं कि ${\displaystyle \frac{1}{7}}=0.\overline{142857}$ है। वास्तव में, लंबा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि ${\displaystyle \frac{2}{7}},{\displaystyle \frac{3}{7}},{\displaystyle \frac{4}{7}},{\displaystyle \frac{5}{7}},{\displaystyle \frac{6}{7}}$ प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे? (संकेत! ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ का मान ज्ञात करते समय शेषफलों का अध्ययन सावधानी से कीजिए।)

उत्तर: दिया गया है ${\displaystyle \frac{1}{7}}=0.\overline{142857}$

लंबा भाग दिए बिना ${\displaystyle \frac{2}{7}},{\displaystyle \frac{3}{7}},{\displaystyle \frac{4}{7}},{\displaystyle \frac{5}{7}},{\displaystyle \frac{6}{7}}$ के दशमलव प्रसार निम्न है 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{7}}=2\times {\displaystyle \frac{1}{7}}=2\times 0.\overline{142857}=0.\overline{285714}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{7}}=3\times {\displaystyle \frac{1}{7}}=3\times 0.\overline{142857}=0.\overline{428571}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{4}{7}}=4\times {\displaystyle \frac{1}{7}}=4\times 0.\overline{142857}=0.\overline{571428}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{5}{7}}=5\times {\displaystyle \frac{1}{7}}=5\times 0.\overline{142857}=0.\overline{714285}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{6}{7}}=6\times {\displaystyle \frac{1}{7}}=6\times 0.\overline{142857}=0.\overline{857142}$

3: निम्नलिखित को ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं  तथा $q\ne 0$ है

1. $0.\bar{6}$ 

उत्तर: माना $x=0.\bar{6}$ 

$x=0.66666.....$ ………(1)

समीकरण (1) को 10 से गुणा करने पर 

$\Rightarrow 10x=6.66666..$ 

$\Rightarrow 10x=6+0.666......$

$\Rightarrow 10x=6+x$ [समीकरण (1) से]

$\Rightarrow 10x-x=6$

$\Rightarrow 9x=6$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{6}{9}}$

$\therefore 0.\bar{6}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

2. $0.\overline{47}$ 

उत्तर: माना $x=0.\overline{47}$ 

$x=0.477777.....$ ………(1)

समीकरण (1) को 10 से गुणा करने पर 

$\Rightarrow 10x=4.777...$ ….(2)

समीकरण (2) को 10 से गुणा करने पर 

$\Rightarrow 100x=47.777...$

$\Rightarrow 100x=43+4.7777......$

$\Rightarrow 100x=43+10x$ [समीकरण (2) से]

$\Rightarrow 100x-10x=43$

$\Rightarrow 90x=43$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{43}{90}}$

$\therefore 0.\overline{47}={\displaystyle \frac{43}{90}}$

3. $0.\overline{001}$ 

उत्तर: माना $x=0.\overline{001}$ 

$x=0.001001001.....$ ………(1)

समीकरण (1) को 1000 से गुणा करने पर 

$\Rightarrow 1000x=1+0.001001001....$ 

$\Rightarrow 1000x=1+x$ [समीकरण (1) से]

$\Rightarrow 1000x-x=1$

$\Rightarrow 999x=1$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{999}}$

$\therefore 0.\overline{001}={\displaystyle \frac{1}{999}}$

4. $0.9999.....$  को ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।

उत्तर : माना $x=0.9999.....$ (1)

समीकरण (1) को 10 से गुणा करने पर 

$\Rightarrow 10x=9.99999.....$ 

$\Rightarrow 10x=9+x$ [समीकरण (1) से]

$\Rightarrow 10x-x=9$

$\Rightarrow 9x=9$

$\therefore x=1$

इससे हमें पता चलता है कि $0.9999.....$ और $1$  में बहुत कम अंतर है|

5. ${\displaystyle \frac{1}{17}}$ के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए ।

उत्तर:  ${\displaystyle \frac{1}{17}}$ के  दशमलव प्रसार में अंकों  के पुनरावृत्ति खंड में अंको की अधिकतम संख्या $16$ ($17$से कम) हो सकती है। ${\displaystyle \frac{1}{17}}$ को दशमलव में बदलने पर हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है :-

 ${\displaystyle \frac{1}{17}}=0.\overline{05882235294117647}$ 

  अतः ${\displaystyle \frac{1}{17}}$ के दशमलव प्रसार  में अंकों के पुनरावृति खंड में अंकों की संख्या $16$ है।

6. ${\displaystyle \frac{p}{q}}(q\ne 0)$ रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिये, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक है, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि कौन -सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?

उत्तर: ${\displaystyle \frac{p}{q}}(q\ne 0)$ रूप की परिमेय संख्याओं के उदाहरण निम्न है 

${\displaystyle \frac{2}{5}}=0.4$ 

${\displaystyle \frac{1}{10}}=0.1$ 

${\displaystyle \frac{3}{2}}=1.5$ 

${\displaystyle \frac{7}{8}}=0.875$ 

उपर्युक्त परिमेय संख्याओं के हर $2^m\times 5^n$  के रूप के है। जहाँ $m$ और $n$ पूर्ण संख्याएँ हैं।

7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती  हों।

उत्तर : तीन संख्याएँ  निम्नलिखित है

• $0.414114111411114.....$ 

• $2.01001000100001......$ 

• $\pi =3.1416.....$ 

8: परिमेय संख्याओं ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ और $\dfrac{9}{11}$ के बीच की  तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर : दो संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती है।

${\displaystyle \frac{5}{7}}=0.714285714285=0.\overline{714285}$

${\displaystyle \frac{9}{11}}=0.81818181=0.\overline{81}$

अतः तीन अपरिमेय संख्या निम्नलिखित हैं

• $0.72722722272222.......$ 

• $0.7373373337333.....$ 

• $0.74744744474444.....$ 

9: बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं :

1. $\sqrt{23}$ 

उत्तर: अपरिमेय संख्या

2. $\sqrt{225}$ 

उत्तर: परिमेय संख्या

3. $0.3796$ 

उत्तर: परिमेय संख्या

4. $7.478478$ 

उत्तर: परिमेय संख्या

5. $1.101001000100001$ 

उत्तर: अपरिमेय संख्या

प्रश्नावली 1.4

1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा $3.765$ को दिखाइए ?

उत्तर: संख्या रेखा पर $3.765$ इस प्रकार है-

2. $4$ दशमलव तक संख्या रेखा पर $4.26$ को दिखाइए ?

उत्तर: संख्या रेखा पर $4.26$ इस प्रकार है-

प्रश्नावली 1.5

1. बताइए नीचे दिए गए संख्याओं में से कौन-कौन सी परिमेय  है तथा कौन- सी  अपरिमेय है :

(i). $$2-\sqrt{5}$$

उत्तर: अपरिमेय 

(ii). $$(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}$$

उत्तर: परिमेय 

(iii). $$\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}$$

उत्तर: परिमेय 

(iv). $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

उत्तर: अपरिमेय 

(v). $$2\pi$$

उत्तर: अपरिमेय 

2: निम्नलिखित व्यंजनों में से प्रत्येक व्यंजन सरल कीजिए:

1. $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$

उत्तर: दिया गया व्यंजन है $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$

सरल करने पर 

$\Rightarrow (3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=6+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{2\times 3}$

$\therefore (3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=6+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$

2. $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$

उत्तर: दिया गया व्यंजन है $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$

हम जानते है कि $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

$\Rightarrow (3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=3^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$

$\Rightarrow (3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3$

$\therefore (3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=6$

3. ${(\sqrt{5}+\sqrt{2})}^2$

उत्तर: दिया गया व्यंजन है ${(\sqrt{5}+\sqrt{2})}^2$

हम जानते है कि ${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$ 

$\Rightarrow {(\sqrt{5}+\sqrt{2})}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\times \sqrt{5}\times \sqrt{2}$

$\Rightarrow {(\sqrt{5}+\sqrt{2})}^2=5+2+2\sqrt{10}$

$\therefore {(\sqrt{5}+\sqrt{2})}^2=7+2\sqrt{10}$

4. $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

उत्तर: दिया गया व्यंजन है $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

हम जानते है कि $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

$\Rightarrow (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})={\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$\Rightarrow (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=5-2$

$\therefore (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3$

3. आपको याद हो कि $\pi$ को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए $p$ ) और उसके व्यास( मान लीजिए $q$) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है अर्थात $\pi ={\displaystyle \frac{p}{q}}$ है  ।यह एक तरह का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि $\pi$ अपरिमेय है । इस अंतर्विरोध का मूल्यांकन आप किस प्रकार करेंगे?

उत्तर: यह कोई अंतर्विरोध नहीं है, क्योंकि जब हम किसी पैमाने से लंबाई   मापते हैं तो  हमें  सन्निकट परिमेय संख्या प्राप्त  होती है । अतः हम यह नहीं पता कर सकते कि $p$ या $q$ अपरिमेय है|

4.  संख्या रेखा पर $\sqrt{9.3}$ को  निरूपित कीजिए।

उत्तर: संख्या रेखा पर $AB=9.3$ बनाकर उसे बिंदु $C$ तक $1m$ और बनाए| $AC$ का सम्द्विभाजक बनायेंगे जो $AC$ को बिंदु $O$ पर काटे| $O$ को केंद्र मानकर $OA$ त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त बनाया जो बिंदु $D$ पर मिलता है| $O$को केंद्र मानकर $OD$ त्रिज्या लेकर $AE$ पर एक छाप लगाया जिससे $OE=\sqrt{9.3}$|

5. निम्नलिखित के  हरों पर परिमेयकरन  कीजिये :

1. ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}$

उत्तर: दी गई संख्या है ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}$

हर का परिमेयकरण करने पर 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{7}}$

2. ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}$

उत्तर: दी गई संख्या है ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}$

हर का परिमेयकरण करने पर 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$ 

हम जानते है कि $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$

3. ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$

उत्तर: दी गई संख्या है ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$

हर का परिमेयकरण करने पर 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}$

हम जानते है कि $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}$

4. ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}$ 

उत्तर: दी गई संख्या है ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}$

हर का परिमेयकरण करने पर 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}}$

हम जानते है कि $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+2}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(2\right)}^2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+2}{7-4}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+2}{3}}$

प्रश्नावली 1.6

1.  ज्ञात कीजिए: 

1. ${64}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {64}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\left(8^2\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ 

सरल करने पर 

$\Rightarrow {64}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=8^{2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}$

$\therefore {64}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=8$

2. ${32}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {32}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}={\left(2^5\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$ 

सरल करने पर 

$\Rightarrow {32}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2^{5\times {\displaystyle \frac{1}{5}}}$

$\therefore {32}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2$

3. ${125}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ 

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {125}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}={\left(5^3\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ 

सरल करने पर 

$\Rightarrow {125}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=5^{3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}}$

$\therefore {125}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=5$

2.  ज्ञात कीजिए: 

1. $9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow 9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\left(3^2\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$ 

सरल करने पर 

$$\Rightarrow 9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=3^{2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}}$$

$$\Rightarrow 9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=3^3$$

$$\therefore 9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=27$$

2. ${32}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {32}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}={\left(2^5\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}$ 

सरल करने पर 

$$\Rightarrow {32}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}=2^{5\times {\displaystyle \frac{2}{5}}}$$

$$\Rightarrow {32}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}=2^2$$

$$\therefore {32}^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}=4$$

3. ${16}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {16}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\left(2^4\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$ 

सरल करने पर 

$\Rightarrow {16}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=2^{4\times {\displaystyle \frac{3}{4}}}$

$\Rightarrow {16}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=2^2$

$\therefore {16}^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=8$

4. ${125}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {125}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}={\left(5^3\right)}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}$ 

सरल करने पर 

$\Rightarrow {125}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}=5^{3\times {\displaystyle \frac{-1}{3}}}$

$\Rightarrow {125}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}=5^{-1}$

$\therefore {125}^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}=0.2$

3. सरल कीजिए: 

1. $2^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times 2^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$ 

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow 2^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times 2^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2^{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}}$ 

सरल करने पर 

$\therefore 2^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times 2^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=2^{{\displaystyle \frac{13}{15}}}$

2. ${\left({\displaystyle \frac{1}{3^3}}\right)}^7$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{1}{3^3}}\right)}^7={\left(3^{-3}\right)}^7$

सरल करने पर 

$\therefore {\left({\displaystyle \frac{1}{3^3}}\right)}^7=3^{-21}$

3. ${\displaystyle \frac{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}={11}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$ 

सरल करने पर 

$\therefore {\displaystyle \frac{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{{11}^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}={11}^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$

4. $7^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\times 8^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

उत्तर: दिए गए व्यंजक को हम इस प्रकार लिख सकते है 

$\Rightarrow 7^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\times 8^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={(7\times 8)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ 

सरल करने पर 

$\therefore 7^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\times 8^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={56}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System in Hindi

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