NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 - In Hindi

प्रश्नावली 12.1

ग्राफीय विधि से निम्र रैखिक प्रोग्रामन समस्याओ को हल कीजिए: 

1. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  = }}\;{\text{3x + 4y}}$ का अधिकतमिकर्ण कीजिए ${\text{x + y}} \leqslant {\text{4 , x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(4,0) , B(0,4)}}$ अंकों के बीच बंधा है। Z की अधिकतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है।

स्पष्ट है की Z की अधिकतम मात्रा ${\text{16}}$ है जो अंक ${\text{B(0,4)}}$ पर है। 

2. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =   - 3x + 4y}}$ का न्यूनतमिकर्ण कीजिए ${\text{x + 2y}} \leqslant {\text{8 , 3x + 2y}} \leqslant {\text{12 , x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(4,0) , B(2,3) , C(0,4)}}$ अंकों के बीच बंधा है। Z की न्यूनतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है।

स्पष्ट है की Z की न्यूनतम मात्रा ${\text{ - 12}}$ है जो अंक ${\text{A(4,0)}}$ पर है। 

3. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  5x + 3y}}$ का अधिकतमिकरण कीजिए ${\text{3x + 5y}} \leqslant {\text{15 , 5x + 2y}} \leqslant {\text{10 , x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(2,0) , B(0,3) , C}}\left( {\frac{{{\text{20}}}}{{{\text{19}}}}{\text{,}}\frac{{{\text{45}}}}{{{\text{19}}}}} \right)$ अंकों के बीच बंधा है। Z की अधिकतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है।

स्पष्ट है की Z की अधिकतम मात्रा $\frac{{235}}{{19}}$ है जो अंक ${\text{C}}\left( {\frac{{{\text{20}}}}{{{\text{19}}}}{\text{,}}\frac{{{\text{45}}}}{{{\text{19}}}}} \right)$ पर है। 

4. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  3x + 5y}}$ का न्यूनतमिकरण कीजिए ${\text{x + 3y}} \geqslant {\text{3 , x + y}} \geqslant {\text{2 , x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(3,0) , B(}}\frac{3}{2},\frac{1}{2}{\text{) , C}}\left( {0,2} \right)$ अंकों के बीच बंधा नहीं है।

क्योंकि यह क्षेत्र बंधित नहीं है यह जरूरी नहीं की अंक B पर Z की न्यूनतम मात्रा है। अतः ${\text{3x + 5y}}\;{\text{ = }}\;{\text{7}}$ की रेखा बनाई जाती है। क्योंकि अंक B इस रेखा सीमा के अंदर आता है अंक B पर ही Z की न्यूनतम मात्रा है। 

स्पष्ट है की Z की न्यूनतम मात्रा ${\text{7}}$ है जो अंक ${\text{B(}}\frac{3}{2},\frac{1}{2}{\text{)}}$ पर है। 

5. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  3x + 2y}}$ का न्यूनतमिकरण कीजिए ${\text{x + 2y}} \leqslant 10\;,\;{\text{3x + y}} \leqslant 15\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(5,0) , B(4,3) , C}}\left( {0,5} \right)$ अंकों के बीच बंधा
है। Z की अधिकतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है।

स्पष्ट है की Z की अधिकतम मात्रा $18$ है जो अंक ${\text{B(4,3)}}$ पर है। 

6. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  x + 2y}}$ का न्यूनतमिकरण कीजिए ${\text{2x + y}} \geqslant 3\;,\;{\text{x + 2y}} \geqslant 6\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$ दिखाइए की Z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओ से अधिक बिन्दुओ पर घटित होता है। 

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{O(0,0) , A(0,6) , B(0,3)}}$ अंकों के बीच बंधा नहीं है।

क्योंकि यह क्षेत्र बंधित नहीं है यह जरूरी नहीं की अंक B पर Z की न्यूनतम मात्रा है। परंतु अंक A और अंक B दोनों पर ही Z की मात्रा बराबर है। इसका तात्पर्य है की क्योंकि Z की न्यूनतम मात्र एक से ज्यादा बार जाती है, रेखा ${\text{x + 2y}}\;{\text{ = }}\;{\text{6}}$ पर आने वाले हर अंक पर Z की मात्रा न्यूनतम है। 

7. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  5x + 10y}}$ का न्यूनतिकर्ण तथा अधिकतमिकरण कीजिए ${\text{x + 2y}} \leqslant 120\;,\;{\text{x + y}} \geqslant 60\;,\;{\text{x - 2y}} \geqslant 0\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{A(60,0) , B(120,0) , C(60,30) , D(40,20)}}$ अंकों के बीच बंधा है। Z की अधिकतम और न्यूनतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है। 

स्पष्ट है की Z की न्यूनतम मात्रा ${\text{300}}$ है जो अंक ${\text{A(60,0)}}$ पर है और क्योंकि Z = ${\text{600}}$ की अधिकतम मात्रा अंक B तथा अंक C पर है, अंक B और अंक C को जोड़ने वाली रेखा पर आने वाले हर अंक के लिए Z की मात्रा अधिकतम है। 

8. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  x + 2y}}$ का न्यूनतमिकरण तथा अधिकतमिकरण कीजिए ${\text{x + 2y}} \geqslant 100\;,\;{\text{2x - y}} \leqslant 0\;,\;{\text{2x + y}} \leqslant 200\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{A(0,50) , B(20,40) , C(50,100) , D(0,200)}}$ अंकों के बीच बंधा है। Z की अधिकतम और न्यूनतम मात्रा इन्ही अंकों पर संभव है।

स्पष्ट है की Z की न्यूनतम मात्रा ${\text{400}}$ है जो अंक ${\text{D(0,200)}}$ पर है और क्योंकि Z = ${\text{100}}$ की न्यूनतम मात्रा अंक B तथा अंक A पर है, अंक B और अंक A को जोड़ने वाली रेखा पर आने वाले हर अंक के लिए Z की मात्रा अधिकतम है।

9. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =   - x + 2y}}$ का अधिकतमिकरण कीजिए ${\text{x}} \geqslant 3\;,\;{\text{x + y}} \geqslant 5\;,\;{\text{x + 2y}} \geqslant 6\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र ${\text{A(6,0) , B(4,1) , C(3,2)}}$ अंकों के बीच बंधा नहीं है।

क्योंकि यह क्षेत्र बंधित नहीं है यह जरूरी नहीं है की अंक C पर Z = ${\text{1}}$ की अधिकतम मात्रा हो। अतः ${\text{ - x + 2y  =  1}}$ की रेखा बनाई जाती है। क्योंकि अंक C इस रेखा सीमा के अंदर नहीं आता है Z की कोई अधिकतम मात्रा नहीं है। 

10. निम्र अवरोधों के अंतर्गत ${\text{Z  =  x + y}}$ का अधिकतमिकरण कीजिए ${\text{x - y}} \leqslant  - 1\;,\;{\text{ - x + y}} \leqslant 0\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

उत्तर: दिए गए अवरोधों के बाद नीचे दिए गए ग्राफ मे संभव क्षेत्र को गहरे रंग से रंगा गया है

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यह क्षेत्र बंधित नहीं है और ना ही कोई क्षेत्र समान है अतः Z की अधिकतम मात्रा संभव नहीं है। 

प्रश्नावली 12.2

1. रेशमा दो तरह के भोज्य P  और Q  को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में आठ मात्रक विटामिन A  और ${\text{11}}$ मात्रक विटामिन B  हो। भोज्य P  की लागत ${\text{Rs}}{\text{. 60/kg}}$  और भोज्य Q की लागत ${\text{Rs}}{\text{. 80/kg}}$  है। भोज्य P  में तीन मात्रक प्रति किलोग्राम  विटामिन A  और पाँच मात्रक प्रति किलोग्राम  विटामिन B  होता है जबकि भोज्य Q  में चार मात्रक प्रति किलोग्राम  विटामिन A  और दो मात्रक प्रति किलोग्राम  विटामिन B  होता है?  मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात किजिए।

उत्तर: माना की मिश्रण P का ${\text{x kg}}$ और भोज्य Q का ${\text{y kg}}$ है। स्पष्ट ${\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$ हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है।

चूंकि मिश्रण मे विटामिन A की कम से कम आठ मात्रक और विटामिन C के $11$ मात्रक होने चाहिए। अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते है 

${\text{3x + 4y}} \geqslant 8$

${\text{5x + 2y}} \geqslant 11$

भोज्य P का ${\text{x kg}}$ और भोज्य Q का ${\text{y kg}}$ खरीदने पर कुल मूल्य Z है जहा ${\text{Z  =  60x + 80y}}$

अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है :

निम्र व्यवरोधों के अंतर्गत 

${\text{3x + 4y}} \geqslant 8\;,\;{\text{5x + 2y}} \geqslant 11\;,\;{\text{x}} \geqslant 0\,,\;{\text{y}} \geqslant 0$

${\text{Z  =  60x + 80y}}$ का न्यूनतमिकरण कीजिए:

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यह हमे देखा है की सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है इसलिए $160$ की Z न्यूनतम मान हो भी सकता और नहीं भी। 

अब इसके लिए हमे निम्नलिखित अस्मिकरण का आलेख खींचना पड़ेगा 

$60x + 80y < 160 $

$  3x + 4y < 8 $

और अब जांच करते है की क्या अस्मिकर्ण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ट बिन्दु रखता है। यहा ये पाया गया की सुसंगत क्षेत्र मे अस्मिकरण ${\text{3x + 4y < 8}}$ के साथ कोई उभयनिष्ट बिन्दु नहीं है। इसलिए मिश्रण की न्यूनतम लागत ${\text{Rs160}}$ है। 

2. एक प्रकार के केक को ${\text{200}}\;{\text{g}}$ आटा तथा ${\text{25}}\;{\text{g}}$ वसा की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लियें ${\text{100 g}}$ आटा तथा ${\text{50 g}}$ वसा की आवश्यकता होती है। केको की अधिकतम संख्या बताओ जो पाँच किलो आटे तथा एक किलो वसा से बन सकते है, यह मान लिया गया है की केको को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी। 

उत्तर: माना की पहले प्रकार के ${\text{x}}$ केक और दूसरे प्रकार के ${\text{y}}$ केक होते है। इसलिए स्पष्ट ${\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$ हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है। 

$\begin{gathered} {\text{200x + 100y}} \leqslant {\text{5000}} \hfill \\ \Rightarrow {\text{ 2x + y}} \leqslant {\text{50}} \hfill \\ {\text{25x + 50y}} \leqslant {\text{1000}} \hfill \\ \Rightarrow {\text{ x + 2y}} \leqslant {\text{40}} \hfill \\ \end{gathered} $

कुल केक जो की बन सकते है ${\text{z  =  x + y}}$

प्रश्न के अनुसार हमे Z का अधिकतमिकरण करना है, निम्र व्यवरोधों के अंतर्गत 

$\begin{gathered} {\text{2x + y}} \leqslant {\text{50}} \hfill \\ {\text{x + 2y}} \leqslant {\text{40}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

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कोणीय बिन्दु ${\text{A(25,0) , B(20,10) , O(0,0) , C(0,20) }}$

केको की अधिकतम संख्या ${\text{30}}$ है जो पाँच किलो आटे तथा एक किलो वसा से बन सकते है। 

3. एक कारखाने मे टेनिस के रैकिट और क्रिकेट के बल्ले बनते है। एक टेनिस रैकिट बनाने के लिए ${\text{1}}{\text{.5}}$ घंटा यांत्रिक समय और तीन घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने मे तीन घंटे यांत्रिक समय तथा एक घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन मे कारखाने मे विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के ${\text{42}}$ घंटे और शिल्पकार समय के ${\text{24}}$ घंटे से अधिक नहीं है। 

(i) रैकेटों और बललो को कितनी संख्या मे बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?

उत्तर: माना की टेनिस के रैकिट की संख्या ${\text{x}}$ है और क्रिकेट के बल्लों की संख्या ${\text{y}}$ है। स्पष्ट ${\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}}$

यांत्रिक समय का अधिकतम समय ${\text{42}}$ घंटे है: ${\text{1}}{\text{.5x + 3y}} \leqslant {\text{42}}$

शिल्पकार समय का अधिकतम समय $24$ घंटे है: ${\text{3x + y}} \leqslant {\text{24}}$

कारखाना पूरी क्षमता से कार्य कर रहा है इसलिए 

$\begin{gathered} {\text{1}}{\text{.5x + 3y = 42}} \hfill \\ {\text{3x + y = 24}} \hfill \\ {\text{x = 4 , y = 12}} \hfill \\ \end{gathered} $

(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमश: ${\text{Rs}}{\text{. 20 , Rs}}{\text{. 10}}$ हो तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे। 

उत्तर: हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है

$\begin{array}{*{20}{r}} {{\text{1}}{\text{.5x + 3y}} \leqslant {\text{42}}} \\ {{\text{3x + y}} \leqslant {\text{24}}} \end{array}$

रैकिट और बल्ले पर लाभ क्रमश: ${\text{Rs}}{\text{. 20 , Rs}}{\text{. 10}}$ है 

${\text{Z  =  20x + 10y}}$

अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है, निम्र व्यवरोधों के अंतर्गत 

$\begin{array}{*{20}{r}} {{\text{1}}{\text{.5x + 3y}} \leqslant {\text{42}}} \\ {{\text{3x + y}} \leqslant {\text{24}}} \end{array}$

${\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$

${\text{Z  =  20x + 10y}}$ का अधिकतमिकरण कीजिए

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कोणीय बिन्दु ${\text{A(8,0) , B(4,12) , O(0,0) , C(0,14) }}$

कारखाने का अधिकतम लाभ जब कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे = ${\text{Rs}}{\text{. 200}}$

4. एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण मे मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर तीन घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण मे तीन घंटे मशीन A पर और एक घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से ${\text{Rs}}{\text{. 17}}{\text{.50}}$ प्रति पैकेट और बोल्टों पर ${\text{Rs}}{\text{. 7}}{\text{.00}}$ प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग बारह घंटे किया जाए प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किये जाए ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके। 

उत्तर: माना कि निर्माणकर्ता नट के ${\text{x}}$ पैकेट और बोल्टों के ${\text{y}}$ पैकेट निर्माण करता है। स्पष्ट ${\text{x}} \geqslant {\text{0}}\;{\text{,}}\;{\text{y}} \geqslant {\text{0}}$ दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है

नटों से ${\text{Rs}}{\text{. 17}}{\text{.50}}$ प्रति पैकेट और बोल्टों पर ${\text{Rs}}{\text{. 7}}{\text{.00}}$ प्रति पैकेट लाभ है। 

व्यवरोध प्राप्त होते है 

$\begin{gathered} {\text{x + 3y}} \leqslant {\text{12}} \hfill \\ {\text{3x + y}} \leqslant {\text{12}} \hfill \\ \end{gathered} $

कुल लाभ ${\text{Z  =  17}}{\text{.5x + 7y}}$

अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है, निम्र व्यवरोधों के अंतर्गत 

$\begin{gathered} {\text{x + 3y}} \leqslant {\text{12}} \hfill \\ {\text{3x + y}} \leqslant {\text{12}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{Z  =  17}}{\text{.5x + 7y}}$ का अधिकतमिकरण कीजिए 

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कोणीय बिन्दु ${\text{A(4,0) , B(3,3) , O(0,0) , C(0,4)}}$

Z का अधिकतम मान ${\text{(3,3)}}$ पर ${\text{73}}{\text{.50}}$ है 

अतः हम कह सकते है की निर्माणकर्ता को अधिकतम लाभ के लिए प्रति दिन तीन पैकेट नट और तीन पैकेट बोल्ट का निर्माण करना चाहिए एवं अधिकतम लाभ है ${\text{Rs}}{\text{. 73}}{\text{.50}}$ है। 

5. एक कारखाने मे दो प्रकार के पेंच A और B बनते है, प्रत्येक निर्माण मे दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमे एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण मे चार मिनट स्वचालित मशीन और छ: मिनट हस्तचालित मशीन तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण मे छ: मिनट स्वचालित और तीन मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम चार घंटे के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर ${\text{Rs}}{\text{. 7}}$ और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर ${\text{Rs}}{\text{. 10}}$ का लाभ कमाता है। यह मानते हुए है की कारखाने मे निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते है, ज्ञात कीजिए की प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाए जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: माना की निर्माणकर्ता प्रतिदिन A के ${\text{x }}$ पैकेट और पेंच B के ${\text{y}}$ पैकेट निर्माण करता है। स्पष्ट ${\text{x}} \geqslant {\text{0}}\;{\text{,}}\;{\text{y}} \geqslant {\text{0}}$ दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है।

पेंच A से ${\text{Rs}}{\text{. 7}}{\text{.0}}$ प्रति पैकेट और पेंच B पर ${\text{Rs}}{\text{. 10}}{\text{.00}}$ प्रति पैकेट लाभ है। व्यवरोध प्राप्त होते है $\begin{gathered}

  {\text{4x + 6y}} \leqslant {\text{240}} \hfill \\

  {\text{6x + 3y}} \leqslant {\text{240}} \hfill \\ 

\end{gathered} $

कुल लाभ ${\text{Z  =  7x + 10y}}$

अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है 

$\begin{gathered} {\text{4x + 6y}} \leqslant {\text{240}} \hfill \\ {\text{6x + 3y}} \leqslant {\text{240}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{Z  =  7x + 10y}}$ का अधिकतमिकरन कीजिए

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कोणीय बिन्दु ${\text{A(40,0) , B(30,20) , O(0,0) , C(0,40)}}$

Z का अधिकतम मान ${\text{(30,20)}}$ पर ${\text{410}}$ है। 

अतः हम कह सकते है की निर्माणकर्ता को अधिकतम लाभ के लिए प्रति दिन तीन पैकेट पेंच A और तीन पैकेट पेंच B का निर्माण करना चाहिए एवं अधिकतम लाभ है ${\text{Rs}}{\text{. 410}}$ है। 

6. एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडएस्टल लैम्प और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण मे एक रगड़ने / काटने और एक स्पेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैम्प के निर्माण मे दो घंटे रगड़ने / काटने और तीन घंटे स्पेयर करने की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण मे एक घंटे रगड़ने / काटने और दो घंटे स्पेयर करने की आवश्यकता होती है। स्पेयर की मशीन अधिकतम ${\text{20}}$ घंटे और रगड़ने / काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम ${\text{12}}$ घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैम्प की बिक्री पर ${\text{Rs}}{\text{. 5}}$ और एक शेड की बिक्री पर ${\text{Rs}}{\text{. 3}}$ का लाभ होता है। यह मानते हुए की सभी निर्मित लैम्प और शेड बिक जाते है तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए की लाभ अधिकतम हो। 

उत्तर: मान लीजिए निर्माता ${\text{x}}$ पैडएस्टल लैम्प और ${\text{y}}$ लकड़ी के शेड बनाता है। 

प्रश्न के अनुसार 

$\begin{gathered} {\text{z = 5x + 3y}} \hfill \\ {\text{2x + y}} \leqslant {\text{12}} \hfill \\ {\text{3x + 2y}} \leqslant {\text{20}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{2x + y  =  12}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 6,0}} \hfill \\ {\text{y = 0,12}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{3x + 2y  =  20}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,6}}{\text{.6}} \hfill \\ {\text{y = 10,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{2x + y  =  12 , 3x + 2y  =  20}}$ से ${\text{(4,4)}}$

मान लीजिए ${\text{O(0,0) , A(6,0) , B(4,4) , C(0,10)}}$

ज का अधिकतम मान ${\text{32}}$ है। 

अतः निर्माता को अधिकतम लाभ के लिए चार पैडएस्टल लैम्प और चार लकड़ी के शेड बनाने होंगे। 

7. एक कंपनी प्लाइवुड के अनूठे चिन्ह का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के निर्माण मे पाँच मिनट काटने और दस मिनट जोड़न मे लगते है। B प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के लिए आठ मिनट काटने और आठ मिनट जोड़ने मे लगते है। दिया गया है की काटने के लिए कुल समय तीन घंटे बीस मिनट तथा जोड़ने के लिए चार घंटे उपलब्ध है। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्ह पर ${\text{Rs}}{\text{. 5}}$ और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्ह पर ${\text{Rs}}{\text{. 6}}$ का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए की लाभ के अधिकतमिकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने कितने स्मृति चिन्ह का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए। 

उत्तर: मान लीजिए निर्माता ${\text{x}}$ , A प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह और ${\text{y}}$ , B प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह का निर्माण करती है। 

प्रश्न के अनुसार 

$\begin{gathered} {\text{Z = 5x + 6y}} \hfill \\ {\text{5x + 8y}} \leqslant {\text{200}} \hfill \\ {\text{10x + 8y}} \leqslant {\text{240 }} \Rightarrow {\text{ 5x + 4y}} \leqslant {\text{120}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{5x + 8y  =  200}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,40}} \hfill \\ {\text{y = 25,0}} \hfill \\ \end{gathered} $ ${\text{5x + 4y = 120}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,24}} \hfill \\ {\text{y = 30,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{5x + 8y  =  200 , 5x + 4y  =  120}}$ से ${\text{(8,20)}}$

मान लीजिए ${\text{O(0,0) , A(24,0) , B(8,20) , C(0,25)}}$

Z का अधिकतम मान ${\text{160}}$ है। 

अतः लाभ के अधिकतमिकरण के लिए A प्रकार के आठ और B प्रकार के बीस स्मृति चिन्ह का निर्माण करना होगा। 

8. एक सोदागार दो प्रकार के निजी कंप्युटर और डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी किमते क्रमश: ${\text{Rs}}{\text{. 25000 , Rs}}{\text{. 40000}}$ होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है की कॉमपुटरों की कुल मासिक मांग ${\text{250}}$ नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कॉमपुटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करे यदि उसके पास निवेश के लिए ${\text{Rs}}{\text{. 70}}$ लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ ${\text{Rs}}{\text{. 4500}}$ और पोर्टेबल नमूने पर ${\text{Rs}}{\text{. 5000}}$ लाभ हो। 

उत्तर: मान लीजिए सौदागर ${\text{x}}$ डेस्कटॉप नमूना और ${\text{y}}$ पोर्टेबल नमूना बेचता है। 

प्रशन के अनुसार 

$\begin{gathered} {\text{z = 4500x + 5000y}} \hfill \\ {\text{x + y}} \leqslant {\text{250}} \hfill \\ {\text{25000x + 40000y}} \leqslant {\text{7000000 }} \Rightarrow {\text{ 5x + 8y}} \leqslant {\text{1400}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{5x + 8y  =  1400}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,280}} \hfill \\ {\text{y = 175,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{x + y  =  250}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,250}} \hfill \\ {\text{y = 250,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{x + y  =  250 , 5x + 8y  =  1400}}$ से ${\text{(200,50)}}$

मान लीजिए ${\text{A(250,0) , B(200,50) , C(0,175)}}$

Z का अधिकतम मान ${\text{1150000}}$ है। 

अतः सौदागर को अधिकतम लाभ के लिए ${\text{200}}$ डेस्कटॉप नमूने और ${\text{50}}$ पोर्टेबल नमूने बेचने होंगे। 

9. एक भोज्य पदार्थ मे कम से कम ${\text{80}}$ मात्रक विटामिन A और ${\text{100}}$ मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य ${{\text{F}}_1}\;,\;{{\text{F}}_2}$ उपलब्ध है। भोज्य ${{\text{F}}_1}$ की लागत ${\text{Rs}}{\text{. 4}}$ प्रति मात्रक और ${{\text{F}}_2}$ की लागत ${\text{Rs}}{\text{. 5}}$ प्रति मात्रक है। भोज्य ${{\text{F}}_1}$ की एक इकाई मे कम से कम तीन मात्रक विटामिन A और चार मात्रक खनिज है। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या मे सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल ज्ञात कीजिए जिसमे इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमे न्यूनतम पोषक तत्व है। 

उत्तर: मान लीजिए ${{\text{F}}_1}$ मे ${\text{x}}$ मात्रक भोज्य और ${{\text{F}}_2}$ मे ${\text{y}}$ मात्रक भोज्य है। 

प्रश्न के अनुसार 

${\text{z  =  4x + 6y}}$

$\begin{gathered} {\text{3x + 6y}} \geqslant {\text{80}} \hfill \\ {\text{4x + 3y}} \geqslant {\text{100}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{3x + 6y  =  80}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,80/3}} \hfill \\ {\text{y = 40/3,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{4x + 3y  =  100}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,25}} \hfill \\ {\text{y = 100/3,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{3x + 6y  =  80 , 4x + 3y  =  100}}$ पर ${\text{(24,4/3)}}$

मान लीजिए ${\text{A(80/3,0) , B(24,4/3) , C(0,100/3)}}$

ज का न्यूनतम मान $140$ है। 

10. दो प्रकार के उर्वरक ${{\text{F}}_1}\;,\;{{\text{F}}_2}$ है। ${{\text{F}}_1}$ मे $10\% $ नाइट्रोजन और $6\% $ फास्फोरिक अमल है तथा ${{\text{F}}_2}$ मे $5\% $ नाइट्रोजन तथा $10\% $ फास्फोरिक अमल है। मिट्टी कीस्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात एक किसान पाता है की उसमे अपनी फसल के लिए ${\text{14}}\;{\text{kg}}$ नाइट्रोजन तथा ${\text{14}}\;{\text{kg}}$ फास्फोरिक अमल की आवश्यकता है। यदि ${{\text{F}}_1}$ की कीमत ${\text{Rs}}{\text{. 6/kg}}$ और ${{\text{F}}_2}$ की कीमत ${\text{Rs}}{\text{. 5/kg}}$ है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वंचित पोशाक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है। 

उत्तर: मान लीजिए किसान ${{\text{F}}_1}$ का ${\text{x}}\;{\text{kg}}$ और ${{\text{F}}_2}$ का ${\text{y}}\;{\text{kg}}$ का उपयोग करता है। 

प्रश्न के अनुसार 

$\begin{gathered} {\text{Z = 6x + 5y}} \hfill \\ {\text{(x/10) + (y/20)}} \geqslant {\text{14 }} \Rightarrow {\text{ 2x + y}} \geqslant {\text{280}} \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {\text{(6x/100) + (10y/100)}} \geqslant {\text{14 }} \Rightarrow {\text{ 3x + 5y = 700}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{2x + y  =  280}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,140}} \hfill \\ {\text{y = 280,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{3x + 5y  =  700}}$ के लिए 

$\begin{gathered} {\text{x = 0,(700/3)}} \hfill \\ {\text{y = 140,0}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{2x + y  =  280 , 3x + 5y  =  700}}$ से ${\text{(100,80)}}$

मान लीजिए ${\text{A(}}\frac{{700}}{3}{\text{,0) , B(100,80) , C(0,280)}}$

ज का न्यूनतम मान ${\text{100}}$ है। 

न्यूनतम लागत = ${\text{Rs}}{\text{. }}100$

11. निम्नलिखित अस्मिकर्ण ${\text{2x + y}} \leqslant {\text{10 , x + 3y}} \leqslant {\text{15 , x , y}} \geqslant {\text{0}}$ से निर्धारित सुसंगत छेत्र के कोणीय बिन्दु ${\text{(0,0) , (5,0) , (3,4) , (0,5)}}$ है। माणिक ${\text{Z  =  px + qy}}$ जहा ${\text{p,q > 0}}$ तथा ${\text{p,q}}$ के लिए निम्नलिखित मे कौन प्रतिबंध उचित है ताकि Z का अधिकतम ${\text{(3,4) , (0,5)}}$ दोनों पर घटित होता है। 

(a) ${\text{p  =  q}}$

(b) ${\text{p  =  2q}}$

(c) ${\text{p  =  3q}}$

(d) ${\text{q  =  3p}}$

उत्तर: Z का अधिकतम ${\text{(3,4) , (0,5)}}$ दोनों पर घटित होता है।

$(3,4)$ पर Z का मान = $(0,5)$ पर Z का मान 

$\begin{gathered} {\text{p(3) + q(4) = p(0) + q(5)}} \hfill \\ {\text{3p + 4q = 5q}} \hfill \\ {\text{3p = q}} \hfill \\ {\text{q = 3p}} \hfill \\ \end{gathered} $

अतः विकल्प (d) सही है। 

प्रश्नावली A12

1. उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए। आहार मे विटामिन A की मात्रा का अधिकतमिकरण करने क लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए ? आहार मे विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है ? 

उत्तर: आहार मे क्रमश: पदार्थ P और Q के ${\text{x}}$ और ${\text{y}}$ पैकेट होते है। इसलिए ${\text{x}} \geqslant 0\;,\;{\text{y}} \geqslant 0$ दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है। अधिकतम ${\text{z  =  6x + 3y}}$ बाधाओ के अधीन ,

$\begin{gathered} {\text{4x + y}} \geqslant {\text{80}} \hfill \\ {\text{x + 5y}} \geqslant {\text{115}} \hfill \\ {\text{3x + 2y}} \leqslant {\text{150}} \hfill \\ {\text{x , y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है:

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(15,20) , B(40,15) , C(2,72)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है।

इस प्रकार z का अधिकतम मान $285\;(40,15)$ है। इसलिए आहार मे विटामिन A की मात्रा को अधिकतम करने के लिए, भोजन के $40$ पैकेट P और $15$ पैकेट भोजन Q का उपयोग करना चाहिए। आहार मे विटामिन A की अधिकतम मात्रा $285$ यूनिट है। 

2. एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य ${\text{Rs}}{\text{. 250}}$ प्रति थैला जोकी पोषक तत्व A के तीन मात्रक, तत्व B के ${\text{2}}{\text{.5}}$ मात्रक और तत्व C के दो मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य ${\text{Rs}}{\text{. 200}}$ प्रति थैला है, पोषक तत्व A का ${\text{1}}{\text{.5}}$ मात्रक, तत्व B का ${\text{11}}{\text{.25}}$ मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोशाक तत्वों A, B, C की न्यूनतम आवश्यकताए क्रमश: ${\text{18 , 45 , 24}}$ मात्रक है। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है? 

उत्तर: किसान को ब्रांड P के ${\text{x}}$ बैग और ब्रांड Q के ${\text{y}}$ बैग्स को मिलाने दे। दी गई जानकारी को निर्मानुसार तालिका मे संकलित किया जा सकता है।

दी गई समस्या निर्मानुसार बनाई जा सकती है। कम से कम ${\text{z  =  250x + 200y}}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{3x + 1}}{\text{.5y}} \geqslant {\text{18}} \hfill \\ {\text{2}}{\text{.5x + 11}}{\text{.25y}} \geqslant {\text{45}} \hfill \\ {\text{2x + 3y}} \geqslant {\text{24}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{x,y}} \geqslant 0$

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(18,0) , B(9,2) , C(3,6) , D(0,12)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

चूंकि संभव क्षेत्र अप्रभावित है इसलिए ${\text{1950 z}}$ का न्यूनतम मूल्य हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। इसके लिए हम असमानता का एक ग्राफ खींचते है ${\text{250x + 200y < 1950 , 5x + 4y < 39}}$ और जाँचते है की परिणामी आधे विमान मे संभव क्षेत्र के साथ अंक है या नहीं। यह देखा जा सकता है की संभव क्षेत्र ${\text{5x + 4y < 39}}$ के साथ कोई सामान्य बिन्दु नहीं है इसलिए z का न्यूनतम मूल्य ${\text{2000 (3,6)}}$ है। इस प्रकार ब्रांड P के तीन बैग क्यू के छ: बैग का उपुओग मिश्रण मे किया जाना चाहिए ताकि लागत को रु ${\text{1950}}$ तक कम किया जा सके। 

3. एक आहारविद दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है की मिश्रण मे विटामिन A, की कम से कम दस मात्रक, विटामिन B की कम से कम $12$ मात्रक और विटामिन C की आठ मात्रक हो ${\text{1}}\;{\text{kg}}$ भोज्यों मे विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी मे डी गई है। 

भोजू X के ${\text{1}}\;{\text{kg}}$ का मूल्य ${\text{Rs}}{\text{. 16}}$ और भोज्य के ${\text{1}}\;{\text{kg}}$ का मूल्य ${\text{Rs}}{\text{. 20}}$ है। वंचित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: मिश्रण मे X किलोग्राम भोजन ${\text{x}}$ एर Y किलो भोजन ${\text{y}}$ होने दे। दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकर्ण इस प्रकार है कम से कम ${\text{z  =  16x + 20y}}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{x + 2y}} \geqslant {\text{10}} \hfill \\ {\text{x + y}} \geqslant {\text{6}} \hfill \\ {\text{3x + y}} \geqslant {\text{8}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(10,0) , B(2,4) , C(1,5) , D(0,8)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। कॉर्नर पॉइंट ${\text{z  =  16x + 20y}}$

चूंकि संभव क्षेत्र अप्रभावित है इसलिए ${\text{112 z}}$ का न्यूनतम मूल्य हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। इसके लिए हम असमानता का एक ग्राफ खींचते है ${\text{16x + 20y < 112 , 4x + 5y < 28}}$ और जाँचते है की परिणामी आधे विमान मे संभव क्षेत्र के साथ अंक है या नहीं। यह देखा जा सकता है की संभव क्षेत्र ${\text{4x + 5y < 28}}$ के साथ कोई सामान्य बिन्दु नहीं है इसलिए z का न्यूनतम मूल्य ${\text{112 (2,4)}}$ है। इस प्रकार मिश्रण मे दो किलो भोजन X और चार किलो भोजन Y होना चाहिए। मिश्रण की न्यूनतम लागत ${\text{112}}$ रुपए है। 

4. एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने के खिलौने A और B बनाता है। इस उदेश्य के लिए निर्माण मे तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों मे) निम्नलिखित है। प्रत्येक मशीन अधिकतम छ: घंटे रटीडीन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर ${\text{Rs}}{\text{. 7}}{\text{.50}}$ और B प्रकार के खिलौने पर ${\text{Rs}}{\text{. 5}}$ का लाभ हो तो दर्शाइए की अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के ${\text{15}}$ खिलौने और B प्रकार ${\text{30}}$ खिलौने निर्मित होने चाहिए। 

उत्तर: प्रकार A और टाइप B के ${\text{x}}$ और ${\text{y}}$ खिलौने क्रमश: एक दिन मे निर्मित होने दे। दी गई समस्या निर्मानुसार बनाई जा सकती है। अधिकतम ${\text{z  =  7}}{\text{.5x + 5y }}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{2x + y}} \leqslant {\text{60}} \hfill \\ {\text{x}} \leqslant {\text{20}} \hfill \\ \end{gathered} $ $\begin{gathered} {\text{2x + 3y}} \leqslant 120 \hfill \\ {\text{x,y}} \leqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(20,0) , B(20,20) , C(15,30) , D(0,40)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का अधिकतम मान ${\text{262}}{\text{.5}}$ पर ${\text{(15,30)}}$ है। इस प्रकार निर्माता को लाभ को अधिकतम करने के लिए A के ${\text{15}}$ खिलौने और टाइप B के ${\text{30}}$ खिलौने का निर्माण करना चाहिए। 

5. एक हवाई जहाज अधिकतम ${\text{200}}$ यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर ${\text{Rs}}{\text{. 1000}}$ और सस्ते श्रेणी के टिकट पर ${\text{Rs}}{\text{. 600}}$ का लाभ कमाया जा सकता है। एर्लाइन कम से कम ${\text{20}}$ सीटे प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है। तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम चार गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते है। ज्ञात कीजिए की प्रत्येक प्रकार के कितने कितने टिकट बेचे जाए ताकि लाभ का अधिकतमिकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है। 

उत्तर: बता दे की एर्लाइन इग्ज़ेक्यटिव क्लास के ${\text{x}}$ टिकट और ईकानमी क्लास के ${\text{y}}$ टिकट बेचती है। दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है। अधिकतम करे ${\text{z  =  1000x + 600y}}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{x + y}} \leqslant {\text{200}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{20}} \hfill \\ {\text{y - 4x}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(20,80) , B(40,160) , C(20,180)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का अधिकतम मान $136000$ पर $(40,160)$ है। इस प्रकार कार्यकारी वर्ग के $40$ टिकट और ईकानमी क्लास के $160$ टिकट लाभ को अधिकतम करने के लिए बेचे जाने चाहिए और अधिकत लाभ $136000$ रुपए है। 

6. दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमश: ${\text{100}}$ क्विंटल और ${\text{50}}$ क्विंटल है। उन्हे तीन राशन की दुकानों D, E, F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताए क्रमश: ${\text{60 , 50 , 40}}$ क्विंटल है। भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्र सारणी के अनुसार है 

परिवहन व्यय के न्यूनतमिकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है? 

उत्तर: गोदाम A डेटा ${\text{x,y}}$ क्विंटल क्रमश: D, E को एक आपूर्ति अनाज दे। फर ${\text{100(100 - x - y)}}$ को F की आपूर्ति करने के लिए आपूर्ति की जाएगी। दुकान D पर आवश्यकता ${\text{60}}$ क्विंटल है क्योंकि ${\text{x}}$ क्विंटल गोदाम A से ले जाया जाता है। इसलिए शेष ${\text{(60 - x)}}$ क्विंटल गोदाम B से ले जाया जाएगा। इसी तरह ${\text{(50 - y)}}$ क्विंटल और ${\text{40 - (100 - x - y)  =  (x + y - 60)}}$ क्विंटल क्रमश: गोदाम B से दुकान E और F मे ले जाया जाएगा। दी गई समस्या का चित्रण निम्र प्रकार से किया जा सकता है। 

(image will be uploaded soon)

$\begin{gathered} {\text{x}} \geqslant {\text{0}}\;{\text{,}}\;{\text{y}} \geqslant {\text{0 , 100 - x - y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0 , x + y}} \leqslant {\text{100}} \hfill \\ \end{gathered} $

कुल परिवहन लागत z द्वारा दी गई है 

$\begin{gathered} {\text{z = 6x + 3y + 2}}{\text{.5(100 - x - y) + 4(60 - x) + 2(50 - y) + 3(x + y - 60)}} \hfill \\ {\text{ = 6x + 3y + 250 - 2}}{\text{.5x - 2}}{\text{.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180}} \hfill \\ {\text{ = 2}}{\text{.5x + 1}}{\text{.5y + 410}} \hfill \\ \end{gathered} $

दी गई समस्या को न्यूनतम ${\text{z  =  2}}{\text{.5x + 1}}{\text{.5y + 410}}$ की किमी के रूप मे तैयार किया जा सकता है। 

$\begin{gathered} {\text{x + y}} \leqslant {\text{100}} \hfill \\ {\text{x}} \leqslant {\text{60}} \hfill \\ {\text{y}} \leqslant {\text{50}} \hfill \\ \end{gathered} $

${\text{x + y}} \geqslant {\text{60}}$

${\text{x,y}} \geqslant {\text{0}}$

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

कोने बिन्दु ${\text{A(60,0) , B(60}},{\text{40) , C(50,50) , D(10,50)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का न्यूनतम मान $510\;(10,50)$ है। इस प्रकार A से D,E,F तक पहुचाए गए अनाज की मात्रा क्रमश: $10$ क्विंटल, $50$ क्विंटल और $40$ क्विंटल है और B से D,E,F तक $50$ क्विंटल । 

7. एक तेल कारखाने मे दो डिपो A तथा B है, जिनकी क्षमताए क्रमश: ${\text{7000}}$ लिटर और ${\text{4000}}$ लिटर की है। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E, F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताए क्रमश: ${\text{4500}}$ लिटर ,  $3000$ लिटर और $3500$ लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरिया निमानकृत सारणी के अनुसार है। 

यह मानते हुए की परिवहन व्यय प्रति दस लिटर पर प्रति किलोमिटर एक रुपया है, ज्ञात कीजिए की कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमिकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?

उत्तर: बता दे की A और पेट्रोल पंपों से ${\text{x}}$ और ${\text{y}}$ लिटर तेल की आपूर्ति की जाती है, D,E । तब ${\text{(7000 - xy)}}$ A से पेट्रोल पंप F की आपूर्ति की जाएगी। पेट्रोल पंप D पर आवश्यकता ${\text{4500}}$ लिटर है। 

चूंकि ${\text{x}}$ लिटर डडिपो A से परिवहन किया जाता है, शेष ${\text{(4500 - x)}}$ लिटर को पेट्रोल पंप B से ले जाया जाएगा। इसी तरह ${\text{(3000 - y)}}$ लिटर और ${\text{3500 - (7000 - x - y)  =  (x + y - 3500)}}$ लिटर क्रमश: डिपो B से पेट्रोल पंप F तक पहुचाय जाए। दी गई समस्या का चित्रण निम्र प्रकार से किया जा सकता है। 

(image will be uploaded soon)

$\begin{gathered} {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0 , (7000 - x - y)}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{0 , y}} \geqslant {\text{0 , x + y}} \leqslant {\text{7000}} \hfill \\ \end{gathered} $

दस लिटर पेट्रोल बराबर है एक रुपए की लागत 

$\begin{gathered} {\text{4500 - x}} \geqslant {\text{0 , 3000 - y}} \geqslant {\text{0 , x + y - 3500}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ {\text{x}} \leqslant {\text{4500 , y}} \leqslant {\text{3000 , x + y}} \leqslant {\text{3500}} \hfill \\ \end{gathered} $

एक लिटर की ढुलाई की लागत बराबर है दस इसलिए कुल परिवहन लागत द्वारा दी गई है। 

${\text{Z  =  (7x/10) + (6y/10) + [3(7000 - x - y)/10] + [3(4500 - x)/10] + [4(3000 - y)/10] + [2(x + y - 3500)/10]}}$

${\text{ =  0}}{\text{.3x + 0}}{\text{.1y + 3950}}$

मस्या निर्मानुसार बनाई जा सकती है। कम से कम z ${\text{ =  0}}{\text{.3x + 0}}{\text{.1y + 3950}}$ बाधाओ के अधीन , बाधाओ द्वारा निर्धारित समभावी क्षेत्र इस प्रकार है। 

$\begin{gathered} {\text{x + y}} \leqslant {\text{7000}} \hfill \\ {\text{x}} \leqslant {\text{4500}} \hfill \\ {\text{y}} \leqslant {\text{3000}} \hfill \\ {\text{x + y}} \geqslant {\text{3500}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

(image will be uploaded soon)

संभव क्षेत्र के कोने बिन्दु ${\text{A(3500,0) , B(4500,0) , C(4500,2500) , D(4000,3000) , E(500,3000)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का न्यूनतम मान ${\text{4400 (500,3000)}}$ है। इस प्रकार डिपो A से आपूर्ति किया जाने वाला तेल क्रमश: ${\text{500 , 3000 , 3500}}$ है और डिपो B से ${\text{4000 , 0 , 0}}$ लिटर क्रमश: D,E,F से पंप करता है। न्यूनतम परिवहन लागत ${\text{4400}}$ रुपए है। 

8. एक फल उत्पादक अपने भाग मे दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले मे नाइट्रोजन, फास्फोरिक अमल, पोटाश और क्लोरीन की मात्र सारणी मे दिया गया है। परीक्षण देते है की भाग को कम से कम ${\text{250}}\;{\text{kg}}$ फास्फोरिक अमल, कम से कम ${\text{270}}\;{\text{kg}}$ पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक $310\;{\text{kg}}$ की आवश्यकता है। यदि उत्पादक भाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्र का न्यूनतमिकरण करना चाहता है तथा प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए ? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निमरतं मात्रा क्या है? 

उत्तर: फल उत्पादक को ब्रांड P के ${\text{x}}$ बैग और ब्रांड Q के ${\text{y}}$ बैग का उपयोग करने दे। समस्या निर्मानुसार तैयार की जा सकती है। ${\text{Z  =  3x + 3}}{\text{.5y}}$ अवरोधों को कम से कम करे। 

$\begin{gathered} {\text{x + 2y}} \geqslant {\text{240}} \hfill \\ {\text{x + 0}}{\text{.5y}} \geqslant {\text{310}} \hfill \\ {\text{1}}{\text{.5x + 2y}} \leqslant {\text{310}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

कोने के बिन्दु ${\text{A(140,50) , B}}(20,140)\;,\;{\text{C(40,100)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का अधिकतम मान $470\;(40,100)$ है। इस प्रकार नाइट्रोजन की मात्रा को कम करने के लिए ब्रांड P के $40$ बैग और ब्रांड Q के $100$ बैग बगीचे मे जोड़े जाने चाहिए। बगीचे मे नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा $470$ किलोग्राम है। 

9. उपरोक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक भाग मे मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमिकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए। मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्र क्या है। उपयोग नाइट्रोजन की मात्रा को अधिकतम करने के लिए किया जाना चाहिए। बगीचे मे नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा $595$ किलोग्राम है। 

उत्तर: फल उत्पादक को ब्रांड P के ${\text{x}}$ बैग और ब्रांड Q के ${\text{y}}$ बैग का उपयोग करने दे। समस्या निर्मानुसार तैयार की जा सकती है। अधिकतम करे ${\text{z  =  3x + 3}}{\text{.5y}}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{x + 2y}} \geqslant {\text{240}} \hfill \\ {\text{x + 0}}{\text{.5y}} \geqslant {\text{90}} \hfill \\ {\text{1}}{\text{.5x + 2y}} \leqslant {\text{310}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

कोने के बिन्दु ${\text{A(140,50) , B(20,140) , C(40,100)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का ढिकतं मान $595\;(140,50)$ है। इस प्रकार ब्रांड P के $140$ बैग और ब्रांड Q के $50$ बैग है। 

10. एक खिलौना कंपनी A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है की सम्मिलत उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह $1200$ गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक मांग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से $600$ नग अधिक है। यदि कंपनी A तथा B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमश: ${\text{Rs}}.\;{\text{12}}$ और ${\text{Rs}}{\text{. 16}}$ का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमिकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए। 

उत्तर: बता दे की ${\text{x,y}}$ क्रमश: A,B की गुड़िया की संख्या है जो प्रति सप्ताह उत्पादित की जाती है। दी गई समस्या निर्मानुसार बनाई जा सकती है। अधिकतम करे ${\text{z  =  12x + 16y}}$ बाधाओ के अधीन 

$\begin{gathered} {\text{x + y}} \leqslant {\text{1200}} \hfill \\ {\text{x}} \geqslant {\text{2y}} \hfill \\ {\text{x - 3y}} \leqslant {\text{600}} \hfill \\ {\text{x,y}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} $

बाधाओ की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र इस प्रकार है। 

(image will be uploaded soon)

कोने बिन्दु ${\text{A(600,0) , B(1050,150) , C(800,400)}}$ है। इन कोने बिन्दुओ पर z का मान इस प्रकार है। 

Z का अधिकतम मूल्य $16000\;(800,400)$ है। इस प्रकार A और टाइप B की $800,400$ गुड़िया क्रमश: $16000$ रुपए का अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए उत्पादित की जानी चाहिए। 

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