NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 2 - In Hindi

प्रश्नावली 2.1

1. यदि \[({\mathbf{x}}/{\mathbf{3}} + {\mathbf{1}}{\text{ }},{\text{ }}{\mathbf{y}} - {\mathbf{2}}/{\mathbf{3}}) = \left( {{\mathbf{5}}/{\mathbf{3}},{\mathbf{1}}/{\mathbf{3}}} \right)\], तो \[{\mathbf{x}}\] तथा \[{\mathbf{y}}\]ज्ञात कीजिए |

उत्तर: दिया गया है, 

\[\left( {x/3 + 1{\text{ }},{\text{ }}y - 2/3} \right) = \left( {5/3,1/3} \right)\]

क्योंकि क्रमित युग्म समान है इसलिए संगत घटक भी समान ही होंगे | 

अतः \[x/3 + 1 = {\text{ }}5/3\] तथा \[y - 2/3 = {\text{ }}1/3\]

सरल करने पर \[x = 2\] तथा \[y{\text{ }} = 1\].

2. यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय \[{\mathbf{B}} = \{ {\mathbf{3}},{\mathbf{4}},{\mathbf{5}}\} \], तो \[({\mathbf{A}} \times {\mathbf{B}})\]में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समुच्चय \[A\] में अवयवों की संख्या \[3\]और समुच्चय \[B = \left\{ {{\text{ }}3,4,5{\text{ }}} \right\}\]

इसलिए, समुच्चय \[B\]में अवयवों की संख्या \[B = \left\{ {{\text{ }}3,4,5{\text{ }}} \right\}\]

\[(A \times B)\] में अवयवों की संख्या = (\[A\]में अवयवों की संख्या) X (\[B\]में अवयवों की संख्या) 

${= {\text{ }}3{\text{ }}X{\text{ }}3}$

${\; = {\text{ }}9}$

इसलिए, \[\left( {A \times B} \right)\] में अवयवों की संख्या \[9\] होंगे।

3. यदि \[{\mathbf{G}} = {\text{ }}\{ {\mathbf{7}},{\mathbf{8}}\} \] और\[{\mathbf{H}} = \{ {\mathbf{5}},{\mathbf{4}},{\mathbf{2}}\} \], तो \[({\mathbf{G}} \times {\mathbf{H}})\]और \[({\mathbf{H}} \times {\mathbf{G}})\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, 

\[G = \left\{ {{\text{ }}7,8{\text{ }}} \right\}\]और \[H = \left\{ {{\text{ }}5,4,2} \right\}\]

 इसलिए, 

${\left( {G \times H} \right){\text{ }} = \left\{ {\left( {7,5} \right),{\text{ }}\left( {7,4} \right),{\text{ }}\left( {7,2} \right),{\text{ }}\left( {8,5} \right),{\text{ }}\left( {8,4} \right),{\text{ }}\left( {8,2} \right)} \right\}}$

${\left( {H \times G} \right){\text{ }} = \left\{ {\left( {5,7} \right),{\text{ }}\left( {5,8} \right),{\text{ }}\left( {4,7} \right),{\text{ }}\left( {4,8} \right),{\text{ }}\left( {2,7} \right),{\text{ }}\left( {2,8} \right)} \right\}}$

4. बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए |

(i) यदि \[{\mathbf{P}} = {\text{ }}\left\{ {{\text{ }}{\mathbf{m}},{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right\}\] और\[{\mathbf{Q}} = \left\{ {{\text{ }}{\mathbf{n}},{\mathbf{m}}{\text{ }}} \right\}\], तो \[{\mathbf{P}} \times {\mathbf{Q}} = \left\{ {\left( {{\mathbf{m}},{\mathbf{n}}} \right),\left( {{\mathbf{n}},{\mathbf{m}}} \right)} \right\}\]

उत्तर: असत्य,

यदि \[P = \left\{ {{\text{ }}m,n{\text{ }}} \right\}\]और \[Q = \left\{ {{\text{ }}n,m{\text{ }}} \right\}\]

तो \[P \times Q = \{ \left( {m,n} \right),{\text{ }}\left( {m,m} \right),{\text{ }}\left( {n,n} \right),{\text{ }}\left( {n,m} \right)\]\[\} \] होगा।

(ii) यदि \[{\mathbf{A}}\]और \[{\mathbf{B}}\] अतिरिक्त समुच्चय हैं, तो \[{\mathbf{A}} \times {\mathbf{B}}\] क्रमिक युग्मों\[({\mathbf{x}},{\mathbf{y}})\] का एक अतिरिक्त समुच्चय है, इस प्रकार कि \[{\mathbf{x}} \in {\mathbf{A}}\]तथा\[{\mathbf{y}} \in {\mathbf{B}}\]. 

उत्तर: सत्य,

दो अरिक्त समुच्चय \[A\] तथा \[B\] का कृर्तीय गुणन \[A{\text{ }} \times {\text{ }}B\] उन सभी क्रमिक युग्मों का समुच्चय है, जिनको प्रथम घटक \[A\] से तथा द्वितीय घटक\[B\], से लेकर बनाया जा सकता है। 

अतः \[A{\text{ }} \times {\text{ }}B{\text{ }} = {\text{ }}\{ {\text{ }}\left( {x,y} \right){\text{ }}:{\text{ }}x \in A,{\text{ }}y \in B{\text{ }}\} \]

(iii) यदि\[{\mathbf{A}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right\},{\text{ }}{\mathbf{B}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{3}},{\text{ }}{\mathbf{4}}} \right\}\], तो \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}\left( {{\mathbf{B}}{\text{ }} \cap {\text{ }}{\mathbf{\varphi }}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{\varphi }}.\]

उत्तर: सत्य,

दिया गया है, \[A{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2} \right\},{\text{ }}B{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {3,{\text{ }}4} \right\}\]

इसलिए, \[B \cap \varphi  = {\text{ }}\left\{ {3,{\text{ }}4} \right\} \cap \varphi  = \varphi \]

तथा, \[A{\text{ }} \times {\text{ }}(B \cap \varphi ){\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2} \right\} \cap \varphi  = \varphi \]

5. यदि\[{\mathbf{A}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {-{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right\}\], तो \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{A}}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है,

\[A{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {-1,{\text{ }}1} \right\}\],

इसलिए, \[\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}A} \right) = \left\{ {\left( { - 1, - 1} \right),{\text{ }}\left( { - 1,1} \right),{\text{ }}\left( {1, - 1} \right),{\text{ }}\left( {1,1} \right)} \right\}\]

${\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}A{\text{ }} \times {\text{ }}A} \right){\text{ }} = {\text{ }}\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}A} \right){\text{ }} \times {\text{ }}A}$ 

${ = {\text{ }}\left\{ {\left( { - 1, - 1, - 1} \right),{\text{ }}\left( { - 1, - 1,1} \right),{\text{ }}\left( { - 1,1, - 1} \right),{\text{ }}\left( { - 1,1,1} \right),{\text{ }}\left( {1, - {\text{ }}1, - 1} \right),{\text{ }}\left( {1 - 1,1} \right),{\text{ }}\left( {1,1, - 1} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\}}$

6. यदि \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{B}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {\left( {{\mathbf{a}},{\text{ }}{\mathbf{x}}} \right),\left( {{\mathbf{a}}{\text{ }},{\text{ }}{\mathbf{y}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{b}},{\text{ }}{\mathbf{x}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{b}},{\text{ }}{\mathbf{y}}} \right)} \right\}\] तो \[{\mathbf{A}}\]तथा \[{\mathbf{B}}\] ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है,

\[A{\text{ }} \times {\text{ }}B{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {\left( {a,{\text{ }}x} \right),\left( {a{\text{ }},{\text{ }}y} \right),{\text{ }}\left( {b,{\text{ }}x} \right),{\text{ }}\left( {b,{\text{ }}y} \right)} \right\}\]

हम जानते हैं कि,

\[A\]सभी पहली संख्याओं का समुच्चय हैऔर \[B\]सभी दूसरी संख्याओं का समुच्चय है।

इसलिए, समुच्चय \[A{\text{ }} = \left\{ {a,b} \right\}\]और 

समुच्चय \[B{\text{ }} = \left\{ {x,y} \right\}\]

7.  मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right\},{\text{ }}{\mathbf{B}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{3}},{\text{ }}{\mathbf{4}}} \right\},{\text{ }}{\mathbf{C}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{5}},{\text{ }}{\mathbf{6}}} \right\}\] तथा \[{\mathbf{D}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{5}},{\text{ }}{\mathbf{6}},{\text{ }}{\mathbf{7}},{\text{ }}{\mathbf{8}}} \right\}.\]सत्यापित कीजिए कि

\[\left( {\mathbf{i}} \right){\text{ }}{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}\left( {{\mathbf{B}}{\text{ }} \cap {\text{ }}{\mathbf{C}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}\left( {{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{B}}} \right){\text{ }} \cap {\text{ }}\left( {{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{C}}} \right).\]

उत्तर: दिया गया है,

\[A{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2} \right\},{\text{ }}B{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4} \right\},{\text{ }}C{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {5,{\text{ }}6} \right\}\] तथा\[D{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {5,{\text{ }}6,{\text{ }}7,{\text{ }}8} \right\}\]

\[(B \cap C) = \left\{ {1,2,3,4} \right\} \cap \left\{ {5,6} \right\} = \varphi \]

इसलिए, 

${A{\text{ }} \times {\text{ }}(B \cap C) = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2} \right\} \times \varphi  = \varphi  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left( i \right)}$

${\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}B} \right) = {\text{ }}\left\{ {\left( {1,1} \right),{\text{ }}\left( {1,2} \right),{\text{ }}\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,2} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\}}$ 

${\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}C} \right) = \left\{ {\left( {1,5} \right),{\text{ }}\left( {1,6} \right),{\text{ }}\left( {2,5} \right),{\text{ }}\left( {2,6} \right)} \right\}}$

इसलिए, \[\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}B} \right) \cap \left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}C} \right) = \varphi  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots  \ldots \left( {ii} \right)\]

समीकरण (i) और (ii) से प्रमाणित होता है कि, 

\[A{\text{ }} \times {\text{ }}(B \cap C){\text{ }} = {\text{ }}\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}B} \right) \cap \left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}C} \right) = \varphi \]

(ii) \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{C}},{\text{ }}{\mathbf{B}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{D}}\] का एक उपसमुच्चय है|

उत्तर: हमें पता है कि, \[\left( {A{\text{ }} \times {\text{ }}C} \right) = \left\{ {\left( {1,5} \right),{\text{ }}\left( {1,6} \right),{\text{ }}\left( {2,5} \right),{\text{ }}\left( {2,6} \right)} \right\}\]

अब, ${B{\text{ }} \times {\text{ }}D = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4} \right\} \times \left\{ {5,{\text{ }}6,{\text{ }}7,{\text{ }}8} \right\}}$

${= {\text{ }}\left\{ {\left( {1,5} \right),{\text{ }}\left( {1,6} \right),{\text{ }}\left( {1,7} \right),{\text{ }}\left( {1,8} \right),{\text{ }}\left( {2,5} \right),{\text{ }}\left( {2,6} \right),{\text{ }}\left( {2,7} \right),{\text{ }}\left( {2,8} \right),{\text{ }}\left( {3,5} \right),{\text{ }}\left( {3,6} \right),{\text{ }}\left( {3,7} \right),{\text{ }}\left( {3,8} \right),{\text{ }}\left( {4,5} \right),{\text{ }}\left( {4,6} \right),{\text{ }}\left( {4,7} \right),{\text{ }}\left( {4,8} \right)} \right\}}$

\[A{\text{ }} \times {\text{ }}C\] के सभी अवयव \[B{\text{ }} \times {\text{ }}D\]में उपलब्ध है, 

इसलिए \[A{\text{ }} \times {\text{ }}C,{\text{ }}B{\text{ }} \times {\text{ }}D\] का एक उपसमुच्चय होगा |

8. मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right\}\]और\[{\mathbf{B}}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{3}},{\text{ }}{\mathbf{4}}} \right\}\]. \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{B}}\]लिखिए| \[{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{B}}\] के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाइए|

उत्तर: दिया गया है, 

\[A{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {1,{\text{ }}2} \right\}\]और \[B{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {3,{\text{ }}4} \right\}\]

इसलिए, \[A{\text{ }} \times {\text{ }}B = \left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\}\]

\[(A \times B)\] में अवयवों की संख्या \[ = 4\]

इसलिए, \[\left( {A \times B} \right)\] के उपसमुच्चय की संख्या 

\[\left( {A \times B} \right)\] के उपसमुच्चय 

$= \varphi$

${\text{ }}\left\{ {\left( {{\text{ }}1,3} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {2,3} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right)} \right\}$

${\text{ }}\left\{ {\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right)} \right\},{\text{ }}$

$\left\{ {\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\}$

${\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\},{\text{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right),{\text{ }}\left( {1,4} \right),{\text{ }}\left( {2,3} \right),{\text{ }}\left( {2,4} \right)} \right\}$

9. मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}}\] और \[{\mathbf{B}}\] दो समुच्चय है जहाँ \[{\mathbf{n}}\left( {\mathbf{A}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{3}}\] और \[{\mathbf{n}}\left( {\mathbf{B}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{2}}\]. यदि \[({\mathbf{x}},{\text{ }}{\mathbf{1}}),{\text{ }}\left( {{\mathbf{y}},{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{z}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}{\mathbf{A}}{\text{ }} \times {\text{ }}{\mathbf{B}}\] में है, तो \[{\mathbf{A}}\]और \[{\mathbf{B}}\], ज्ञात कीजिए, जहाँ \[{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}\]और \[{\mathbf{z}}\] भिन्न- भिन्न अवयव हैं।

उत्तर: दिया गया है, 

उपसमुच्चय \[(A \times B){\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {\left( {x,{\text{ }}1} \right),{\text{ }}\left( {y,{\text{ }}2} \right),{\text{ }}\left( {z,{\text{ }}1} \right)} \right\}\]

तथा, \[n\left( A \right){\text{ }} = {\text{ }}3\] और \[n\left( B \right){\text{ }} = {\text{ }}2\]

इसलिए, समुच्चय \[A{\text{ }} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)} \right\}\]और समुच्चय \[B{\text{ }} = \left\{ {1,2)} \right\}\]

10. कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं, जिनमें  (–1,0) तथा (0,1) भी है। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया गया है, 

कार्तीय गुणन \[A{\text{ }} \times {\text{ }}A\] में \[9\] अवयव हैं, 

जिनमें \[(-1,0)\] तथा \[(0,1)\] है।

यह तभी मुमकिन है जब, समुच्चय \[A\] में अवयवों की संख्या \[ = 3\] होगा।

इसलिए, समुच्चय \[A{\text{ }} = \left\{ { - 1,0,1} \right\}\] तथा,

समुच्चय\[(A{\text{ }} \times {\text{ }}A)\] के शेष अवयव \[ = \left\{ {\left( { - 1, - 1} \right),{\text{ }}\left( { - 1,1} \right),{\text{ }}\left( {0, - 1} \right),{\text{ }}\left( {0,0} \right),{\text{ }}\left( {1, - 1} \right),{\text{ }}\left( {1,0} \right),{\text{ }}\left( {1,1} \right)} \right\}\]

प्रश्नावली 2.2

1. मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}} = \left\{ {{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}} \ldots  \ldots {\text{ }},{\mathbf{14}}{\text{ }}} \right\},{\mathbf{R}} = \left\{ {{\mathbf{x}}{\text{ }},{\mathbf{y}}{\text{ }}} \right\}{\text{ }}:{\text{ }}{\mathbf{3x}}{\text{ }}-{\mathbf{y}}{\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{0}}\]

जहाँ  \[{\mathbf{x}},{\text{ }}{\mathbf{y}},{\text{ }}{\mathbf{\varepsilon }}{\text{ }}{\mathbf{A}}\} \] द्वारा \[{\mathbf{A}}\] से \[{\mathbf{A}}\] का एक सम्बन्ध \[{\mathbf{R}}\] लिखिए । इसके प्रांत, सहप्रांत और परिसर लिखिए|

उत्तर: \[{\mathbf{A}}\]={,1,2,3……,14 } \[R:A\]

जबकि, \[R\] = {(x,y):3x-y=0 या y=3x } = {(1,3),(2,6),3,9),(4,14)…..} (i)

प्रान्त : सम्बन्ध \[R\] के समुच्चयो में \[x\] के अवयव \[ = \left\{ {{\text{ }}1,2,3,4{\text{ }}} \right\}\]

सहप्रान्त : \[\left\{ {{\text{ }}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14{\text{ }}} \right\}\]

परिसर : सम्बन्ध \[R\] के समुच्चयो में y के अवयव \[ = \left\{ {{\text{ }}3,6,9,12{\text{ }}} \right\}\]

2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर \[{\mathbf{R}} = \{ {\mathbf{x}},{\mathbf{y}}{\text{ }}):{\text{ }}{\mathbf{y}} = {\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{5}},{\text{ }}{\mathbf{x}}\] संख्या \[{\mathbf{4}}\] से कम, एक प्राकृत संख्या है, \[{\mathbf{x}},{\mathbf{y}},{\text{ }}{\mathbf{\varepsilon }}\] न द्वारा एक सम्बन्ध \[{\mathbf{R}}\] परिभाषित कीजिए| इस सम्बन्ध को :- 

(i) रोस्टर रूप में इसके प्रांत और परिसर लिखिए|

उत्तर: सम्बन्ध \[R\], दिया गया है।

\[R\] \[ = \{ \left( {x,y} \right){\text{ }}:y{\text{ }} = x{\text{ }} + 5{\text{ }},{\text{ }}x,{\text{ }}y,\varepsilon n,\] तदा \[x{\text{ }} < {\text{ }}4{\text{ }}\} \]

\[ = \left\{ {\left( {1,6} \right),{\text{ }}\left( {2,7} \right),{\text{ }}\left( {3,8} \right)} \right\}\]

प्रान्त \[ = \left\{ {1,2,3} \right\}\]

परिसर \[ = \left\{ {6,7,8{\text{ }}} \right\}\]

3. \[{\mathbf{A}} = \left\{ {{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}},{\mathbf{4}},{\mathbf{5}}} \right\}\] और \[{\mathbf{B}} = \left\{ {{\mathbf{4}},{\mathbf{6}},{\mathbf{9}}} \right\},{\text{ }}{\mathbf{A}}\] से \[{\mathbf{B}}\] में एक सम्बन्ध, \[{\mathbf{R}} = \left\{ {{\mathbf{x}},{\text{ }}{\mathbf{y}}{\text{ }}} \right\}:{\text{ }}{\mathbf{x}}\] और \[{\mathbf{y}}\] का अंतर विषम है, \[{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{\varepsilon A}},{\text{ }}{\mathbf{y}}{\text{ }}{\mathbf{\varepsilon B}}\] द्वारा परिभाषित कीजिए। \[{\mathbf{R}}\]को रोस्टर रूप में लिखिए|

उत्तर: दिया है: 

\[A = \left\{ {1,2,3,5{\text{ }}} \right\}\] और \[B = \left\{ {{\text{ }}4,6,9{\text{ }}} \right\}{\text{ }},\]

\[A\] से \[B\] में सम्बन्ध, \[R = \{ {\text{ }}\left( {x{\text{ }},{\text{ }}y} \right){\text{ }}:{\text{ }}x{\text{ }},{\text{ }}y\] में अंतर विषम है, \[x\varepsilon A,{\text{ }}y\varepsilon B\]

\[ = {\text{ }}\left\{ {{\text{ }}\left( {1,4} \right){\text{ }},\left( {1,6} \right),{\text{ }}\left( {2,9} \right),{\text{ }}\left( {3,4} \right),{\text{ }}\left( {3,6} \right),{\text{ }}\left( {5,4} \right),{\text{ }}\left( {5,6} \right)} \right\}\]

4. दी हुई आकृति समुच्चय \[{\mathbf{P}}\] से \[{\mathbf{Q}}\] का एक सबर दर्शाती है। 

(Image will be uploaded soon)

इस सम्बन्ध को 

(i) समुच्चय निर्माण रूप 

उत्तर: समुच्चय निर्माण रूप में, \[R = \{ \left( {3{\text{ }},4} \right){\text{ }}:{\text{ }}y{\text{ }} = {\text{ }}x - 2{\text{ }},x{\text{ }} = {\text{ }}5{\text{ }},6,7\] के लिए \[\} \]

(ii) रोस्टर रूप में लिखिए| इसके प्रांत तथा परिसर क्या  हैं? 

उत्तर: रोस्टर रूप में, \[R = \left\{ {\left( {5,3} \right),{\text{ }}\left( {6,4} \right){\text{ }},\left( {7,5} \right)} \right\}{\text{ }};\]

प्रान्त \[ = \left\{ {5,{\text{ }}6,{\text{ }}7} \right\}\] और परिसर \[ = \left\{ {3,{\text{ }}4,{\text{ }}5} \right\}\]

5. मान लीजिए  कि \[{\mathbf{A}} = \left\{ {{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}},{\mathbf{4}},{\mathbf{6}}{\text{ }}} \right\}\] मान लीजिए  कि \[{\mathbf{R}},{\mathbf{A}}\] पर\[\;\{ ({\mathbf{A}},{\mathbf{B}}\} {\text{ }}:{\mathbf{A}},{\mathbf{B\varepsilon A}}\], संख्या \[{\mathbf{A}}\] संख्या \[{\mathbf{B}}\] को यथावथ विभाजित करती है। द्वारा परिभाषित एक सम्बन्ध है। 

(i) \[{\mathbf{R}}\] को रोस्टर रूप में लिखिए|

उत्तर: दिया है: 

\[A = \left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}6} \right\}\]

\[R = \{ (A{\text{ }},{\text{ }}B){\text{ }}:A{\text{ }},{\text{ }}B\varepsilon A{\text{ }},{\text{ }}A\] संख्या \[B\] को विभाजित करती है|

रोस्टर रूप में, \[R = \left\{ {\left( {1,1} \right){\text{ }},\left( {1,2{\text{ }}} \right),\left( {1,3{\text{ }}} \right),\left( {1,4} \right),\left( {1,6} \right),\left( {2,2} \right),\left( {2,4} \right),\left( {2,6} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,4} \right),\left( {6,6} \right)} \right\}\]

(ii) \[{\mathbf{R}}\]का प्रांत ज्ञात कीजिए| 

उत्तर: \[R\] का प्रान्त \[ = \left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5,{\text{ }}6} \right\}\]

(iii) \[{\mathbf{R}}\] का परिसर ज्ञात कीजिए| । 

उत्तर: \[R\] का परिसर \[ = \left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5,{\text{ }}6} \right\}\]

6. \[{\mathbf{R}} = \{ {\text{ }}\left( {{\mathbf{x}}{\text{ }},{\mathbf{x}}{\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{5}}{\text{ }}} \right){\text{ }}:{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{\varepsilon }}{\text{ }}\left\{ {\left( {{\mathbf{0}}{\text{ }},{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{3}},{\text{ }}{\mathbf{4}},{\text{ }}{\mathbf{5}}} \right)} \right\}\] द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए| 

उत्तर: \[R\] \[ = \{ \left( {x{\text{ }},{\text{ }}x{\text{ }} + 5{\text{ }}} \right){\text{ }}:{\text{ }}x\varepsilon \left\{ {0{\text{ }},1{\text{ }},2{\text{ }},3{\text{ }},4{\text{ }},5{\text{ }})} \right\}{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {\left( {0,5} \right),\left( {1,6} \right),\left( {2,7} \right),\left( {3,8} \right),\left( {4,9} \right),\left( {5,10} \right)} \right\}\]

\[R\] का प्रान्त \[ = {\text{ }}(0,1,2,3,4,5\} \]

\[R\] का परिसर = { 5,6,7,8,9,10 }

7. सम्बन्ध  \[R = (x,x^{3}) : x\] संख्या \[{\mathbf{10}}\] से कम एक अभाज्य संख्या है। इसे रोस्टर रूप में लिखिए|

उत्तर: \[10\] से कम अभाज्य संख्या \[ = {\text{ }}2{\text{ }},3{\text{ }},5,{\text{ }}7\]

रोस्टर रूप में , \[R = (x,x^{3}) : x\] एक अभाज्य संख्या है जो \[10\] से कम है। 

\[ = {\text{ }}\left\{ {\left( {2,8} \right){\text{ }},{\text{ }}\left( {3,27{\text{ }}} \right),{\text{ }}\left( {5,125{\text{ }}} \right),{\text{ }}\left( {7,343} \right)} \right\}\]

8.  मान लीजिए कि $ A= {X,Y,Z}$ और B = {1,2} A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए| 

उत्तर: दिया है : 

${A = \left\{ {x,{\text{ }}y,{\text{ }}z} \right\}}$

${B = \left\{ {1,{\text{ }}2} \right\}}$

${A{\text{ }}X{\text{ }}B = \left\{ {\left( {x,{\text{ }}1} \right),{\text{ }}\left( {x,{\text{ }}2} \right),{\text{ }}\left( {y,{\text{ }}1} \right),{\text{ }}\left( {y,{\text{ }}2} \right),\left( {z,{\text{ }}1} \right),\left( {z,{\text{ }}2} \right){\text{ }}} \right\}}$

${n(A{\text{ }}X{\text{ }}B){\text{ }} = 6}$ 

9. मान लीजिए कि \[{\mathbf{R}},{\text{ }}{\mathbf{Z}}\;\] पर,\[{\mathbf{R}} = \{ ({\mathbf{A}},{\mathbf{B}}){\text{ }}:{\mathbf{A}},{\mathbf{B\varepsilon }}\;{\mathbf{Z}},{\mathbf{A}}-{\mathbf{B}}\]  एक पूर्णांक है} द्वारा परिभाषित एक सम्बन्ध है। प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए|

उत्तर: \[R\]समुच्चय \[Z\] पर एक सम्बन्ध है तथा \[R = \{ (A,{\text{ }}B),{\text{ }}A\varepsilon Z,{\text{ }}B\varepsilon Z,{\text{ }}A - B\] एक पूर्णांक संख्या है। 

\[R\] का प्रान्त \[ = Z\]

\[R\] का परिसर \[ = Z\]

प्रश्नावली 2.3

1. निम्नलिखित संबंधों में से कौन-से फलन हैं? कारण का उल्लेख  कीजिए| यदि सम्बन्ध एक फलन है तो उसका परिसर निर्धारित  कीजिए| 

(i) \[\left\{ {\left( {{\mathbf{2}},{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{5}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{8}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{11}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{14}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{17}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right)} \right\}\]

उत्तर: प्रान्त \[ = \left\{ {2,{\text{ }}6,{\text{ }}8,{\text{ }}11,{\text{ }}14,{\text{ }}17} \right\}\] तथा परिसर \[ = \left\{ 1 \right\}.\]

(ii) \[\left\{ {\left( {{\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{4}},{\text{ }}{\mathbf{2}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{6}},{\text{ }}{\mathbf{3}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{8}},{\text{ }}{\mathbf{4}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{10}},{\text{ }}{\mathbf{5}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{12}},{\text{ }}{\mathbf{6}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{14}},{\text{ }}{\mathbf{7}}} \right)} \right\}\]

उत्तर: प्रान्त\[ = \left\{ {2,{\text{ }}4,{\text{ }}6,{\text{ }}8,{\text{ }}10,{\text{ }}12,{\text{ }}14} \right\}\], परिसर \[ = \left\{ {1,{\text{ }}2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5,{\text{ }}6,{\text{ }}7} \right\}.\]

(iii) \[\left\{ {\left( {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{3}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{1}},{\text{ }}{\mathbf{5}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{2}},{\text{ }}{\mathbf{5}}} \right)} \right\}\]

उत्तर: यह एक फलन नहीं है क्योंकि \[(1,{\text{ }}3),{\text{ }}\left( {1,{\text{ }}5} \right)\] में पहला घटक समान है।

2. निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए| 

(i) \[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }} - \left| x \right|\]

उत्तर: दिया है: 

\[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }} - \left| x \right|{\text{ }},{\text{ }}f\left( x \right) \leqslant 0\] सभी  \[x \in R\] के लिए  ज्ञात है कि

\[\left| x \right|{\text{ }} = {\text{ }}\{  - x,x = 0{\text{ }} - x,{\text{ }}x < 0\]

\[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }} - \left| x \right|{\text{ }} = {\text{ }}\{  - x,x < 0{\text{ }}x,x < 0\]

\[f\] का प्रान्त \[ = {\text{ }}R\]
\[f\] का परिसर \[ = {\text{ }}\{ y{\text{ }}:{\text{ }}y \in R{\text{ }},{\text{ }}y \leqslant 0) = ( - \infty ,0]\]

(ii) $f(x) = \sqrt {\left( {9 - x^2} \right)} $

उत्तर: \[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }}f\left( x \right)\] परिभाषित  नहीं  है जब \[9 - {x^2} < {\text{ }}0,{x^2} > {\text{ }}9,\;x{\text{ }} > {\text{ }}3\]और \[x{\text{ }} < {\text{ }} - 3\]

\[f\] परिभाषित  है जब \[ - 3 \leqslant x \leqslant 3\]

\[f\] का प्रान्त \[ = {\text{ }} - 3 \leqslant x \leqslant 3,{\text{ }}x \in R\] या \[\left[ { - 3,3} \right]\]

अब मान लीजिए $y = \sqrt {\left( {9 - x^2} \right)} $या \[y{\text{ }} = {\text{ }}9 - {\text{ }}{x^2}\]

\[f\] परिभाषित  है यदि \[9 = {y^2} \geqslant 0\] या \[{y^2} \leqslant 9\]

\[y \leqslant 3{\text{ }},{\text{ }}y \ne \]-ve 

\[f\] का परिसर\[ = y \leqslant 3\] और \[y \geqslant 0\]

\[\{ {\text{ }}y{\text{ }}:{\text{ }}y \leqslant R\] और \[0 \leqslant y \leqslant 3\} \] या 

\[\left[ {0,3} \right]\]

3. एक फलन \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{2x}}{\text{ }}-{\text{ }}{\mathbf{5}}\] द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए: 

(i) \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{0}} \right)\]

उत्तर: \[f\left( 0 \right){\text{ }} = {\text{ }}2{\text{ }}\times{\text{ }}0{\text{ }}-{\text{ }}5{\text{ }} = {\text{ }} - 5\]

(ii) \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{7}} \right)\]

उत्तर: \[f\left( 7 \right){\text{ }} = {\text{ }}14{\text{ }}-{\text{ }}5{\text{ }} = {\text{ }}9\]

(iii) \[{\mathbf{f}}\left( { - {\mathbf{3}}} \right)\]

उत्तर:  \[f\left( { - 3} \right){\text{ }} = {\text{ }}2{\text{ }} \times {\text{ }}\left( { - 3} \right){\text{ }}-{\text{ }}5{\text{ }} = {\text{ }}-{\text{ }}6{\text{ }}-{\text{ }}5{\text{ }} = {\text{ }}-{\text{ }}11\]

4. फलन   सेल्सियस तापमान का फहरेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो \[{\mathbf{t}}\left( {\mathbf{C}} \right)\]\[ = \left( {{\mathbf{9c}}/{\mathbf{5}}} \right){\text{ }} + {\text{ }}{\mathbf{32}}\] द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए: 

(i) \[{\mathbf{t}}\left( {\mathbf{0}} \right)\]

उत्तर: \[t\left( 0 \right) = \left( {9/5*0} \right) + 32 = 0 + 32 = 32\]

(ii) \[{\mathbf{t}}\left( {{\mathbf{28}}} \right)\]

उत्तर: \[t\left( {28} \right) = \left( {9/5*28} \right) + 32 = 252/5{\text{ }} + {\text{ }}32 = {\text{ }}412/5\]

(iii) \[{\mathbf{t}}\left( { - {\mathbf{10}}} \right)\]

उत्तर: \[t\left( { - 10} \right) = \left( {9/5*\left( { - 10} \right)} \right) + 32 =  - 18 + 32 = 14\]

(iv) \[{\mathbf{C}}\] का मान, जब \[{\mathbf{t}}\left( {\mathbf{C}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{212}}\]

उत्तर :

${t\left( c \right) = 212}$

${212 = 9/5*C{\text{ }} + 32}$ 

${\;9/5*C = 212 - 32 = 180}$ 

${\;C = 180*5/9 = 100}$

${\;t\left( c \right) = 100}$

5. निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए : 

(i) \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{2}}{\text{ }}-{\text{ }}{\mathbf{3x}},{\text{ }}{\mathbf{x}} \in {\mathbf{R}},{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }} > {\text{ }}{\mathbf{0}}\]

उत्तर: दिया है:

\[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }}2{\text{ }} - {\text{ }}3x{\text{ }},{\text{ }}x \in R{\text{ }},{\text{ }}x{\text{ }} > {\text{ }}0\]

\[ = {\text{ }}y\] (माना गया है)

\[2{\text{ }} - {\text{ }}3x{\text{ }} = {\text{ }}y\] या \[2{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} = {\text{ }}3x\] या \[x{\text{ }} = {\text{ }}2 - y/3\]

दिया गया है: 

\[x{\text{ }} > {\text{ }}0\] अर्थात \[2 - y/3{\text{ }} > {\text{ }}0\] या \[2{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} > {\text{ }}0\] या \[y{\text{ }} < {\text{ }}2\]

\[f\] का परिसर \[ = y{\text{ }} < {\text{ }}2\] या \[( - \infty ,2)\]

(ii)  $f(x) = x^{2} +2$ ,x एक वास्तविक संख्या है। 

उत्तर: $f(x) = y = x^{2} +2$

\[{x^2} = {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}2\]

\[x{\text{ }} = {\text{ }}\sqrt {y - 2} \]

\[y - 2 \leqslant 0\] या \[y \geqslant 2\]

\[f\] का परिसर \[y{\text{ }} = {\text{ }}\{ {\text{ }}y{\text{ }}:{\text{ }}y \in R\] और \[y \geqslant 2\} \]

\[f = \left[ {2,\infty } \right]\]

(iii) \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right){\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{x}}\], x एक वास्तविक संख्या है। 

उत्तर: \[f\left( x \right){\text{ }} = {\text{ }}y{\text{ }} = {\text{ }}x\] या \[x{\text{ }} = {\text{ }}y\]

\[x \in R\] और \[x{\text{ }} = {\text{ }}y\] तब \[y \in R\]

\[f\] का परिसर \[ = \{ {\text{ }}y{\text{ }}:{\text{ }}y \in R{\text{ }}\} {\text{ }} = {\text{ }}R\]

प्रश्नावली A2

1. संबंध ${\mathbf{f}}$,  $~f\left( x \right)={{x}^{2}},0\le x\le 3$

$3x,3\le x\le 10$ द्वारा परिभाषित है। संबंध ${\mathbf{g}}$, $g\left( x \right)={{x}^{2}},0\le x\le 2$

$3x, 2\le x\le 10$ द्वारा परिभाषित है। दर्शाइए कि क्यों \[{\mathbf{f}}\] एक फलन है और \[{\mathbf{g}}\] एक फलन नहीं है । 

उत्तर: $f\left( x \right){{x}^{2}}, 0\le x\le 3$

$3x, 3\le x\le 10$ के लिए 

यहाँ $x=3,f\left( 3 \right)={{3}^{2}}=9$
और $x=3$ पे $f\left( x \right)=3\times 3=9$
अतः इस संबंध के लिए प्रत्येक अवयव का प्रतिबिंब अद्वितीय हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है ।

$\text{g}\left( \text{x} \right)=$ ${{x}^{2}},0\le x\le 2$

$3x,2\le x\le 10$

$\text{x}=2\text{ }\!\!~\!\!\text{ };\text{ }\!\!~\!\!\text{ f}\left( \text{x} \right)={{2}^{2}}=4$

और $x=2$ पे $f\left( x \right)=3\times 2=6$
अतः इस संबंध के लिए एक ही अवयव के अलग-अलग प्रतिबिंब है इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं है ।

2. यदि \[{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right) = {\text{ }}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\], तो $\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{f\left( 1.1 \right)-f\left( 1 \right)}{1.1-1}$ ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: दिया गया है $f\left( x \right)={{x}^{2}}$

अत: $\frac{f\left( 1.1 \right)-f\left( 1 \right)}{1.1-1}=\frac{{{(1.1)}^{2}}-{{(1)}^{2}}}{1.1-1}=\frac{1.21-1}{0.1}=2.1$

3. फलन का $~f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-8x+12}$  प्रांत ज्ञात कीजिए | 

उत्तर: दिया गया है $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-8x+12}$

अत: $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}-8x+12}=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x-6 \right)}$

अतः $x=2$ और $x=6$ को छोड के सभी वास्तविक संख्याओं के लिए यह फलन परिभाषित है।
अतः फलन $f$ का प्रांत होगा- $R-\left\{ 2,6 \right\}$

4. $~f\left( x \right)=\sqrt{\left( x-1 \right)}$ द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है $f\left( x \right)=\sqrt{\left( x-1 \right)}$

सभी $x\ge 1$ वास्तविक संख्याओं के लिये फलन $f$ परिभाषित है। अतः $\text{f}$ का प्रांत होगा $-\left[ 1,\infty  \right)$ है।

सभी $x\ge 1$ के लिए $\left( x-1 \right)\ge 0$ है, अर्थात $f\left( x \right)=\sqrt{\left( x-1 \right)}\ge 0$ है। अतः $f$ का परिसर होगा $\left[ 0,\infty  \right)$।

5. $~f\left( x \right)=\left| x-1 \right|$ द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: दिया गया है $f\left( x \right)=\left| x-1 \right|$

स्पष्टतया सभी वास्तविक संख्याओं के लिए यह फलन परिभाषित है । अतः $f$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा । चूंकि $\text{f}\left( \text{x} \right)=\left| x-1 \right|\ge 0$ होगा, तो $\text{f}$ का परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।

6. मान लीजिए कि $\text{ }\!\!~\!\!\text{ f}=\left\{ x,\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}},:x\in R \right\}$ R से R में एक फलन है। f का परिसर निर्धारित  कीजिए ।

उत्तर: दिया गया है, $\text{f}=\left\{ x,\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}},:x\in R \right\}$

सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}$ सदैव धनात्मक होगा ।
यहाँ पर $\left( 1+{{x}^{2}} \right)>{{x}^{2}}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}<1$

$\text{x}=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ };\text{ }\!\!~\!\!\text{ f}\left( \text{x} \right)=0$

अत: $f$ का परिसर होगा $\left[ 0,1 \right)$ ।

7. मान लीजिए $~f,g:R\to Rf\left( x \right)=x+1,g\left( x \right)=2x-3$ द्वारा परिभाषित है। $\text{f}+\text{g},\text{f}-\text{g}$ और $\frac{f}{g}$ ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है $\text{f},\text{g}:\text{R}\to \text{Rf}\left( \text{x} \right)=\text{x}+1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ g}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-3$ द्वारा परिभाषित है।
अतः,

$f+g=f\left( x \right)+g\left( x \right)=\left( x+1 \right)+\left( 2x-3 \right)$

$\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=3x-2$

$f-g=f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)-\left( 2x-3 \right)=x+1-2x+3$

$~=-x+4$ 

और $\frac{f}{g}=\frac{\left( x+1 \right)}{\left( 2x-3 \right)},x\ne \frac{3}{2}$

8. मान लीजिए $~f=\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 2,3 \right),\left( 0,-1 \right),\left( -1,-3 \right) \right\}Z$ से $Z$ में , $f\left( x \right)=ax+b$ द्वारा  परिभाषित एक फलन है, जहाँ $~a,b$ कोई पूर्णांक  हैं। $~a,b$ को निर्धारित  कीजिए। 

उत्तर: दिया गया है $\text{f}=\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 2,3 \right),\left( 0,-1 \right),\left( -1,-3 \right) \right\}$

$Z$ से $z$ में $f\left( x \right)=ax+b$

$~\left( 1,1 \right)\in f\Rightarrow f\left( 1 \right)=1$

$~\Rightarrow 1=a\left( 1 \right)+b$

$~\Rightarrow b=1-a\ldots \ldots \ldots ..\left( 1 \right)$

$~\left( 2,3 \right)\in f\Rightarrow f\left( 2 \right)=3$

$~\Rightarrow 3=2a+b\Rightarrow b=3-2a$

समीकरण (1) और (2) से हम कह सकते हैं कि,

$a=2\Rightarrow b=1-2=-1$

अत: $a=2$ और $b=-1$

9. $\text{R}=\left\{ \left( \text{a},\text{b} \right):\text{a},\text{b}\in \text{N} \right.$ तथा $\left. \text{a}={{b}^{2}} \right\}$ द्वारा परिभाषित $\text{N}$ से $\text{N}$ में, एक संबंध$\text{ }\!\!~\!\!\text{ R}$ है। क्या  निम्नलिखित कथन सत्य हैं? 

(i)\[\left( {{\mathbf{a}},{\text{ }}{\mathbf{a}}} \right) \in {\mathbf{R}}\], सभी\[{\mathbf{a}} \in {\mathbf{N}}\],

उत्तर: यहाँ पर $\left( \text{a},\text{a} \right)\in N$
मान लेते हैं कि $a=4\Rightarrow a={{4}^{2}}=16\ne 4$
$\Rightarrow $ सभी $a\in N$ के लिए $\left( a,a \right)\notin R$
अतः यह कथन असत्य है ।

(ii) \[\left( {{\mathbf{a}}{\text{ }},{\text{ }}{\mathbf{b}}} \right) \in R\] का तात्पर्य है कि \[({\mathbf{b}}{\text{ }},{\text{ }}{\mathbf{a}}) \in R\]

उत्तर: हमें ज्ञात है कि \[16 \in N\] और \[16 = {\text{ }}{4^2}\]

अतः \[(16,{\text{ }}4) \in R\]

किन्तु \[{16^2} = {\text{ }}256{\text{ }} \ne {\text{ }}4 \Rightarrow \left( {4,{\text{ }}16} \right) \notin R\]

अतः कथन, \[\left( {a{\text{ }},{\text{ }}b} \right) \in R\] का तात्पर्य है कि \[(b{\text{ }},{\text{ }}a) \in R\]असत्य है।

(iii) \[\left( {{\mathbf{a}},{\text{ }}{\mathbf{b}}} \right) \in R,{\text{ }}\left( {{\mathbf{b}},{\text{ }}{\mathbf{c}}} \right) \in R\] का तात्पर्य है कि\[({\mathbf{a}},{\text{ }}{\mathbf{c}}) \in R\]?

उत्तर: यहाँ \[16 = {\text{ }}42\] और \[4 \in N\] अतः \[(16,{\text{ }}4) \in R\] और \[4 = {\text{ }}22\] और \[2 \in N\] अतः \[(4,{\text{ }}2) \in R\]किन्तु \[22 = {\text{ }}4 \ne 16 \Rightarrow \left( {16,{\text{ }}2} \right) \notin R\]

अतः कथन \[,\left( {a,{\text{ }}b} \right) \in R,{\text{ }}\left( {b,{\text{ }}c} \right) \in R\] का तात्पर्य है कि \[(a,{\text{ }}c) \in R\], असत्य है ।

10. मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}},{\mathbf{4}}} \right\},{\text{ }}{\mathbf{B}} = \left\{ {{\mathbf{1}},{\mathbf{5}},{\mathbf{9}},{\mathbf{11}},{\mathbf{15}},{\mathbf{16}}} \right\}\] और \[{\mathbf{f}} = \left\{ {\left( {{\mathbf{1}},{\mathbf{5}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{2}},{\mathbf{9}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{3}},{\mathbf{1}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{4}},{\mathbf{5}}} \right),{\text{ }}\left( {{\mathbf{2}},{\mathbf{11}}} \right)} \right\}\]। क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं? 

उत्तर: दिया गया है, $A=\left\{ 1,2,3,4 \right\},B=\left\{ 1,5,9,11,15,16 \right\}$

$\text{f}=\left\{ \left( 1,5 \right),\left( 2,9 \right),\left( 3,1 \right),\left( 4,5 \right),\left( 2,11 \right) \right\}$

$A\times B=\{\left( 1,1 \right),\left( 1,5 \right),\left( 1,9 \right),\left( 1,11 \right),\left( 1,15 \right),\left( 1,16 \right)$

$\left( 2,1 \right),\left( 2,5 \right),\left( 2,9 \right),\left( 2,11 \right),\left( 2,15 \right),\left( 2,16 \right)$

$\left( 3,1 \right),\left( 3,5 \right),\left( 3,9 \right),\left( 3,11 \right),\left( 3,15 \right),\left( 3,16 \right)$

$\left( 4,1 \right),\left( 4,5 \right),\left( 4,9 \right),\left( 4,11 \right),\left( 4,15 \right),(4,16\}$

(i) \[{\mathbf{f}},{\text{ }}{\mathbf{A}}\] से \[{\mathbf{B}}\] मे एक संबंध है । 

उत्तर: फलन $f,A\times B$ का उपसमुच्चय है। अतः $f,A$ से $B$ मे एक संबंध है ।

(ii) \[{\mathbf{f}},{\text{ }}{\mathbf{A}}\] से \[{\mathbf{B}}\] मे एक फलन है| 

उत्तर: यहाँ $A$ का एक ही अवयव अलग-अलग प्रतिबिंब से संबंधित है अतः $\text{f}$ फलन नहीं है ।

11. मान लीजिए कि $\text{ }\!\!~\!\!\text{ f},\text{f}=\left\{ \left( ab,a+b \right):a,b\in Z \right\}$ द्वारा  परिभाषित \[{\mathbf{Z}} \times {\mathbf{Z}}\] का एक उपसमुच्चय है । क्या \[{\mathbf{f}},{\text{ }}{\mathbf{Z}}\]से \[{\mathbf{Z}}\]में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए । 

उत्तर: दिया गया है, $\text{f}=\left\{ \left( ab,a+b \right):a,b\in Z \right\}$

मान लेते हैं कि $a=3,b=1\Rightarrow f=\{\left( 3\times 1,3+1 \right):3,1\in $

$Z\}=\left\{ \left( 3,4 \right):3,1\in Z \right\}$

$a=-3,b=-1\Rightarrow f=\{\left( \left( -3 \right)\times \left( -1 \right),\left( -3 \right)+\left( -1 \right) \right):-3,-1\in$

$Z\}=\left\{ \left( 3,-4 \right):-3,-1\in Z \right\}$

यहाँ एक ही अवयव अलग-अलग प्रतिबिंब से संबंधित है, अतः $f$ फलन नहीं है ।

12. मान लीजिए कि \[{\mathbf{A}} = {\text{ }}\left\{ {{\mathbf{9}},{\text{ }}{\mathbf{10}},{\text{ }}{\mathbf{11}},{\text{ }}{\mathbf{12}},{\text{ }}{\mathbf{13}}} \right\}\] तथा $\text{ }\!\!~\!\!\text{ f}:\text{A}\to \text{N},\text{f}\left( \text{n} \right)=\text{n}$ का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है । f का परिसर ज्ञात कीजिए|

उत्तर: दिया गया है, $\text{A}=\left\{ 9,10,11,12,13 \right\}$ तथा f: $\text{A}\to \text{N},\text{f}\left( \text{n} \right)=\text{n}$

का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है।
9 का महत्तम अभाज्य गुणक $=3$
10 का महत्तम अभाज्य गुणक $=5$
11 का महत्तम अभाज्य गुणक $=11$
12 का महत्तम अभाज्य गुणक $=3$
13 का महत्तम अभाज्य गुणक $=13$
अतः का परिसर है $\left\{ 3,5,11,13 \right\}$ ।

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 2 Relations and Functions in Hindi

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