NCERT Solutions for Class 12 Physics Chapter 4 - In Hindi

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

1. तार की एक वृत्ताकार कुंडली में \[{\mathbf{100}}\]फेरे हैं, प्रत्येक की त्रिज्या \[{\mathbf{8}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] है और इनमें \[{\mathbf{0}}.{\mathbf{40A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है ?

हल- दिया है,
कुण्डली में तार के फेरों की संख्या \[n{\text{ }} = {\text{ }}100\]
प्रत्येक दौर की त्रिज्या \[r{\text{ }} = {\text{ }}8.0\;cm\] \[ = {\text{ }}8.0{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;m\]
कुण्डली में प्रवाहित धारा \[I{\text{ }} = {\text{ }}0.40\] $A$
कुंडली के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण \[B{\text{ }} = {\text{ }}?\]

 सूत्र $B = \dfrac{{{\mu _0}}}{{4\pi }} \cdot \dfrac{{2\pi ni}}{r}$ से $B = \dfrac{{{{10}^{ - 7}} \times 2 \times 3.14 \times 100 \times 0.40}}{{8 \times {{10}^{ - 2}}}}$

$= 3.14 \times {10^{ - 4}}\;Tesla$

2. एक लम्बे, सीधे तार में \[{\mathbf{35}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। तार से \[{\mathbf{20}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] दूरी पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?
हल- सीधे तार ले जाने वाली लंबी धारा के कारण r दूरी पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र,

$B = \dfrac{{{\mu _0}i}}{{2\pi r}}$

\[m\]
यहाँ $A = 35\;A,r = 20\;cm = 0.20\;m,B = ?$

$B = \dfrac{{4\pi  \times {{10}^{ - 7}} \times 35}}{{2\pi  \times 0.20}} = 3.5 \times {10^{ - 5}}\;T$

3. क्षैतिज तल में रखे एक लम्बे सीधे तार में \[{\mathbf{50A}}\]  विद्युत धारा उत्तर से दक्षिण की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के पूर्व में \[{\mathbf{2}}.{\mathbf{5}}{\text{ }}{\mathbf{m}}\] दूरी पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र \[{\mathbf{B}}\] का परिमाण और उसकी दिशा ज्ञात कीजिए।
हल- दिया है,
करंट की ताकत \[I{\text{ }} = {\text{ }}50\] $A$
तार से दिए गए बिंदु की लंबवत दूरी \[r{\text{ }} = {\text{ }}2.5\;m\]
बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र \[B\] का परिमाण व दिशा = ?
सूत्र $B = \dfrac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\dfrac{{2F}}{r}$ से
$B\;\; = \dfrac{{{{10}^{ - 7}} \times 2 \times 50}}{{2.5}}\;\;\; = 4 \times {10^{ - 4}}\;Tesla$ 

दाएँ हाथ के अँगूठे के नियम से बिन्दु $P$ लेकिन चुंबकीय क्षेत्र की दिशा कागज के तल से ऊपर की ओर लंबवत होगी।

4. व्योमस्थ खिंचे क्षैतिज बिजली के तार में \[{\mathbf{90}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के \[{\mathbf{1}}.{\mathbf{5}}{\text{ }}{\mathbf{m}}\]नीचे विद्युत धारा के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण और दिशा क्या है?
हल- तार में धारा \[i{\text{ }} = {\text{ }}90{\text{ }}A\] (पूर्व से पश्चिम), तार से दूरी \[ = {\text{ }}1.5{\text{ }}m\]
तार के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

\[B = \dfrac{{{\mu _0}}}{{2\pi }} \times \dfrac{i}{r} = \dfrac{{4\pi  \times {{10}^{ - 7}}}}{{2\pi }} \times \dfrac{{90}}{{1.5}} = 1.2 \times {10^{ - 5}}{\mathbf{T}}\]
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा क्षैतिज रूप से उत्तर से दक्षिण की ओर होगी।

5. एक तार जिसमें \[{\mathbf{8}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, \[{\mathbf{0}}.{\mathbf{15}}{\text{ }}{\mathbf{T}}\] के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में, क्षेत्र से \[{\mathbf{30}}^\circ \]  का कोण बनाते हुए रखा है। इसकी एकांक लम्बाई पर लगने वाले बल का परिमाण और इसकी दिशा क्या है?
हल- चुम्बकीय क्षेत्र \[B\] में क्षेत्र से \[\theta \] कोण पर रखे \[L\] लंबाई के करंट ले जाने वाले तार पर बल का परिमाण
\[F{\text{ }} = {\text{ }}ILB{\text{ }}sin{\text{ }}\theta \] (जहाँ \[I{\text{ }} = \] तार में प्रवाहित धारा)
तार की इकाई लंबाई $(\dfrac{F}{L}) = IBsin?$
यहाँ $I = 8A;B = 0.15T$ तथा \[\theta {\text{ }} = {\text{ }}30^\circ \]
$(\dfrac{F}{L}) = 8 \times 0.15 \times sin{30^o}\;N/m$
$= 8 \times 0.15 \times (\dfrac{1}{2})$ $N/m$

\[ = {\text{ }}0.60\]$N/m$

6. एक \[{\mathbf{3}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] लम्बा तार जिसमें \[{\mathbf{10}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, एक परिनालिका के भीतर उसके अक्ष के लम्बवत् रखा है। परिनालिका के भीतर चुम्बकीय क्षेत्र का मानं \[{\mathbf{0}}.{\mathbf{27}}{\text{ }}{\mathbf{T}}\] है। तार पर लगने वाला चुम्बकीय बल क्या है?
हल- अपनी धुरी पर परिनालिका के अंदर क्षेत्र \[B{\text{ }} = {\text{ }}0.27{\text{ }}T\] (जिसकी दिशा अक्ष के अनुदिश ही होती है)। धारावाही तार अक्ष के लम्बवत् है,
अतः\[\theta {\text{ }} = {\text{ }}90^\circ \]; तार की लम्बाई \[L{\text{ }} = {\text{ }}3.0\;cm\] \[ = {\text{ }}3.0{\text{ }} \times {\text{ }}{10^{ - 2}}\;m\]; तार में धारा\[I{\text{ }} = {\text{ }}10{\text{ }}A\]; इसलिए तार पर चुंबकीय बल
\[F{\text{ }} = {\text{ }}ILB{\text{ }}sin{\text{ }}\theta \]$N$
\[ = {\text{ }}10{\text{ }} \times \left( {3.0{\text{ }} \times {{10}^{ - 2}}} \right){\text{ }}\left( {0.27} \right) \times {\text{ }}sin{\text{ }}90^\circ \]$N$
\[ = {\text{ }}81{\text{ }} \times {10^{ - 2}} \times 1\]$N$
\[ = {\text{ }}8.1 \times {\text{ }}{10^{ - 2}}\] $N$

7. एक-दूसरे से \[{\mathbf{4}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] की दूरी पर रखे दो लम्बे, सीधे, समान्तर तारों \[{\mathbf{A}}\] एवं \[{\mathbf{B}}\] से क्रमशः \[{\mathbf{8}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] एवं \[{\mathbf{5}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] की विद्युत धाराएँ एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही हैं। तार \[{\mathbf{A}}\] के \[{\mathbf{10}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] खण्ड पर बल का आकलन कीजिए।
हल- एक दूसरे के समानांतर दो लंबे सीधे करंट ले जाने वाले तारों के बीच प्रत्येक तार की इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला पारस्परिक बल
$\left( {\dfrac{F}{L}} \right) = \dfrac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\left( {\dfrac{{2{I_1} \cdot {I_2}}}{r}} \right)$

यहाँ ${\mu _0} = 4\pi  \times {10^{ - 7}}\;N/{A^2}$

${I_1}\;\; = 8.0\;A,{I_2} = 5.0\;A;r = 4 \times {10^{ - 2}}$

$\left( {\dfrac{F}{L}} \right)\;\; = \dfrac{{4\pi  \times {{10}^{ - 7}}}}{{4\pi }}\left( {\dfrac{{2 \times 8.0 \times 5.0}}{{4 \times {{10}^{ - 2}}}}} \right)$$N/m$

$= 2.0 \times {10^{ - 4}}$$N/m$

अत: $A$ तार की लम्बाई $l = 10$$cm = 0.10m$ 

ब्लॉक पर बल $F\;\; = \left( {\dfrac{F}{L}} \right) \times l = 2.0 \times {10^{ - 4}}$ $N/m$$ \times 0.10\;m$$= 0.20 \times {10^{ - 4}}$$N$ 

8. पास-पास फेरों वाली एक परिनालिका \[{\mathbf{80}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] लम्बी है और इसमें \[{\mathbf{5}}\] परतें हैं जिनमें से प्रत्येक में \[{\mathbf{400}}\]फेरे हैं। परिनालिका का व्यास \[{\mathbf{1}}.{\mathbf{8}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] है। यदि इसमें \[{\mathbf{8}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है तो परिनालिका के भीतर केन्द्र के पास चुम्बकीय क्षेत्र \[{\mathbf{B}}\]का परिमाण परिकलित कीजिए।
हल- इसके अंदर एक परिनालिका की एक परत के कारण केंद्र के पास उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $= {\mu _0}\left( {\dfrac{N}{L}} \right).I;$ अत: सोलेनोइड की पांच परतों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times \left( {\dfrac{{{\mu _0}NI}}{L}} \right)$;
यहाँ

$\begin{gathered} N\;\; = 400 \hfill \\ I = 8.0\;A \hfill \\ \end{gathered} $

$L = 80$ $cm = 0.80\;m$ 

$\;B\;\; = \left[ {\dfrac{{5 \times \left( {4\pi  \times {{10}^{ - 7}}} \right)\left( {400} \right) \times 8.0}}{{0.80}}} \right]$$Tesla$

$= \;2.512 \times {10^{ - 2}}$$Tesla$

9. एक वर्गाकार कुंडली जिसकी प्रत्येक भुजा \[{\mathbf{10}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] है, में \[{\mathbf{20}}\]फेरे हैं और उसमें \[{\mathbf{12}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली ऊर्ध्वाधरतः लटकी हुई है और इसके तल पर खींचा गया अभिलम्ब \[{\mathbf{0}}.{\mathbf{80}}{\text{ }}{\mathbf{T}}\] के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा से \[{\mathbf{30}}^\circ \] का एक कोण बनाता है। कुंडली पर लगने वाले बल-युग्म आघूर्ण का परिमाण क्या है?
हल- बल युग्म के क्षण का परिमाण \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}NIAB{\text{ }}sin{\text{ }}\theta \]
यहाँ फेरों की संख्या\[N{\text{ }} = {\text{ }}20\]; वर्गाकार कुण्डली के तल का क्षेत्रफल
\[A{\text{ }} = \]भुजा$^2$ \[ = {\text{ }}{\left( {0.10{\text{ m}}} \right)^2} = {\text{ }}0.01\;m\]
कुण्डली में धारा\[I{\text{ }} = {\text{ }}12{\text{ }}A\]; चुम्बकीय क्षेत्र \[B{\text{ }} = {\text{ }}0.80{\text{ }}T\]तथा \[\theta {\text{ }} = {\text{ }}30^\circ \]
\[\tau {\text{ }} = {\text{ }}20{\text{ }} \times 12{\text{ }} \times {\text{ }}0.01{\text{ }} \times {\text{ }}0.80{\text{ }} \times {\text{ }}sin{\text{ }}30^\circ \]$Nm$
$= 240 \times 0.008 \times (\dfrac{1}{2})$$Nm$
\[ = {\text{ }}0.960\]$Nm$

10. दो चल कुंडली गैल्वेनोमीटर मीटरों \[{\mathbf{MI}}\] एवं\[{\mathbf{M}}\], के विवरण नीचे दिए गए हैं।
\[{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}} = {\text{ }}{\mathbf{10}}{\text{ }}\Omega ,{\text{ }}{{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}} = {\text{ }}{\mathbf{30}},{\text{ }}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}} = {\text{ }}{\mathbf{3}}.{\mathbf{6}}{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{3}}}}\;{{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}},{\text{ }}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}} = {\text{ }}{\mathbf{0}}.{\mathbf{25}}{\text{ }}{\mathbf{T}}\]
\[{{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}} = {\text{ }}{\mathbf{14}}{\text{ }}\Omega ,{\text{ }}{{\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}} = {\text{ }}{\mathbf{42}},{\text{ }}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}} = {\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{8}}{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{3}}}}\;{{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}},{\text{ }}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{2}}} = {\text{ }}{\mathbf{0}}.{\mathbf{50}}{\text{ }}{\mathbf{T}}\]
(दोनों मीटरों के लिए स्प्रिंग नियतांक समान है)।
(a) \[{{\mathbf{M}}_{\mathbf{2}}}\]एवं \[{{\mathbf{M}}_{\mathbf{1}}}\]की धारा-सुग्राहिताओं,
हल- मीटर वर्तमान संवेदनशीलता $= \dfrac{{NBA}}{K}$ से,

${M_2}$की धारा सुग्राहिता/${M_1}$ की धारा सुग्राहिता$= \dfrac{{{N_2}{B_2}{A_2}}}{K} \times \dfrac{K}{{{N_1}{B_1}{A_1}}}$

$= \dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \times \dfrac{{{B_2}}}{{{B_1}}} \times \dfrac{{{A_2}}}{{{A_1}}} = \dfrac{{42}}{{30}} \times \dfrac{{0.50}}{{0.25}} \times \dfrac{{1.8 \times {{10}^{ - 3}}}}{{3.6 \times {{10}^{ - 3}}}}\; = 1.4\;$

(b) \[{{\mathbf{M}}_{\mathbf{2}}}\] एवं \[{{\mathbf{M}}_{\mathbf{1}}}\]की वोल्टता-सुग्राहिताओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल-  मीटर की वोल्टेज संवेदनशीलता $= \dfrac{{NBA}}{{KR}}$ से,

${M_2}$कीवोल्टेज सुग्राहिता/${M_1}$ की वोल्टेज सुग्राहिता

$\dfrac{{{N_2}{B_2}{A_2}}}{{K{R_2}}} \times \dfrac{{K{R_1}}}{{{N_1}{B_1}{A_1}}}\;\;\; = \left( {\dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \times \dfrac{{{B_2}}}{{{B_1}}} \times \dfrac{{{A_2}}}{{{A_1}}}} \right) \times \dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\;\;\; = 1.4 \times \dfrac{{10}}{{14}} = 1\;$

(प्रथम भाग के परिणाम से)

11. एक प्रकोष्ठ में \[{\mathbf{6}}.{\mathbf{5}}{\text{ }}{\mathbf{G}}{\text{ }}\left( {{\mathbf{1G}}{\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{4}}}}\;{\mathbf{T}}} \right)\] का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र बनाए रखा गया है। इस चुम्बकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन \[{\mathbf{4}}.{\mathbf{8}}{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{\mathbf{6}}}{\mathbf{m}}{{\mathbf{s}}^{ - {\mathbf{1}}}}\;\] के वेग से क्षेत्र के लम्बवत् भेजा गया है। व्याख्या कीजिए कि इस इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार क्यों होगा? वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (\[{\mathbf{e}}{\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{1}}.{\mathbf{6}}{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{{\mathbf{19}}}}{\mathbf{C}},{\text{ }}{\mathbf{me}}{\text{ }} = {\text{ }}{\mathbf{9}}.{\mathbf{1}}{\text{ }}{\mathbf{x}}{\text{ }}{\mathbf{1}}{{\mathbf{0}}^{ - {\mathbf{31}}}}{\mathbf{kg}}\])
हल-
$= \dfrac{{mv}}{{eB}} = \left[ {\dfrac{{\left( {9.1 \times {{10}^{ - 31}}} \right)\left( {4.8 \times {{10}^6}} \right)}}{{\left( {1.6 \times {{10}^{ - 19}}} \right)\left( {6.5 \times {{10}^{ - 4}}} \right)}}} \right]$$m$$= 4.2 \times {10^{ - 2}}$ $m$
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल हमेशा उसके वेग के लंबवत होता है, इसलिए इलेक्ट्रॉन का पथ गोलाकार हो जाता है।

12. प्रश्न 11 में, वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण आवृत्ति प्राप्त कीजिए। क्या यह उत्तर इलेक्ट्रॉन के वेग पर निर्भर करता है? व्याख्या कीजिए।
हल- $\;\because \;T\;\; = \dfrac{{2\pi {m_e}}}{{e \cdot B}};\;$ अत: परिक्रमण आवृत्ति  

$n\;\; = \dfrac{1}{T} = \dfrac{{e.B}}{{2\pi {m_e}}}\;n\;\; = \left[ {\dfrac{{\left( {1.6 \times {{10}^{ - 19}}} \right)\left( {6.5 \times {{10}^{ - 4}}} \right)}}{{2 \times \left( {3.14} \right) \times \left( {9.1 \times {{10}^{ - 31}}} \right)}}} \right]$$= 1.82 \times {10^7}$${s^{ - 1}}$

चूँकि $n$ इलेक्ट्रॉन का वेग सूत्र में नहीं आता है: तो; उत्तर वेग पर निर्भर नहीं करेगा।

13. (a) 30 फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली जिसकी त्रिज्या \[{\mathbf{8}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{cm}}\] है और जिसमें \[{\mathbf{6}}.{\mathbf{0}}{\text{ }}{\mathbf{A}}\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, 1.0 T के एकसमान क्षैतिज चुम्बकीय क्षेत्र में ऊर्ध्वाधरतः लटकी है। क्षेत्र रेखाएँ कुंडली के अभिलम्ब से \[{\mathbf{60}}^\circ \]  का कोण बनाती हैं। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए जो प्रति आघूर्ण लगाया जाना चाहिए उसके परिमाण परिकलित कीजिए।
हल- (a) कुंडली में फेरे\[N{\text{ }} = {\text{ }}30\], त्रिज्या \[r{\text{ }} = {\text{ }}8.0{\text{ }}x{\text{ }}{10^{ - 2}}m,{\text{ }}i{\text{ }} = {\text{ }}6.0{\text{ }}A\]
चुम्बकीय क्षेत्र \[B{\text{ }} = {\text{ }}1.0{\text{ }}T,{\text{ }}\theta {\text{ }} = {\text{ }}60^\circ \]
कुंडल पर चुंबकीय क्षेत्र के कारण बलों के युग्म का बलाघूर्ण
$= 30 \times 6.0 \times (314 \times 64.0 \times 10 - 4) \times 1.0 \times \dfrac{{\surd 3}}{2} = 3.13N - m$
स्पष्ट है कि कुंडली को घूमने से रोकने के लिए \[3.13{\text{ }}N - m\] टोक़ को विपरीत दिशा में लागू किया जाना है।

(b) यदि (a) में बतायी गई वृत्ताकार कुंडली को उसी क्षेत्रफल की अनियमित आकृति की समतलीय कुंडली से प्रतिस्थापित कर दिया जाए (शेष सभी विवरण अपरिवर्तित रहें) तो क्या आपका उत्तर परिवर्तित हो जाएगा?

हल-  नहीं, उत्तर में कोई परिवर्तन नहीं होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि टोक़ (\[\tau {\text{ }} = {\text{ }}NiAB{\text{ }}sin{\text{ }}\theta \]) कुंडली के क्षेत्रफल \[A\] इस पर निर्भर करता है न कि इसके आकार पर।

14. दो समकेन्द्रिक वृत्ताकार कुंडलियाँ \[{\text{x}}\] और \[{\text{\;Y}}\] जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः \[16{\text{ }}cm\] एवं \[10{\text{ }}cm\] हैं, उत्तर-दक्षिण दिशा में समान ऊध्र्वाधर तल में अवस्थित हैं। कुंडली \[{\text{x}}\] में \[20\] फेरे हैं और इसमें \[16{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, कुंडली \[{\text{\;Y}}\] में \[25\] फेरे हैं और इसमें \[18{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। पश्चिम की ओर मुख करके खड़ा एक प्रेक्षक देखता है कि $X$ में धारा प्रवाह वामावर्त है जबकि में दक्षिणावर्त है। कुंडलियों के केन्द्र पर, उनमें प्रवाहित विद्युत धाराओं के कारण उत्पन्न कुल चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण एवं दिशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुंडल $ \times $ त्रिज्या, ${r_1} = 16\;{\text{cm}} = 0.16\;{\text{m}}$

तार $Y$ की त्रिज्या, ${r_2} = 10\;{\text{cm}} = 0.1\;{\text{m}}$

कुंडल $ \times $ पर घुमावों की संख्या, ${n_1} = 20$

कुंडल $Y$ पर बारी की संख्या, ${n_2} = 25$

कुंडल $X$ में वर्तमान, ${l_1} = 16\;{\text{A}}$

15. $10\;{\text{cm}}$ लम्बाई और ${10^{ - 3}}\;{{\text{m}}^2}$ अनुप्रस्थ काट के एक क्षेत्र में \[100{\text{ }}G{\text{ }}\left( {1G{\text{ }} = {\text{ }}{{10}^{ - 4}}} \right)\] का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र चाहिए। जिस तार से परिनालिका का निर्माण करना है उसमें अधिकतम \[15{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो सकती है और क्रोड पर अधिकतम \[1000\] फेरे प्रति मीटर लपेटे जा सकते हैं। इस उद्देश्य के लिए परिनालिका के निर्माण का विवरण सुझाइए। यह मान लीजिए कि क्रोड लौह-चुम्बकीय नहीं है।
हल-
माना परिनालिका की एकांक लम्बाई में फेरों की संख्या \[n\] तथा उसमें प्रवाहित धारा \[1\]है तब उसकी अक्ष पर केन्द्रीय भाग में

चुंबकीय क्षेत्र $B = {\mu _0}$ \[ni\]

\[{\text{ni }} = \dfrac{{\text{B}}}{{{\mu _0}}}\]

${\text{B}} = 100 \times {10^{ - 4}}\;{\text{T}},{\mu _{\text{o}}}$ नियातांक है तथा ${\text{T}}$ नियत है।
दी गई परिनालिका के लिए \[ni\] = नियतांक
इस प्रतिबन्ध में दो चर राशियाँ हैं; अत: हम किसी एक राशि को दी गई सीमाओं के अनुरूप स्वेच्छ मान देकर दूसरी राशि का चुनाव कर सकते हैं।
इससे स्पष्ट है कि अभीष्ट परिनालिका के बहुत से भिन्न-भिन्न विवरण सम्भव हैं।

\[{\text{ni }} = \dfrac{{\text{B}}}{{{\mu _0}}}\]

$= \dfrac{{\left( {100 \times {{10}^{ - 4}}} \right)}}{{\left( {4\pi  \times {{10}^{ - 7}}} \right)}}$

$= 7.96 \times {10^3}$

अधिकतम $15\;{\text{A}}$ धारा प्रवाहित की का सकती है इसलिए

${\text{i}} \leqslant 15$ यदि हम ${\text{i}} = 5$ ले तो

$n = \dfrac{{7.69 \times {{10}^3}}}{5} = 1538$

दिया गया स्थान ( $10\;{\text{cm}}$ लंबा व ${10^{ - 3}}\;{{\text{m}}^2}$ अनुप्रस्थ क्षेत्रफल वाला) परिनालिका की अक्ष के अनुदीश तथा केंद्रीय भाग में होना चाहिए क्योंकि परिनालिका की अक्ष पर उसके केंद्रीय भाग में चुंबकीय क्षेत्र लगभग एक समान होना चाहिए।

माना कि परिनालिका की त्रिज्या $r$ है,

${r^2} > {10^{ - 3}}$

$\pi {r^2} > {10^{ - 3}}/3.14 = 3.18 \times {10^{ - 4}}$

$r > 1.78\;{\text{cm}}$ हम परि नालिका की त्रिज्या $2\;{\text{cm}}$ से अधिक ले सकते है

इसलिए परिनालिका का विवरण निम्न है

1, लंबाई $= 50\;{\text{cm}}$, लगभग फेरो की संख्या $n$

$= 800 \times 0.5 = 400$ लगभग

त्रिज्या $= 3\;{\text{cm}},\quad {\text{i}} = 5\;{\text{A}}$

16. $I$ धारावाही, $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए, इसके अक्ष पर, केन्द्र से $x$ दूरी पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र के लिए निम्नलिखित व्यंजक है-
${\mathbf{B}} = \dfrac{{{\mu _0}{\mathbf{I}}{{\mathbf{R}}^2}{\mathbf{N}}}}{{{\mathbf{2}}{{\left( {{{\mathbf{x}}^2} + {{\mathbf{R}}^2}} \right)}^{3/{\mathbf{2}}}}}}$
(a) स्पष्ट कीजिए, इससे कुंडली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र के लिए सुपरिचित परिणाम कैसे प्राप्त किया जा सकता है?
(b) बराबर त्रिज्या $R$ एवं फेरों की संख्या $N$, वाली दो वृत्ताकार कुंडलियाँ एक-दूसरे से $R$ दूरी पर एक-दूसरे के समान्तर, अक्ष मिलाकर रखी गई हैं। दोनों में समान विद्युत धारा एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही है। दर्शाइए कि कुण्डलियों के अक्ष के लगभग मध्यबिन्दु पर क्षेत्र, एक बहुत छोटी दूरी के लिए जो कि $R$ से कम है, एकसमान है और इस क्षेत्र का लगभग मान निम्नलिखित है-
${\mathbf{B}} = {\mathbf{0}}.{\mathbf{72}}\dfrac{{{\mu _{\mathbf{0}}}{\mathbf{NI}}}}{{\mathbf{R}}}$
[बहुत छोटे से क्षेत्र पर एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए बनायी गई ऊपर वर्णित व्यवस्था हेल्महोल्ट्ज कुण्डलियों के नाम से जानी जाती है।]
उत्तर . केंद्र से $x$ दूरी स्थित किसी बिन्दु पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए $B = \dfrac{{{\mu _0}I{R^2}N}}{{2{{\left( {{x^2} + {R^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}$

इस सूत्र में $x = 0$ रखने पर

${\text{B}} = \dfrac{{{\mu _{\text{o}}}{\text{Nl}}}}{{2{\text{R}}}}$

यह सूत्र कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है।

(c) माना दो वृत्त $c_1$ तथा ${c_2}$ है।इन दोनों वृत्ति के केंद्रों को मिलने वाली रेखा क क का मध्य बिन्दु $c$ है।इससे $d$ दूरी पर दुसरा बिन्दु ${\text{P}}$ है।

प्रथम कुंडली ${{\text{x}}_1} = ({\text{R}}/{\text{L}}) + {\text{d}}$

दूसरी कुंडली ${{\text{x}}_{\text{z}}} = ({\text{R}}/2) - {\text{d}}$

दोनों धाराएं एक जी दिशा में है

दोनों कुंडली एक जैसी है।अतः बिन्दु $P$ पर दोनों के कारण चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।

बिन्दु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र

$B = {B_1} + {B_2} = \left[ {\dfrac{{\left( {{\mu _0}NI{R^2}} \right)}}{{2{{\left\{ {{R^2} + {{(R/2 + d)}^2}} \right\}}^{\dfrac{3}{2}}}}}} \right] + \left[ {\dfrac{{{\mu _0}NI{R^2}}}{{2{{\left\{ {{R^2} + {{(R/2 - d)}^2}} \right\}}^{\dfrac{3}{2}}}}}} \right]$

\[\left[ {\dfrac{{{\mu _0}NI{R^2}}}{{2{{\left\{ {5{R^2}/4 + RD + {d^2}} \right\}}^{\dfrac{3}{2}}}}}} \right] + \left[ {\dfrac{{{\mu _0}nI{R^2}}}{{2\left\{ {5{R^2}{{\left. {/4 - RD + {d^2}} \right\}}^{\dfrac{3}{2}}}} \right.}}} \right]\]

\[\left[ {\dfrac{{{\mu _0}NI{R^2}}}{{2\left\{ {{{\left( {5{R^2}/4} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right\}{{\{ 1 + 4d/5R\} }^{\dfrac{3}{2}}}}}} \right] + \left[ {\dfrac{{{\mu _o}NI{R^2}}}{{2\left. {{{\left( {5/4{R^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}{{\{ 1 - 4d/5R\} }^{\dfrac{{ - 3}}{2}}}} \right]}}} \right]\]

\[\]

$\left( {\dfrac{{4{\mu _0}NI{R^2}}}{{{R^3}{5^{\dfrac{3}{2}}}}}} \right)[1 - \dfrac{3}{{2(4d/5R)}} + 1 + \dfrac{3}{{2(4d/5R)}}]$

$= \dfrac{{8{\mu _0}NI}}{{\left( {{5^{\dfrac{3}{2}}}R} \right)}}$

$= 0.72\left( {\dfrac{{{\mu _0}NI}}{R}} \right)$

17. एक टोरॉइड के (अलौह चुम्बकीय) क्रोड की आन्तरिक त्रिज्या \[25{\text{ }}cm\] और बाह्य त्रिज्या \[26{\text{ }}cm\] है। इसके ऊपर किसी तार के \[3500\] फेरे लपेटे गए हैं। यदि तार में प्रवाहित विद्युत धारा \[11{\text{ }}A\] हो तो चुम्बकीय क्षेत्र को मान क्या होगा?
(i) टोरॉइड के बाहर,
हल-
दिया है, आन्तरिक त्रज्या \[{r_1}\; = {\text{ }}0.25{\text{ }}m\], बाह्य त्रिज्या \[{r_2}\; = {\text{ }}0.26{\text{ }}m\]
फेरों की संख्या \[N{\text{ }} = {\text{ }}3500\], धारा \[i{\text{ }} = {\text{ }}11{\text{ }}A\]
(i) टोरॉइड के बाहर चुम्बकीय क्षेत्र \[B{\text{ }} = {\text{ }}0\]

(ii) टोरॉइड के क्रोड में,
(ii) टोरॉयड के क्रोड में भीतर चुंबकीय क्षेत्र पहले हम टोरॉयड की औसत त्रिज्या ज्ञात करेंगे।

$r{\text{ }} = \dfrac{{\left( {{r_1} + {r_2}} \right)}}{2} = 0.255m$

$B = \dfrac{{{\mu _0}Ni}}{{2\pi r}}$

$= \dfrac{{\left( {4\pi  \times {{10}^{ - 7}} \times 3500 \times 11} \right)}}{{(2\pi  \times 0.255)}}$

$= 3.02 \times {10^{ - 2}}\;{\text{T}}$

(iii) टोरॉइड द्वारा घिरी हुई खाली जगह में।
(iii) टोरॉइड द्वारा घेरे गए रिक्त स्थान में चुम्बकीय क्षेत्र \[B{\text{ }} = {\text{ }}0\]

18. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(a) किसी प्रकोष्ठ में एक ऐसा चुम्बकीय क्षेत्र स्थापित किया गया है जिसका परिमाण तो एक बिन्दु पर बदलता है, पर दिशा निश्चित है। (पूर्व से पश्चिम)। इस प्रकोष्ठ में एक आवेशित कण प्रवेश करता है और अविचलित एक सरल रेखा में अचर वेग से चलता रहता है। आप कण के प्रारम्भिक वेग के बारे में क्या कह सकते हैं?

हल-
(a) आवेशितं कण अविचलित सरल रेखीय गति करता है, इसका यह अर्थ है कि कण पर चुम्बकीय क्षेत्र के कारण कोई बल नहीं लगा है। इससे प्रदर्शित होता है कि कण का प्रारम्भिक वेग या तो चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा में है अथवा उसके विपरीत है।

(b) एक आवेशित कण, एक ऐसे शक्तिशाली असमान चुम्बकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। जिसको परिमाण एवं दिशा दोनों एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु पर बदलते जाते हैं, एक जटिल पथ पर चलते हुए इसके बाहर आ जाता है। यदि यह मान लें कि चुम्बकीय क्षेत्र में इसका किसी भी दूसरे कण से कोई संघट्ट नहीं होता तो क्या इसकी अन्तिम चाल, प्रारम्भिक चाल के बराबर होगी?

(b) हाँ, कण की अन्तिम चाल उसकी प्रारम्भिक चाल के बराबर होगी। इसका. कारण यह है कि चुम्बकीय क्षेत्र के कारण गतिमान आवेश पर कार्यरत बल सदैव कण के वेग के लम्बवत् दिशा में लगता है जो केवल गति की दिशा को बदल सकता है परन्तु कण की चाल को नहीं।

(c) पश्चिम से पूर्व की ओर चलता हुआ एक इलेक्ट्रॉन एक ऐसे प्रकोष्ठ में प्रवेश करता है। जिसमें उत्तर से दक्षिण दिशा की ओर एकसमान एक विद्युत क्षेत्र है। वह दिशा बताइए जिसमें एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र स्थापित किया जाए ताकि इलेक्ट्रॉन को अपने सरल रेखीय पथ से विचलित होने से रोका जा सके।

(c) विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर दक्षिण से उत्तर की ओर विद्युत बल \[F\], कार्य करेगा, जिसके कारण इलेक्ट्रॉन उत्तर दिशा की ओर विक्षेपित होने की प्रवृत्ति रखेगा। इलेक्ट्रॉन बिना विचलित हुए सरल रेखीय गति करे इसके लिए आवश्यक है कि चुम्बकीय क्षेत्र ऐसी दिशा में लगाया जाए कि चुम्बकीय क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर उत्तर से दक्षिण दिशा की ओर चुम्बकीय बल कार्य करे। इसके लिए फ्लेमिंग के बाएँ हाथ के नियम से चुम्बकीय क्षेत्र ऊर्ध्वाधरत: नीचे की ओर लगाना चाहिए।

प्रश्न 19.

ऊष्मित कैथोड से उत्सर्जित और \[2.0{\text{ }}kV\]के विभवान्तर पर त्वरित एक इलेक्ट्रॉन \[0.15{\text{ }}T\] के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। इलेक्ट्रॉन का गमन पथ ज्ञात कीजिए यदि चुम्बकीय क्षेत्र
(a) प्रारम्भिक वेग के लम्बवत है,

उत्तर : (a) इलेक्ट्रॉन $0.15\;{\text{T}}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है।

माना इलेक्ट्रॉन का वेग $V$ है तो इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा होगी ${\text{eV}} = \dfrac{1}{2}\left( {{\text{m}}{{\text{v}}^2}} \right)$

$v = {(\dfrac{{2{\text{eV}}}}{{\text{m}}})^{\dfrac{1}{2}}}$

$= {\left[ {2 \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}} \times 20 \times {{10}^3}} \right]^{\dfrac{1}{2}}}$

${\left[ {9.1 \times {{10}^{ - 31}}} \right]^{\dfrac{1}{2}}}$

$= \left( {8 \times {{10}^7}} \right)$

$= 2.65 \times {10^7}\;{\text{m}}/{\text{s}}$

(a) इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार होगा क्योंकि इलेक्ट्रॉन का वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है।निम्न सूत्र द्वारा पहले इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या ज्ञात करेंगे।

$r = \dfrac{{mv}}{{qB}} = 9.1 \times {10^{ - 31}} \times 2.65 \times {10^7}$

$1.6 \times {10^{ - 19}} \times 0.15$

$= 1 \times {10^{ - 3}}\;{\text{m}} = 1\;{\text{mm}}$

(b) प्रारम्भिक वेग की दिशा से 30° का कोण बनाता है।

(b) इलेक्ट्रॉन का वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत न होने के कारण इलेक्ट्रॉन का पथ कुंडलिनिय होगा। चुंबकीय क्षेत्र प्रारंभिक वेग की दिशा से ${30^\circ }$ का कोण बनाता है अथात

${V^\prime } = V\sin 30$

इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या

$r{\text{ }} = \dfrac{{mv\sin 30}}{{(qB)}}$

$= (\dfrac{{mv}}{{qB}})(\dfrac{1}{2})$

$= 0.5\;{\text{mm}}$

20. प्रश्न \[16\] में वर्णित हेल्महोल्ट्ज कुंडलियों का उपयोग करके किसी लघुक्षेत्र में \[0.75{\text{ }}T\] का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र स्थापित किया है। इसी क्षेत्र में कोई एकसमान स्थिरविद्युत क्षेत्र कुंडलियों के उभयनिष्ठ अक्ष के लम्बवत लगाया जाता है। (एक ही प्रकार के) आवेशित कणों का \[15{\text{ }}kV\] विभवान्तर पर  त्वरित एक संकीर्ण किरण पुंज इस क्षेत्र में दोनों कुण्डलियों के अक्ष तथा स्थिरविद्युत क्षेत्र की लम्बवत दिशा के अनुदिश प्रवेश करता है। यदि यह किरण पुंज \[9.0{\text{ }} \times {10^{ - 5}}\;V{m^{ - 1}}\], स्थिरविद्युत क्षेत्र में अविक्षेपित रहता है तो यह अनुमान लगाइए कि किरण पुंज में कौन-से कण हैं। यह स्पष्ट कीजिए कि यह उत्तर
एकमात्र उत्तर क्यों नहीं है?

उत्तर:  प्रश्न में दी है जानकारी के अनुसार

$B = 0.75T,E = 9 \times {10^{ - 5}}V/m,V = 15 \times {10^3}V$

में लेते है की कण का द्रव्यमान $m$, वेग $v$ तथा आवेश $q$ है।

इस जानकारी के आधार पर कण की गतिज ऊर्जा ज्ञात करेंगे।

$qV = \dfrac{1}{2}m{v^2}$

$v = (\dfrac{{2qV}}{m})$

अतः विद्युत क्षेत्र के कारण कण पर बल $Fe = qE$

कण पर चुंबकीय बल होगा $F\;{\text{m}} = {\text{qVB}}\sin 90 = {\text{qVB}}$

कण पर कार्यरत दोनों बल परिमाण में बराबर व विपरीत दिशा में होंगे क्योंकि दोनों क्षेत्रों से कण

अविचलित गुजरता है।
${\text{qvB}} = {\text{qE}},\quad {\text{v}} = \dfrac{{\text{E}}}{{\text{B}}}$

$\dfrac{{\text{q}}}{m} = \dfrac{{{{\left( {9 \times {{10}^{ - 5}}} \right)}^2}}}{{\left( {2 \times 15 \times {{10}^3} \times {{(0.75)}^2}} \right)}}$

$= 4.8 \times {10^7}{\text{C}}/{\text{kg}}$

उपुर्युक्त मान ज्ञात करने से यह स्पष्ट होता है कि इस कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का दोगुना होना चाहिए।

किरण पुंज में ड्यूटीरियम के आयन उपस्थित हो सकते है, किन्तु फ्यूटरियम एकमात्र ऐसाकं नहीं है जिसके लिए ${\text{q}}/{\text{m}}$ का मान $4.8 \times {10^7}$ ${\text{C}}/{\text{kg}}$ हो इसलिए यह उत्तर एकमात्र उत्तर नहीं हिलियम तथा लिथियम भी उत्तर हो सकता है।

21. एक सीधी, क्षैतिज चालक छड़ जिसकी लम्बाई \[0.45{\text{ }}cm\] एवं द्रव्यमान \[60{\text{ }}g\] है। इसके सिरों पर जुड़े दो ऊर्ध्वाधर तारों पर लटकी हुई है। तारों से होकर छड़ में \[5.0{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है।
हल-
छड़ की लम्बाई \[l{\text{ }} = {\text{ }}0.45{\text{ }}m\] व द्रव्यमान \[m{\text{ }} = {\text{ }}0.06{\text{ }}kg\], तार में धारा \[i{\text{ }} = {\text{ }}5.0{\text{ }}A\]

(a) चालक के लम्बवत कितना चुम्बकीय क्षेत्र लगाया जाए कि तारों में तनाव शून्य हो जाए।
(a) तारों में तनाव शून्य करने के लिए आवश्यक है कि चुम्बकीय क्षेत्र के कारण छड़ पर बल उसके भार के बराबर वे विपरीत हो।
अतः \[IlB{\text{ }}sin{\text{ }}90^\circ {\text{ }} = {\text{ }}mg\]
$B = \dfrac{{mg}}{{il}} = \dfrac{{0.06 \times 9.8}}{{5.0 \times 0.45}} = 0.26\;{\text{T}}$

(b) चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा यथावत रखते हुए यदि विद्युत धारा की दिशा उत्क्रमित कर दी जाए तो तारों में कुल आवेश कितना होगा? (तारों के द्रव्यमान की उपेक्षा कीजिए।  \[\left( {g{\text{ }} = {\text{ }}9.8{\text{ }}m{s^{ - 2}}} \right)\]

(b) यदि धारा की दिशा बदल दी जाए तो चुम्बकीय बल तथा छड़ का भार दोनों एक ही दिशा में हो जाएँगे।
इस स्थिति में, तारों का तनाव \[ = {\text{ }}mg{\text{ }} + {\text{ }}IlB{\text{ }}sin{\text{ }}90^\circ \]
\[ = {\text{ }}2mg\](∵ प्रथम दशा से, \[IlB{\text{ }}sin{\text{ }}90^\circ {\text{ }} = {\text{ }}mg\])
\[ = {\text{ }}2 \times 0.06 \times {\text{ }}9.8{\text{ }} = {\text{ }}1.176{\text{ }} = {\text{ }}1.18{\text{ }}N\]

22. एक स्वचालित वाहन की बैटरी से इसकी चालने मोटर को जोड़ने वाले तारों में \[300{\text{ }}A\] विद्युत धारा (अल्प काल के लिए) प्रवाहित होती है। तारों के बीच प्रति एकांके लम्बाई पर कितना बल लगता है यदि इनकी लम्बाई \[70{\text{ }}cm\] एवं बीच की दूरी \[1.5{\text{ }}cm\] हो। यह बल आकर्षण बल है या प्रतिकर्षण बल ?
हल-
दिया है, तारों में धारा \[{i_{1\;}} = {\text{ }}{i_{2\;}} = {\text{ }}300{\text{ }}A\], बीच की दूरी \[r{\text{ }} = {\text{ }}1.5{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;m\]
तारों की लम्बाई \[ = {\text{ }}70{\text{ }}cm\]
तारों के बीच एकांक लम्बाई पर बल
$F = \dfrac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\dfrac{{{i_1}{i_2}}}{{2r}} = \dfrac{{4\pi  \times {{10}^{ - 7}}}}{{2\pi }} \times \dfrac{{300 \times 300}}{{1.5 \times {{10}^{ - 2}}}} = 1.2\;{\text{N}}{{\mathbf{m}}^{ - 1}}$
चूँकि तारों में धारा विपरीत दिशा में प्रवाहित होती है; अत: यह बल प्रतिकर्षण का होगा।

23. \[1.5{\text{ }}T\] का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र, \[10.0{\text{ }}cm\] त्रिज्या के बेलनाकार क्षेत्र में विद्यमान है। इसकी दिशा अक्ष के समान्तर पूर्व से पश्चिम की ओर है। एक तार जिसमें \[7.0{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। इस क्षेत्र में होकर उत्तर से दक्षिण की ओर गुजरती है। तार पर लगने वाले बल का परिमाण और दिशा क्या है, यदि

हल一दिया है, $B = 1.5\;{\text{T}}$, क्षेत्र की त्रिज्या $= 10.0{\text{c}}$ तार में धारा $i = 7.0\;{\text{A}}$

(a) तार अक्ष को काटता हो।

(a) इस दशा में तार की $l = 2r = 0.20\;{\text{m}}$ लम्बाई चुम्ब क्षेत्र से गुजरेगी।

चृँकि क्षेत्र तार की लम्बाई के लम्बवत् है,

$\therefore \quad $ तार पर बल $F = ilB\sin {90^\circ } = 7.0 \times 0.20 \times 1.5 \times 1 = {\mathbf{2}}.{\mathbf{1}}{\text{N }}$

बल की दिशा ऊर्ध्वाधरत: नीचे की ओर होगी।

(b) तार \[N - S\] दिशा से घुमाकर उत्तर-पूर्व, उत्तर-पश्चिम दिशा में कर दिया जाए,

(b) इस दशा में तार की लम्बाई चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा से ${45^\circ }$ का कोण बना माना इस दशा में तार की ${l_1}$ लम्बाई चुम्बकीय क्षेत्र में गुजरती है, तब

\[\sin {45^\circ } = \dfrac{{2r}}{{{l_1}}}\]

$ \Rightarrow \quad {l_1} = \dfrac{{2r}}{{\sin {{45}^\circ }}} = l\sqrt 2 \quad (\because 2r = l)$

$\therefore \quad $ तार पर बल $F = i{l_1}B\sin {45^\circ }$

$= il\sqrt 2 B \times \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = ilB$

$= {\mathbf{2}}.{\mathbf{1N}}$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर 

(c) \[N - S\] दिशा में रखते हुए ही तार को अक्ष से \[6.0{\text{ }}cm\] नीचे उतार दिया जाए।

(c) माना इस दशा में तार की ${l_2}$ (लम्बाई) $\left( {{l_2} = AB} \right)$ चुम्बकीय क्षेत्र से गुजरती है। $\vartriangle OAC$ में, $\angle OCA = {90^\circ }$

$\therefore {\text{ }}A{C^2} = O{A^2} - O{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64$

$ \Rightarrow AC = 8\;{\text{cm}}\quad \therefore {l_2} = AB = 2AC = 16\;{\text{cm}} = 0.16\;{\text{m}}$

$\therefore $ तार पर बल $F = i{l_2}B\sin {90^\circ } = 7.0 \times 0.16 \times 1.5 = 1.68{\mathbf{N}}$, ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर।

24. धनात्मक \[z - \]दिशा में \[3000{\text{ }}G\] की एक एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र लगाया गया है। एक आयताकार लूप जिसकी भुजाएँ \[10{\text{ }}cm\] एवं \[5{\text{ }}cm\] और जिसमें \[12{\text{ }}A\] धारा प्रवाहित हो रही है, इस क्षेत्र में रखा है। चित्र में दिखायी गई लूप की विभिन्न स्थितियों में इस पर लगने वाला बल-युग्म आघूर्ण क्या है? हर स्थिति में बल क्या है? स्थायी सन्तुलन वाली स्थिति कौन-सी है?

हल-
दिया है, \[B{\text{ }} = {\text{ }}3000{\text{ }}G{\text{ }} = {\text{ }}0.3{\text{ }}T,{\text{ }}a{\text{ }} = {\text{ }}0.1{\text{ }}m,{\text{ }}b{\text{ }} = {\text{ }}0.05{\text{ }}m,{\text{ }}i{\text{ }} = {\text{ }}12{\text{ }}A\]
कुंडली का क्षेत्रफल \[A{\text{ }} = {\text{ }}ab{\text{ }} = {\text{ }}0.1{\text{ }}m{\text{ }} \times 0.05{\text{ }}m{\text{ }} = {\text{ }}5 \times {\text{ }}{10^{ - 3}}\;m\]
\[\left( a \right),{\text{ }}\left( b \right),{\text{ }}\left( c \right),{\text{ }}\left( d \right)\] प्रत्येक दशा में कुंडली के तल पर अभिलम्ब, चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् है; अतः प्रत्येक दशा में
बल-युग्म का आघूर्ण \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}iAB{\text{ }}sin{\text{ }}90^\circ {\text{ }} = {\text{ }}12{\text{ }} \times 5{\text{ }} \times {10^{ - 3}} \times 0.3{\text{ }} = {\text{ }}1.8{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;N - m\]
प्रत्येक दशा में बल शून्य है, क्योंकि एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखे धारालूप पर बल-युग्म कार्य करता है परन्तु बल नहीं।

(a) \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}1.8{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;N - m\] ऋण \[y - \]अक्ष की दिशा में तथा बल शून्य है।

(b) \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}1.8{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;N - m\] ऋण \[y - \]अक्ष की दिशा में तथा बल शून्य है।

(c) \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}1.8{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;N - m\] ऋण \[x - \]अक्ष की दिशा में तथा बल शून्य है।

(d) \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}1.8{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;N - m\] तथा बल शून्य है।

(e) तथा (f) दोनों स्थितियों में कुंडली के तल पर अभिलम्ब चुम्बकीय क्षेत्र के अनुदिश है; अत:
\[t{\text{ }} = {\text{ }}iAB{\text{ }}sin{\text{ }}0^\circ {\text{ }} = {\text{ }}0\]
अत: इन दोनों दशाओं में बल-आघूर्ण व बल दोनों शून्य हैं। यह स्थितियाँ सन्तुलन की स्थायी अवस्था में दर्शाती हैं।

25. एक वृत्ताकार कुंडली जिसमें \[20\] फेरे हैं और जिसकी त्रिज्या \[10{\text{ }}cm\] है, एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखी है जिसका परिमाण \[0.10\] है और जो कुंडली के तल के लम्बवत है। यदि कुंडली में \[5.0{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रवाहित हो रही हो तो,
(a) कुंडली पर लगने वाला कुल बल-युग्म आघूर्ण क्या है?
हल-
फेरे \[N{\text{ }} = {\text{ }}20,{\text{ }}i{\text{ }} = {\text{ }}5.0{\text{ }}A,{\text{ }}r{\text{ }} = {\text{ }}0.10{\text{ }}m,{\text{ }}B{\text{ }} = {\text{ }}0.10{\text{ }}T\]
इलेक्ट्रॉन घनत्व \[n{\text{ }} = {\text{ }}1029\;{m^{ - 3}}\],
तार का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल \[A{\text{ }} = {\text{ }}{10^{ - 5}}\;{m^2}\]
(a) कुंडली का तल चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् है; अत: कुंडली के तल पर अभिलम्ब व चुम्बकीय क्षेत्र के बीच का कोण शून्य है \[\left( {\theta {\text{ }} = {\text{ }}0^\circ } \right)\]
बल-आघूर्ण \[\tau {\text{ }} = {\text{ }}NiLAB{\text{ }}sin{\text{ }}0^\circ {\text{ }} = {\text{ }}0\]

(b) कुंडली पर लगने वाला कुल परिणामी बल क्या है?
(b) कुंडली पर नेट बल भी शून्य है।

(c) चुम्बकीय क्षेत्र के कारण कुंडली के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुलै’औसत बल क्या है?
(कुंडली \[{10^{ - 5}}\;{m^2}\] अनुप्रस्थ क्षेत्र वाले ताँबे के तार से बनी है, और ताँबे में मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व \[{\mathbf{1029}}\;{{\mathbf{m}}^{ - {\mathbf{3}}}}\;\]दिया गया है।)
(c) यदि इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग \[vd\] है तो
$i = neA{v_d}\quad  \Rightarrow \quad {v_d} = \dfrac{l}{{neA}}$

$\therefore $ प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर बल $F = e{v_d}B\sin {90^\circ }$

$F = e\dfrac{i}{{neA}}B = \dfrac{{iB}}{{nA}} = \dfrac{{5.0 \times 0.10}}{{{{10}^{29}} \times {{10}^{ - 5}}}} = 5.0 \times {10^{ - 25}}{\mathbf{N}}$

26. एक परिनालिका जो \[60{\text{ }}cm\]लम्बी है, जिसकी त्रिज्या \[4.0{\text{ }}cm\] है और जिसमें \[300\] फेरों वाली \[3\] परतें लपेटी गई हैं। इसके भीतर एक \[2.0{\text{ }}cm\]लम्बा, \[2.5{\text{ }}g\] द्रव्यमान का तार इसके (केन्द्र के निकट) अक्ष के लम्बवत रखा है। तार एवं परिनालिका का अक्ष दोनों क्षैतिज तल में हैं। तार को परिनालिका के समान्तर दो वाही संयोजकों द्वारा एक बाह्य बैटरी से जोड़ा गया है जो इसमें \[6.0{\text{ }}A\] विद्युत धारा प्रदान करती है। किस मान की विद्युत धारा (परिवहन की उचित दिशा के साथ) इस परिनालिका के फेरों में प्रवाहित होने पर तारे का भार संभाल सकेगी? \[\left( {g{\text{ }} = {\text{ }}9.8{\text{ }}m{s^{ - 2}}} \right)\]
हल-
परिनालिका की लम्बाई \[l{\text{ }} = {\text{ }}0.6{\text{ }}m\], त्रिज्या \[ = {\text{ }}4.0{\text{ }}cm\], फेरे \[N{\text{ }} = {\text{ }}300 \times {\text{ }}3\]
तार की लम्बाई \[L{\text{ }} = {\text{ }}20{\text{ }} \times {10^{ - 2}}\;m\], द्रव्यमान \[m{\text{ }} = {\text{ }}25{\text{ }} \times {10^{ - 3}}\;kg\], धारा \[I{\text{ }} = {\text{ }}6.0{\text{ }}A\]
माना परिनालिका में प्रवाहित धारा \[ = {\text{ }}i\]
तब परिनालिका के अक्ष पर केन्द्रीय भाग में चुम्बकीय क्षेत्र
$B = \dfrac{{{\mu _0}Ni}}{l}$ (अक्षर के अनुदिश)

$\because $ चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा तार की लम्बाई के लम्बवत् है; अत:

तार पर बल $F = ILB\sin {90^\circ } = IL \times \dfrac{{{\mu _0}Ni}}{l}$

यह बल तार के भार को संभालता है; अत:

$\begin{array}{*{20}{c}} {F = mg \Rightarrow IL \times \dfrac{{{\mu _0}Ni}}{l} = mg} \\ {\therefore \quad i = \dfrac{{mgl}}{{{\mu _0}NIL}} = \dfrac{{2.5 \times {{10}^{ - 3}} \times 9.8 \times 0.6}}{{4\pi \times {{10}^{ - 7}} \times (300 \times 3) \times 6.0 \times 2.0 \times {{10}^{ - 2}}}} = 108{\mathbf{A}}} \end{array}$

$\because$ तार में धारा की दिशा ज्ञात नहीं है; अत: परिनालिका में धारा की दिशा बता पाना सम्भव नहीं है।

27. किसी गैल्वेनोमीटर की कुंडली का प्रतिरोध \[12{\text{ }}\Omega \] है। \[4{\text{ }}mA\]की विद्युत धारा प्रवाहित होने पर यह पूर्णस्केल विक्षेप दर्शाता है। आप इस गैल्वेनोमीटर को \[0\] से \[18{\text{ }}V\] परास वाले वोल्टमीटर में कैसे रूपान्तरित करेंगे ?
हल-
दिया है, \[G{\text{ }} = {\text{ }}12{\text{ }}\Omega ,{\text{ }}ig\; = {\text{ }}4{\text{ }}mA{\text{ }} = {\text{ }}4{\text{ }}x{\text{ }}{10^{ - 3}}\;A\]
\[0\] से \[V{\text{ }}\left( {V{\text{ }} = {\text{ }}18{\text{ }}V} \right)\] वोल्ट परास के वोल्टमीटर में बदलने के लिए गैल्वेनोमीटर के श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध R जोड़ना होगा, जहाँ

$R = \dfrac{V}{{{i_g}}} - G = \dfrac{{18}}{{4 \times {{10}^{ - 3}}}} - 12 = 4488\Omega $

$\dfrac{V}{{R + G}} = {i_g} \Rightarrow \quad R + G = \dfrac{V}{{{i_g}}}$

$R = \dfrac{V}{{{i_g}}} - G = \dfrac{{18}}{{4 \times {{10}^{ - 3}}}} - 12 = 4488\Omega $
अत: गैल्वेनोमीटर के श्रेणीक्रम में \[4488{\text{ }}\Omega \] का प्रतिरोध जोड़ना होगा।

28. किसी गैल्वेनोमीटर की कुंडली का प्रतिरोध \[15{\text{ }}\Omega \] है। \[4{\text{ }}mA\] की विद्युत धारा प्रवाहित होने पर यह पूर्णस्केल विक्षेप दर्शाता है। आप इस गैल्वेनोमीटर को \[0\] से \[6{\text{ }}A\]परास वाले अमीटर में कैसे रूपान्तरित करेंगे?
हल-
दिया है, \[G{\text{ }} = {\text{ }}15{\text{ }}\Omega ,{\text{ }}ig\; = {\text{ }}4{\text{ }}mA{\text{ }} = {\text{ }}4.0{\text{ }}x{\text{ }}{10^{ - 3}}\;A,{\text{ }}i{\text{ }} = {\text{ }}6{\text{ }}A\]
गैल्वेनोमीटर को \[0 - 1\] ऐम्पियर धारा परास वाले अमीटर में बदलने के लिए इसके पाश्र्वक्रम में एक सूक्ष्म प्रतिरोध \[S\] (शण्ट) जोड़ना होगा, जहाँ
$\left( {i - {i_g}} \right) \times S{\text{ }} = {i_g} \times GS{\text{ }} = \dfrac{{{i_g} \times G}}{{i - {i_g}}} = \dfrac{{4.0 \times {{10}^{ - 3}} \times 15}}{{6 - 4.0 \times {{10}^{ - 3}}}} = \dfrac{{60 \times {{10}^{ - 3}}}}{{6.000 - 0.004}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{60}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{ - 3}}}}}}{{{\text{5}}.{\text{996}}}}{\text{ = 0}}.{\text{01}}\Omega {\text{ = 10}}\;{\text{m}}\Omega {\text{ }}$
अत: इसके समान्तर क्रम में \[10{\text{ }}m\Omega \] का प्रतिरोध जोड़ना होगा।

NCERT Solutions for Class 12 Physics Chapter 4 Moving Charges and Magnetism in Hindi

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